Кодове и бройни системи

1

Т2.7.КОДОВЕ


1.ОБЩИ ПОЛОЖЕНИЯ.

Цифровите електронни устройства използват числова система,
наречена двоична. Във връзка с компютрите и микропроцесорните системи
се използват и други бройни системи, наречени шестнадесетична, осмична
и др. Необходимо е да се знае как се преобразуват числата от обичайната
десетична система в двоична, шестнадесетична и осмична система.
Ще разгледаме:
• Позиционната стойност в десетична, двоична, осмична и
шестнадесетична бройна система.
• Преобразуване на числа от двоична в десетична и от десетична в
двоична бройна система.
• Преобразуване на числа от шестнадесетична в двоична, от
двоична в шестнадесетична, от шестнадесетична в десетична и
от десетична в шестнадесетична бройна система.
• Преобразуване на числа от осмична в двоична, от двоична в
осмична, от осмична в десетична и от десетична в осмична
бройна система.

2. ОСНОВЕН ДВОИЧЕН КОД.

В цифровите логически схеми, които изграждат компютр ите,
микропроцесорите, калкулаторите и системите с импулсно -кодова
модулация, се извършват аритметични операции само с две числа — 1 и 0.
Стойността 1 се представя с определена амплитуда или полярност, която се
противопоставя на представляващата 0, с друга амплитуда или полярност.
Възможно е също числата 1 и 0 да се възпроизвеждат от състоянията на

2

провеждане и непровеждане на електрически ток в схемите. Описаните
начини на представяне осигуряват много по-висока степен на точност,
отколкото е възможно да се постигне, ако се използват специално подбрани
части от амплитудите или широчините на импулсите, за да се представят
числата от 0 до 9. Вследствие на това се налага да се извършват
аритметични действия в бройната система с основа 2 вместо в познатата на
всички система с основа 10 (десетичната бройна система). Системата с
основа 2 се нарича двоична и с нея могат да се извършват всички действия,
свързани с числови стойности, като умножение, деление, изваждане,
събиране и други математически операции.В десетичната система голямо
значение има позиционната стойност на всяка цифра.Благодарение на това с
помощта на цифрите от 0 до 9 могат да се представят безкрайно големи
числа.

В двоичната система стойността на разредите нараства про-
гресивно в посока наляво от десетичната точка. Всеки следващ отляво
разред представя стойност, два пъти по-голяма от тази на предишния
разред. Броят на нулите, наляво от дадено число, например в 001 или 00010,
не се отразява на общата му стойност, но посочва броя на разредите,
използвани за представяне на стойностите на някаква променлива. В
двоичната система числото 0001 представя числото 1 от десетичната бройна
система, а 0010 представя десетичното число 2. По същия начин 0100
представя десетичното число 4, а 1000 — 8. Двоичното число 1001 е равно
на десетичното 9, а 1010 на 10 и т. н. Съществува следната зависимост
между разредите от двоичното число и техните стойности, представляващи
нарастващите степени на числото 2:

3


Зависимостта между разредите и степените на 2, дадени в горната
таблица, позволяват да се определи стойността на всяка комбинация от нули
и единици в двоичния израз. В посочения по- горе пример 1001 е равно на
десетичното число 9, тъй като най- десният разред е равен на десетично 1, а
най-левият разред, намиращ се в четвърта позиция, има стойност на
десетично 8. По този начин в 1001 се комбинират десетичните числа 8 и 1, за
да се получи 9. Подобно на това стойността на 10110 е десетично 22, тъй
като единицата във втория разред отдясно наляво представя десетично 2,
единицата в третия разред представя 4 и тази в петия разред — 16, което
общо прави 22. В таблица 1 са показани двоичните числа, еквивалентни на
десетичните числа от 0 до 16.
Таблица 1.

Таблица 1 може лесно да бъде продължена, като се спазват правилата
за последователно групиране на единиците и нулите. Нулите и единиците в
най-дясната колона се редуват, като това редуване се запазва независимо от
това, до кое число е достигнало броенето. Във втората колона отдясно
наляво съществува вертикално редуване на две нули с две единици. В

4

третата колона четири нули се редуват с четири единици. В четвъртата
колона отдясно наляво се редуват осем нули с осем единици независимо от
големината на последното число от броенето. Шестнадесет нули се редуват
с шестнадесет единици в петата колона. Ако двоичният израз е съставен от
шест разреда, в шестата колона отдясно наляво ще се редуват тридесет и две
единици и нули и т. н.
В табл. 2 са посочени различни бройни системи заедно със
съответната основа.

Двоичното представяне на всяко десетично число може да бъде
получено чрез повтарящо се деление на 2.
ТАБЛИЦА.2. Различни бройни системи

Например, ако се търси двоичният еквивалент на 695, това число
няколкократно се дели на 2 и всеки остатък се подрежда в колонка от
дясната страна. След последното деление, което дава като частно цяло
число, остатъците се записват хоризонтално, като се започва от най
Най-долното число става най
комбинация. В посочения пример се получава двоичното

Например, ако се търси двоичният еквивалент на 695, това число
колкократно се дели на 2 и всеки остатък се подрежда в колонка от
След последното деление, което дава като частно цяло
татъците се записват хоризонтално, като се започва от най
долното число става най-ляв разред (бит) на получена
комбинация. В посочения пример се получава двоичното число
5


Например, ако се търси двоичният еквивалент на 695, това число
колкократно се дели на 2 и всеки остатък се подрежда в колонка от
След последното деление, което дава като частно цяло
татъците се записват хоризонтално, като се започва от най- долния.
ляв разред (бит) на получената двоична
число 1010110111:

Преобразуване от двоичен в десетичен код
Преобразуване на двоичното число 110011 в десетично
Преобразуване на двоичното число 111101000 в десетично

Преобразуване от двоичен в десетичен код.
Преобразуване на двоичното число 110011 в десетично
Преобразуване на двоичното число 111101000 в десетично
6

Преобразуване на двоичното число 110011 в десетичното 51.

Преобразуване на двоичното число 111101000 в десетично 1000:

7

3. ДЕСЕТИЧНИ ЧИСЛА В ДВОИЧЕН КОД.

В много случаи е удобно да се кодира всяко десетично число по-
средством неговия двоичен еквивалент в системата, наречена двоично
кодирана десетична система. Този метод е подходящ за числата в декадните
(десетичните) броячи, тъй като се посочва действителният достигнат брой.
Така например, ако 46 се запише в основната двоична система, то ще бъде
101110. В последователността от декадни броячи, където в групи от четири
стъпала се достига най- висок брой 9, стойността 46 ще бъде представена с
0100 0110, като по такъв начин се дават двоичните еквиваленти на
отделните числа (4=0100 и 6=0110). Използват се четири двоични бита
(нули или единици) за представяне на числото във всеки десетичен разред.
Така се постига съответствие с четирите бита, необходими за представянето
на най-голямото число от дадена група (9), което е двоичното 1001.
Следователно числото 267 ще се преобразува в 0010 0110 0111.(2=0010;
6=0110; 7=0111).
Когато десетични числа се кодират чрез отделни групи двоични
числа, състоящи се от по 4 бита, естествено, първите девет десетични числа
ще се представят в чисто двоична форма. След деветото число двоично
кодираните означения се превръщат в отделни групи от 4 бита, както е
показано в табл. 3.

8


4. ШЕСТНАДЕСЕТИЧЕН КОД.

В двоично кодираната десетична система, описана по горе, най-
високата десетична стойност на група от 4 бита е 9. Известно е, че четири
единици (1111) ще съответствуват на десетичното число 16. Следователно
във всяка група от 4 бита на двоично кодираното десетично число остават
по шест неизползвани стойности. Тези допълнителни стойности понякога се
означават с букви от азбуката, за да може да се разшири общият брой на
идентифициращите означения на клетки от компютърната памет, наричани
още адреси. По такъв начин 1010 се означава с буквата А, 1011 — с В, 1100
— с С, 1101 — с D, 1110 — с Е и 1111 — с F. Следователно адресът,
идентифициран с 1100 0110 1001, ще бъде С69, а адресът 1110 0101 0110 —
Е56. В този случай двоичното представяне е буквено-цифрово. В табл. 4 са
дадени шестнадесетични, двоични и десетични числа.

Преобразуване на десетично число в шестнадесетично:

9



5. ОСМИЧНА БРОЙНА СИСТЕМА

Осмичната бройна система се използва често за специални случаи на
приложение. Тя ускорява преобразуването на двоичното представяне в
неговия десетичен еквивалент, както и преобразуването на десетичните
числа в двоични. При осмичната система всяко двоично число, независимо
от неговата дължина се разделя на отделни групи, съдържащи по 3 бита,
например 001 или 111. Следователно двоичното число 11010011 в осмична
система ще се запише като 011 010 011. Тъй като всяка група се състои само
от три знака, най-голямото число в групата ще бъде 7. Поради това ос-
мичната система има основа 8 и всяка група от три бита в после-
дователността отдясно наляво ще изразява стойността на следващата степен
на 8. Всяка степен на 8, представяна от разреда на една група или триада,
може да се означи така, както бе направено за степените на 2. Стойностите
на осмичните степени са:

10


Например двоичното число 1010110111 има десетична стойност 695.
Осмичното представяне ще бъде 001 010 110 111. Следователно осмичното
представяне с десетични числа е 1267. В табл. 5 са дадени осмичната и
двоичната форма за избрани десетични числа.


Осмичната бройна система може също да бъде използвана, за да се
получи двоичното представяне на дадено десетично число. Това се
извършва, като се дели няколкократно на 8 и остатъкът се записва в
колонка. Числата в тази колонка представляват осмичното число, което
позволява да се запише двоичният еквивалент. Като пример ще приведем
споменатото по-горе десетично число 695. За да се установи осмичното
число, се извършва деление на 8.

11


След като се намери последният остатък, записът на числата от
колонката в хоризонтален ред, като се започне от най-долното число, дава
числото 1267, което всъщност е осмичното представяне. От него се
получава 001 010 110 111, което, като се събере в едно число, дава
1010110111.

Преобразуване на осмично число в десетично:

12

Преобразуване на десетично число в осмично:


6. КОД НА ГРЕЙ.


В промишлените електронни и компютърни системи често е не-
обходимо аналогова функция да се преобразува в цифрова форма. Когато
дадено изменение на физическа величина, например завъртване на вал или
преместване на лост, трябва да бъде преобразувано в еквивалентна числова
стойност, например двоична, се извършва аналогово-ц ифрово
преобразуване. След това получената информация може да се подаде на
компютър, за да се извършат необходимите изчисления. Методите на това
преобразуване се използват в системите за насочване и следене на
изкуствените спътници на Земята, както и в промишлеността, когато се
осъществява компютърно управление на металорежещи маш ини,
технологични процеси и т. н.
Когато се кодират малки изменения на променлива величина,
предпочита се такава бройна система за кода, която се характеризира с
промяна само в един разред на всяка стъпка от преобразуването, за да се
сведе до минимум вероятността за грешка. При двоичната система могат да
се променят едновременно няколко разреда. Например преминаването от 3
в 4 предизвиква изменение в три от разредите - от 011 в 100. Ето защо е
много необходим код, при който за всяко нарастване с единица възниква
изменение само в един от разредите. Такъв код е изобретен от Франк Грей и

е наречен на негово име.
минималната грешка.
отразен двоичен код.
десетичните числа от 0 до 18 заедно със съответните
За получаването на числата в кода на Грей се използва специа
метод. Най-напред двоичното
това то се записва и като второ събираемо, но из