Булева алгебра и карти на Карно

T2.9.БУЛЕВА АЛГЕБРА.

1.Съставяне на схеми от булеви изрази

Булевите изрази са удобно помощно средство при съставянето на
логически схеми. Нека да е д
или B, или С, е равно на Y
тази логическа функция.
функция Y, всички входове трябва да се свържат в схема ИЛИ
На (фиг.1) е показан логическият символ за Булеви
Нека да е даден Булевият израз
не В, или не В и С, е равно на
ИЛИ на членовете А.2B, A
Изходът Y се получава с помощта на логически елемент ИЛИ с три
входа. Тази схема може да се начертае във вида показан на
БУЛЕВА АЛГЕБРА. КАРТИ НА КАРНО
1.Съставяне на схеми от булеви изрази.
Булевите изрази са удобно помощно средство при съставянето на
Нека да е даден е Булевият израз А+В+С=Y
е равно на Y”. Трябва да се състави схема която изпълнява
тази логическа функция. От израза се вижда, че за да се получи изходната
всички входове трябва да се свържат в схема ИЛИ

Фиг.1.
е показан логическият символ за Булевия израз А+В+С=Y.
левият израз А.2B+A.B2+B2.C=Y. Чете се „не
е равно на Y”. Първата стъпка е свързването в схема
2A.B 2и, B2.C (фиг.2.а).

Фиг.2.
Изходът Y се получава с помощта на логически елемент ИЛИ с три
Тази схема може да се начертае във вида показан на (
1
КАРТИ НА КАРНО
Булевите изрази са удобно помощно средство при съставянето на
аден е Булевият израз А+В+С=Y „чете се А
състави схема която изпълнява
че за да се получи изходната
всички входове трябва да се свържат в схема ИЛИ.

я израз А+В+С=Y.
не А и В или А и
Първата стъпка е свързването в схема

Изходът Y се получава с помощта на логически елемент ИЛИ с три
(фиг.2.б).

2

Втората стъпка от съставянето на логическата схема от Булевия
израз А.2B+AB2+B2C=Y е показана на (фиг.3).



Фиг.3.
Добавен е елемент И, чрез който на входа на елемента ИЛИ се
подава B.2C, както и инвертор който формира B2 за единия вход на елемента
И (елемент 2). На (фиг.3.б). е добавен още един елемент И (елемент 3),
който формира A.B2 на входа на схемата ИЛИ. И накрая на (фиг.3.в). са
добавени елементът И4 и инверторът 6, които формират на входа на
схемата А.2B на схемата ИЛИ. В резултат на тези стъпки се получава
схемата от (фиг.3.в.), която изпълнява логическата функция, зададена с

3

израза А.2B+A.B2+B.2C=Y. Съставянето на логическата схема започва от
изхода и стига до входа.
Булевите изрази имат две основни форми. Едната форма е сума от
произведения (фиг.2.) и се нарича дизюнктивна нормална форма (ДНФ).
Такава е и формата на израза А.2B+A.B2+B.2C=Y. Другата основна форма е
произведения от суми, наречена конюктивна нормална форма (КНФ),
например (D+E).(E+F)=Y.

2.Съставяне на схеми от Булеви изрази в конюнктивна нормална
форма.

Даден е Булевият израз в конюнктивна нормална форма
(А+В+С).(А2+67)=Y. Първата стъпка от съставянето на логическа схема по
този Булев израз е показана на (фиг.4.а).

Фиг.4.
За да се получи Y, изразите (А+В+С) и (А2+67) трябва да се свържат в
схема И. Схемата е показана на (фиг.4.б). Втората стъпка от съставянето на
логическата схема е показана на (фиг.5). Частта (А2+67) се получава чрез
добавяне на елемента 2 –ИЛИ и инверторите 3 и 4 (фиг.5.а.). Изразът
(А+В+С) се получава чрез елемента 5 ИЛИ (фиг.5.б.). Резултатите от двата
израза се подават на елемента 1 И. Окончателният вид на логическата

схема, реализираща Булевия
(фиг.5.б).

Когато се преобразува Булев израз в логическа схема
дясно на ляво (от изхода към входа) и се
и НЕ. В логически схеми могат да се преобразуват Булеви изрази както в
дизюнктивна, така и в
дизюнктивна нормална форма се преобразуват в логически схеми от типа
И-ИЛИ, както на схемата на
нормална форма в схеми от типа ИЛИ

3.Таблици за истинност и Булеви изрази

Булевите изрази представляват удобна форма за описание на начина
по който работят логическите схеми.
функционирането на логическите схеми са таблиците на истинност
като често се налага да се преобразува в Булеви изрази информацията,
зададена във вид на таблица на истинност.
схема, реализираща Булевия израз (А+В+С).(А2+67)=Y
Фиг.5.
Когато се преобразува Булев израз в логическа схема
(от изхода към входа) и се използват само елементи И, ИЛИ
В логически схеми могат да се преобразуват Булеви изрази както в
дизюнктивна, така и в конюнктивна нормална форма.
дизюнктивна нормална форма се преобразуват в логически схеми от типа
както на схемата на (фиг.4.в.), а изразите в конюнкти
нормална форма в схеми от типа ИЛИ-И, както на схемата на
3.Таблици за истинност и Булеви изрази.
Булевите изрази представляват удобна форма за описание на начина
по който работят логическите схеми. Друга форма за точно
функционирането на логическите схеми са таблиците на истинност
като често се налага да се преобразува в Булеви изрази информацията,
зададена във вид на таблица на истинност.
4
7 е показан на

Когато се преобразува Булев израз в логическа схема, се работи от
само елементи И, ИЛИ
В логически схеми могат да се преобразуват Булеви изрази както в
нормална форма. Изразите в
дизюнктивна нормална форма се преобразуват в логически схеми от типа
, а изразите в конюнктивна
както на схемата на (фиг.5.б).
Булевите изрази представляват удобна форма за описание на начина
Друга форма за точно описание на
функционирането на логическите схеми са таблиците на истинност, тъй
като често се налага да се преобразува в Булеви изрази информацията,

5

При разглеждане на таблицата на истинност на (фиг.6.а.) само две от
осемте възможни комбинации на входовете А, B и С дават на изхода си
логическа 1(пример).

Фиг.6.
Тези комбинации се означават като C7.B.A - (чете се като не С и В и
А) и С.В2.А2 (чете се С и не В и не А). На (фиг.6) е показано как тези
комбинации се свързват с операцията ИЛИ за да формират Булев израз,
съответстващ на таблицата на истинност. Таблицата на истинност на
(фиг.6.а) и Булевият израз на (фиг.6.б). описват действието на една и съща
логическа схема.
Таблиците на истинност служат като отправна точка при
съставянето на повечето логически схеми. Необходимо е да се търсят
комбинациите от променливи, които в таблицата на ис тинност
съответстват на логическа 1 на изхода. Понякога се налага да се извърши
обратната процедура, т.е. от Булев израз да се състави таблица на
истинност.

6


Фиг.7.(пример)
При разглеждането на Булевия израз на (фиг.7.а.) се вижда, че две от
комбинациите на входовете А, В и С дават на изхода логическа 1. На
(фиг.7.б.) е показан Булев израз, който съдържа логическата сума на тези
комбинации. Булевият израз и таблицата на истинност описват действието
на една и съща логическа схема.
Нека да е даден Булевият израз показан на (фиг.8.а).

Фиг.8

7

Изглежда като че ли само две комбинации пораждат логическа 1 на
изхода. Ако се разгледа (фиг.8.б.) се вижда че Булевият израз
C7.A2+C.B.A=Y поражда три логически единици в изходната ко лона.
Необходима е известна сигурност, че в таблицата на истинност присъстват
всички комбинации, които пораждат логически единици. Булевият израз и
таблицата на истинност от (фиг.8.) описват действието на една и съща
схема.

4.Опростяване на Булеви изрази.

Булевият израз А2.B+A.B7
77+A.B=Y на (фиг.9.а.) изисква при
построението на логическа схема три елемента И, два инвертора и един
тривходов елемент ИЛИ.

8


Фиг.9
Логическата схема, която може да изпълнява логическите функции
на Булевия израз А.2B+A.B2+A.B=Y е показана на (фиг.9.б). На (фиг.9.в). е
показана таблицата на истинност за Булевия израз от (фиг.9.а). и
логическата схема от (фиг.9.б). При по-внимателно разглеждане се вижда,
че всъщност това е таблицата на истинност на двувходов елемент ИЛИ.
Простият Булев израз на двувходов елемент ИЛИ, е А+В = Y, както е
показано на (фиг.9.г.), а логическата схема на двувходов елемент е
показана на (фиг.9.д).

9

Следва изводът, че винаги е необходимо да се опрост яват
първоначално зададените Булеви изрази за да се получат по-прости и по –
евтини логически схеми. За целта се използват такива средства, като
Булевата алгебра и картите на Карно.
Булевата алгебра е създадена от Джордж Бул (1815-1864). От 1930 г.
започва да се използва в теорията на цифровите логически схеми.
Съществуват и други методи за опростяване, като картите на Вейч,
диаграмите на Вен и табличните методи.

4.1.Карти на Карно.

През 1953 г. Морис Карно публикува своя метод за опростяване на
Булеви изрази с помощта на специални таблици - карти. Подобна карта е
показана на (фиг.10). Четирите клетки (1, 2, 3, 4) съответстват на четирите
възможни комбинации от А и В в една таблица на истинност с две
променливи. Клетка 1 съответства на А.2В2, клетка 2 – на А2.В и т.н.
За опростяване на Булевия израз А.2B+A.B2+A.B=Y се използва карта
на Карно. Поставя се 1 във всяка клетка от картата на Карно, която
съответства на член от първоначалния Булев израз (фи г.11.б.).
Попълнената карта на Карно е готова за групиране. Съседните единици се
обедняват в групи по две, четири или осем. Групирането продължава,
докато всички единици влязат в някоя група. Всяка група представлява нов
член в опростения Булев израз. В картата има две групи, което означава, че
в новия опростен Булев израз ще има два члена свързани с операция ИЛИ.
Разглеждаме долната група (фиг.12). А се съдържа заедно с В и В2 .
Членовете В и В2 могат да се елиминират съгласно правилата на Булевата
алгебра. В резултат в долната група остава само А. По същия начин
вертикалната група съдържа А и А2 , които се елиминират, и в резултат на
това остава само членът В. След това получените членове А и В се

10

свързват с операция ИЛИ, в резултат на което се получава Булев израз
А+В=Y.

Фиг.10.


Фиг.11.

11


Фиг.12.

Опростяването може да се опише чрез следните стъпки:
• Булев израз в ДНФ;
• Записване на единиците в картата на Карно;
• Групиране на съседните единици в групи по две, четири или
осем клетки;
• Опростяване, като се отстраняват членовете в една група,
които съдържат даден член и неговото отрицание;
• Свързване на останалите членове с логическата операция ИЛИ
по един член от група;
• Записване на опростения Булев израз.

4.2.Карти на Карно с три променливи.

Неопростен Булев израз А.B.2C7 +A.2B.2C7 +A.2B.2C+A.B.C7 =Y е показан
на (фиг.13.а). На (фиг13.б.) е показана карта на Карно с три променливи. В
картата са нанесени осем възможни комбинации от А, В и С които
съответстват на осемте клетки на картата. В картата са нанесени четири
единици, които съответствуват на всеки от четирите члена в
първоначалния Булев израз. Попълнената карта на Карно е показана на
(фиг.13.в). Съседните двойки от единици са групирани. Долната група
съдържа