Елементи от теория на вероятностите

ГЛАВА ОСМА

ЕЛЕМЕНТИ ОТ ТЕОРИЯТА НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ
§1. ВЪВЕДЕНИЕ
Ако анализираме процесите, явленията и дейностите в природата, обществото и образователната система ще видим, че те са свързани помежду си с причинноследствени връзки. Възникването на едно явление се явява причина за настъпване на друго и т.н.
Явление - причина – са онези явления, при появата на които настъпват други явления, наречени следствия.
Например: причина за счупване на стъклото е хвърления камък по него; причина да потече вода от чешмата е отварянето на крана; причина да светне лампата е натискането на бутона; причина да получи двойка студента на изпит е да се яви неподготвен на изпита и т.н.
Явленията - причина и следствие могат да бъдат случайни (вероятностни) и неслучайни (детерминирани).
Случайни са онези явления, които при настъпване на явленията причина могат да настъпят, а могат и да не настъпят.
Неслучайни (детерминирани) са онези явления, които при настъпване на явленията – причина, те сигурно настъпват.
Теорията на вероятностите и математическата статистика са вероятностни количествени методи, които изучават, моделират, анализират и прогнозират закономерностите (причинно-следствените връзки) при явления, процеси и дейности със случаен характер.

§2. ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ
Основни първични понятия в теорията на вероятностите и математическата статистика са понятията опит (експеримент) и събитие.
Опит (експеримент) се нарича създаването на необходимите условия за настъпване на дадено явление, процес или дейност.
Събитие се нарича изхода, (резултата)от експеримента.
То няма продължителност във времето, а само фиксира момента на завършване на явлението причина и момента на започване на явлението следствие.
Тези понятия не се дефинират чрез други понятия, а се илюстрират с примери. Събитията се означават с главните букви на латинската азбука.
Елементарни събития – всеки възможен изход при даден експеримент се нарича елементарно събитие, което се бележи с <Object: word/embeddings/oleObject1.bin> и съответни индекси,
например: Хвърлянето на монета е опит с 2 изхода, две елементарни (събития):
а) <Object: word/embeddings/oleObject2.bin> да се падне лице; б) <Object: word/embeddings/oleObject3.bin> да се падне гръб.

Пример 2: Хвърлянето на зар е опит с 6 изхода, 6 елементарни (събития): <Object: word/embeddings/oleObject4.bin>
Пример 3: Нека при хвърляне на 1 зар си дефинираме следните събития:
А - броят на появилите се точки да бъде нечетно число - <Object: word/embeddings/oleObject5.bin>
В - броят на точките да бъде < 4 <Object: word/embeddings/oleObject6.bin>
С - броят на точките да бъде просто число <Object: word/embeddings/oleObject7.bin>
Д - броят на точките да бъде кратен на 3 <Object: word/embeddings/oleObject8.bin>.
Множеството от всички възможни изходи (елементарни събития) при даден опит, наричаме пълна система от събития, ако при този опит настъпва точно едно от тях, а настъпването на повече от едно е невъзможно.
При първия пример: При хвърлянето на монета събитията <Object: word/embeddings/oleObject9.bin> и <Object: word/embeddings/oleObject10.bin> образуват пълна система от събития,<Object: word/embeddings/oleObject11.bin> защото:
настъпва точно едно от двете;
повече от едно не може да настъпи.
При втория пример: събитията също образуват пълна система от събития
<Object: word/embeddings/oleObject12.bin>, защото:
настъпва точно едно от тези 6 елементарни събития;
повече от едно не може да настъпи.
При третия пример:Събитията <Object: word/embeddings/oleObject13.bin>и <Object: word/embeddings/oleObject14.bin>не образуват пълна система от събития, защото могат да настъпят повече от едно събитие, а може и да не настъпи нито едно от тези събития.
Сигурно (достоверно) събитие нарича събитие, което при даден опит е сигурно, че ще настъпи. Ще го бележим с <Object: word/embeddings/oleObject15.bin> - достоверно събитие (изваждането на бяла топка от съд, в който има само бели топки).
Невъзможно събитие – събитие, което при даден опит не може да настъпи. Бележи се с <Object: word/embeddings/oleObject16.bin>.
Например: Ако в джоба си имаме само бял тебешир, невъзможно е да извадим тебешир с друг цвят.
Случайно събитие – събитие, което при даден опит може да настъпи, а може и да не настъпи.
Например: падането на герб(гръб) при хвърляне на една монета.
Зависими събития – казваме, че две или повече събития са зависими, когато настъпването на едното влияе върху настъпването на друго.
Независими събития. Две или повече събития са независими когато настъпването на едното не влеяе върху настъпването на другите или с други думи всяко от тях може да настъпи без да е настъпило някое от другите.
Съвместими събития. Две или повече събития се наричат съвместими когато могат да настъпят едновременно.

Например: <Object: word/embeddings/oleObject17.bin> – броя точки при хвърляне на зар е 1
<Object: word/embeddings/oleObject18.bin> – да се падне герб при хвърляне на монета.
Несъвместими събития. Две или повече събития се наричат несъвместими, когато не могат да настъпят едновременно.
Например: <Object: word/embeddings/oleObject19.bin> – броя точки при хвърлянето на зар да е четно число;
<Object: word/embeddings/oleObject20.bin> – броят точки при хвърлянето на зар да е нечетно число.
Противоположно събитие – когато при даден опит събитие <Object: word/embeddings/oleObject21.bin> не настъпва, казваме, че е настъпило неговото противоположно <Object: word/embeddings/oleObject22.bin>.

§3.ОПЕРАЦИИ СЪС СЪБИТИЯ

При решаване на различни задачи с помощта на теорията на вероятностите се налага с помощта на няколко събития да опишем ново по-сложно събитие.
Например: При хвърляне на 1 зар:
<Object: word/embeddings/oleObject23.bin> - появата на 1 точка върху зара <Object: word/embeddings/oleObject24.bin>
<Object: word/embeddings/oleObject25.bin> - появата на 3 или 5 точки <Object: word/embeddings/oleObject26.bin>
<Object: word/embeddings/oleObject27.bin> - появата на нечетен брой точки върху зара -
<Object: word/embeddings/oleObject28.bin>
Ясно е, че събитието <Object: word/embeddings/oleObject29.bin>ще се сбъдне тогава, когато се сбъдне или събитието <Object: word/embeddings/oleObject30.bin> или събитието <Object: word/embeddings/oleObject31.bin>.
Събитието <Object: word/embeddings/oleObject32.bin> в този случай наричаме обединение на събитията <Object: word/embeddings/oleObject33.bin> и <Object: word/embeddings/oleObject34.bin> и се бележи с <Object: word/embeddings/oleObject35.bin> или <Object: word/embeddings/oleObject36.bin>.

Сумата (обединението) на две събития настъпва тогава, когато настъпи или първото или второ или и двете събития. Ако с <Object: word/embeddings/oleObject37.bin> означим сбъдването на едно събитие, а с <Object: word/embeddings/oleObject38.bin> означим неговото несбъдване, събитието <Object: word/embeddings/oleObject39.bin> ще има следните възможни изходи:

Следствие: Ако събитието <Object: word/embeddings/oleObject44.bin> и <Object: word/embeddings/oleObject45.bin> са несъвместими, тяхното обединение настъпва тогава, когато е настъпило точно едно от тези две

събития. Сумата на повече от две събития може да се дефинира по следния начин - <Object: word/embeddings/oleObject46.bin>.
Сечение на събития:Под сечение на събитие <Object: word/embeddings/oleObject47.bin> и <Object: word/embeddings/oleObject48.bin> разбираме такова събитие, което настъпва тогава, когато са настъпили и двете събития.
<Object: word/embeddings/oleObject49.bin> нечетен брой точки <Object: word/embeddings/oleObject50.bin>
<Object: word/embeddings/oleObject51.bin> брой точки <Object: word/embeddings/oleObject52.bin>
<Object: word/embeddings/oleObject53.bin>
Възможните изходи за събитието <Object: word/embeddings/oleObject54.bin>са следните:

Аналогично можем да дефинираме и сечение на повече от 2 събития: <Object: word/embeddings/oleObject59.bin> или <Object: word/embeddings/oleObject60.bin>.
Следствие: Ако събитията <Object: word/embeddings/oleObject61.bin> и <Object: word/embeddings/oleObject62.bin> са несъвместими, казваме, че тяхното сечение е невъзможно събитие и обратно, ако <Object: word/embeddings/oleObject63.bin>, събитията <Object: word/embeddings/oleObject64.bin> и <Object: word/embeddings/oleObject65.bin> са несъвместими.
Пример: <Object: word/embeddings/oleObject66.bin>- нечетен брой точки
<Object: word/embeddings/oleObject67.bin>- четен брой точки
<Object: word/embeddings/oleObject68.bin>
Разлика на събития. Ако <Object: word/embeddings/oleObject69.bin> и <Object: word/embeddings/oleObject70.bin> са две събития, които могат да настъпят при даден опит, казваме че е настъпило събитието <Object: word/embeddings/oleObject71.bin>, когато е настъпило събитие<Object: word/embeddings/oleObject72.bin> и не е настъпило събитие <Object: word/embeddings/oleObject73.bin>.
Например: при хвърляне на 1 зар:
<Object: word/embeddings/oleObject74.bin> - не повече от 3 точки
<Object: word/embeddings/oleObject75.bin> - четен брой точки
<Object: word/embeddings/oleObject76.bin> - да се паднат 1 или 3 точки

Ако <Object: word/embeddings/oleObject80.bin> казваме, че събитието <Object: word/embeddings/oleObject81.bin> -благоприятствува сбъдването на събитието <Object: word/embeddings/oleObject82.bin>.
Например: при хвърляне на 1 зар:
<Object: word/embeddings/oleObject83.bin> -брой точки <Object: word/embeddings/oleObject84.bin>
<Object: word/embeddings/oleObject85.bin> - брой точки <Object: word/embeddings/oleObject86.bin> <Object: word/embeddings/oleObject87.bin>
Ако се сбъдне събитието <Object: word/embeddings/oleObject88.bin>, се сбъдва и събитието <Object: word/embeddings/oleObject89.bin> или сбъдването на събитието <Object: word/embeddings/oleObject90.bin> е достатъчно условие за сбъдване и на събитието <Object: word/embeddings/oleObject91.bin>, но то не е необходимо, защото <Object: word/embeddings/oleObject92.bin> може да настъпи, когато настъпи и <Object: word/embeddings/oleObject93.bin> - три точки.
Друг пример: Ако събитието В е при явяване на изпит студентът Х си взема изпита, а събитието А е студентът Х е получил тройка на изпита. Явно е, че събитиета А благоприятства настъпването на събитието В и настъпването на събитието А гарантира и настъпването на В. Очевидно събитието В може да настъпи и в други случаи.

§4.КЛАСИЧЕСКО ОПРЕДЕЛЕНИЕ НА ВЕРОЯТНОСТТА

Теорията на вероятностите освен случайните събития и операциите с тях дава и количествена оценка на възможността за тяхното настъпване наречена вероятност. Казваме, че настъпването на две събития е равновероятно, ако при повторение на опита няма обективни причини едното да се появява по-често от другото.
Например:
При хвърлянето на една монета падането на гръб и лице са две равновероятни събития.
При хвърлянето на един зар събитията <Object: word/embeddings/oleObject94.bin> и <Object: word/embeddings/oleObject95.bin> са равновероятни.
При хвърляне на една монета и един зар, по вероятно е да се появи лице отколкото 6 точки на зара.
В една торбичка има 3 бели и 5 черни топчета. При един опит по-вероятно е да извадим черно топче, отколкото бяло, защото имаме 5 благоприятни от 8 възможни, а при бялото имаме 3 благоприятни изхода от 8 възможни - <Object: word/embeddings/oleObject96.bin>.
Благоприятни изходи – наричаме всички онези изходи, при настъпването на които настъпва и наблюдаваното от нас събитие.
Възможни изходи – Всички изходи, които са възможни при провеждането на даден експеримент.
Класическо определение(определяне, пресмятане)на вероятността:
Ако при даден опит събитието <Object: word/embeddings/oleObject97.bin> има <Object: word/embeddings/oleObject98.bin> възможни елементарни изхода, от които <Object: word/embeddings/oleObject99.bin> са благопр