Математически анализ 1 - част

Ëåêöèîííè çàïèñêè
ïî
Ðåàëåí àíàëèç
Äèôåðåíöèàëíî ñìÿòàíå íà ôóíêöèÿ íà åäíà ïðîìåíëèâà
ñ èçïîëçâàíå íà Àëãåáðè÷íè êîìïþòúðíè ñèñòåìè
Áîÿí Çëàòàíîâ
Ïëîâäèâñêè Óíèâåðñèòåò Ïàèñèé Õèëåíäàðñêè
Ôàêóëòåò ïî Ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà
2014

Ïðåäãîâîð
Ïúðâà ÷àñò íà êóðñà ïî Ìàòåìàòè÷åñêè àíàëèç âêëþ÷âà òåîðèÿ íà ðåàëíèòå ÷èñëà;
÷èñëîâè ðåäèöè; ôóíêöèÿ íà åäíà ïðîìåíëèâà - ãðàíèöà íà ôóíêöèÿ, íåïðåêúñíàòîñò íà
ôóíêöèÿ, äèôåðåíöèðóåìîñò íà ôóíêöèÿ; ïðèëîæåíèÿ íà ïðîèçâîäíèòå.
Ïðåäëàãàíèòå ëåêöèîííè çàïèñêè ñà íàïèñàíè âúç îñíîâà íà ÷åòåíèòå îò àâòîðà ëåê-
öèè ïî Ìàòåìàòè÷åñêè àíàëèç  Äèôåðåíöèàëíî ñìÿòàíå íà ôóíêöèÿ íà åäíà ïðîìåíëèâà
ïðåä ñòóäåíòè îò ñïåöèàëíîñòèòå Ìàòåìàòèêà, Ïðèëîæíà ìàòåìàòèêà, Ìàòåìàòèêà è
èíôîðìàòèêà, Èíôîðìàòèêà âúâ ôàêóëòåòà ïî Ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà Ôèçèêà è
ìàòåìàòèêà, Èíæèíåðíà ôèçèêà âúâ ôàêóëòåòà ïî Ôèçèêà íà Ïëîâäèâñêèÿ óíèâåðñè-
òåò Ïàèñèé Õèëåíäàðñêè. Ëåêöèîííèòå çàïèñêè ñà ÷àñò îò ó÷åáíèòå ïîìàãàëà ïî ïðîåêòà
BG051PO001-4.3.04-0064 Ïëîâäèâñêè åëåêòðîíåí óíèâåðñèòåò (ÏåÓ): íàöèîíàëåí åòàëîí
çà ïðîâåæäàíå íà êà÷åñòâåíî åîáó÷åíèå â ñèñòåìàòà íà âèñøåòî îáðàçîâàíèå.  èíòåðíåò
ñòðàíèöàòà íà Ïëîâäèâñêè åëåêòðîíåí óíèâåðñèòåò ñà âêëþ÷åíè ñúùî òàêà òåñòîâå ïî
âñÿêà òåìà è ôàéëîâå ñ êîäà íà Maple, êîèòî èëþñòðèðàò ïðèëàãàíåòî íà êîìïþòúð çà
ðåøàâàíå íà çàäà÷è ïî Ìàòåìàòè÷åñêè àíàëèç.
×åòèðè îñíîâíè åëåìåíòà ïðèñúñòâàò â ëåêöèîííèòå çàïèñêè: ïúëíî èçëàãàíå íà îñ-
íîâíèòå ðåçóëòàòè ïî Ìàòåìàòè÷åñêè àíàëèç  äèôåðåíöèàëíî ñìÿòàíå íà ôóíêöèÿ íà
åäíà ïðîìåíëèâà; èëþñòðàöèÿ íà îïðåäåëåíèÿòà è òåîðåìèòå ñ ïðèìåðè è ÷åðòåæè; èç-
ïîëçâàíå íà êîìïþòúð çà ðåøàâàíå íà çàäà÷è; ïðåäñòàâÿíå íà êðàòêà áèîãðàôèÿ íà ìà-
òåìàòèöèòå, äîïðèíåñëè çà âñåêè åäèí îò èçó÷àâàíèòå ðåçóëòàòè â êóðñà.
Ïðè èçëàãàíåòî íà òåîðèÿòà ñìå ñå ïîñòàðàëè äà ðàçãëåäàìå âñè÷êè íàéñúùåñòâåíè
ïîíÿòèÿ è òâúðäåíèÿ îò Ìàòåìàòè÷åñêèÿ àíàëèç  äèôåðåíöèàëíî ñìÿòàíå íà ôóíêöèÿ íà
åäíà ïðîìåíëèâà. Èëþñòðèðàëè ñìå ïîíÿòèÿòà è òâúðäåíèÿòà êàêòî ñ ëåñíè ïðèìåðè, òàêà
è ñ ïîñëîæíè ïðèìåðè. Äåìîíñòðèðàëè ñìå ïðèëîæåíèå íà òåîðåìèòå â çàäà÷è îò äðóãè
êëîíîâå íà åñòåñòâåíèòå è ïðèðîäíèòå íàóêè. ×åðòåæèòå ñà èçðàáîòåíè èëè íà Maple èëè
íà GeoGebra. Äèíàìè÷íàòà ñðåäà íà GeoGebra ïîçâîëÿâà äà èëþñòðèðàìå ïðèìåðèòå, â êî-
èòî èìà äèíàìèêà. Ðàçâèòèåòî íà Àëãåáðè÷íèòå êîìïþòúðíè ñèñòåìè (ACS) ïîçâîëÿâà äà
ñå èçâúðøâàò ñëîæíè è òðóäîåìêè ìàòåìàòè÷åñêè ïðåñìÿòàíèÿ ñ ïîìîùòà íà êîìïþòúð.
Åòî çàùî â íàñòîÿùèòå ëåêöèîííè çàïèñêè ñìå äåìîíñòðèðàëè âúçìîæíîñòèòå íà ACS
çà ðåøàâàíå íà çàäà÷è ïî ìàòåìàòè÷åñêè àíàëèç. Çàïîçíàâàìå ñòóäåíòèòå ñ âãðàäåíèòå
â ACS ôóíêöèè, êîèòî äàâàò êðàéíè ðåçóëòàòè íà ïîñòàâåíèòå çàäà÷è ïî ìàòåìàòè÷åñêè
àíàëèç. Äåôèíèðàìå ïðîöåäóðè â Maple, êîèòî ñëåäâàò ñòúïêà ïî ñòúïêà ïðåñìÿòàíèÿòà,
êîèòî áè òðÿáâàëî äà ñå èçâúðøàò íà ðúêà. Òîâà íè ïîçâîëè äà âêëþ÷èì ñëîæíè ïðèìåðè,
çà êîèòî íå áè èìàëî âðåìå äà áúäàò ðàçãëåäàíè â ÷àñîâåòå ïî Ìàòåìàòè÷åñêè àíàëèç.
Ïðè ñúçäàâàíåòî íà Ëåêöèîííèÿ êóðñ ñìå èçïîëçâàëè îñíîâíî òðè ó÷åáíèêà: Ì. Ôèõ-
òåíãîëüö Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ â 3 òîìà., Â. Èëèí, Â.
Ñàäîâíè÷è, Áë. Ñåíäîâ Ìàòåìàòè÷åñêè àíàëèç â 2 òîìà. è Ï. Äæàêîâ, Ð. Ëåâè, Ð. Ìàëå-
åâ, Ñò. Òðîÿíñêè Äèôåðåíöèàëíî è èíòåãðàëíî ñìÿòàíå. Ðàçðàáîòèõìå òîçè ëåêöèîíåí
êóðñ, çà äà îáîãàòèì âå÷å ñïîìåíàòèòå ó÷åáíèöè ñ èçïîëçâàíåòî íà ACS ïðè èçó÷àâàíåòî
íà Ìàòåìàòè÷åñêè àíàëèç.

Ñúäúðæàíèå
1 Ðåàëíè ÷èñëà 5
1.1 Ðàöèîíàëíè ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.2 Äåôèíèðàíå íà èðàöèîíàëíèòå ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3 Ðåàëíè ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.4 Àðèòìåòè÷íè äåéñòâèÿ ñ ðåàëíè ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1.5 Ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2 ×èñëîâè ðåäèöè 20
2.1 Îñíîâíè îçíà÷åíèÿ è äåôèíèöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.2 Îñíîâíè âèäîâå ÷èñëîâè ðåäèöè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2.3 Ñõîäÿùè ÷èñëîâè ðåäèöè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2.4 Äåéñòâèÿ ñ ÷èñëîâè ðåäèöè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
2.5 Íåðàâåíñòâà è ãðàíèöè íà ðåäèöè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
2.6 Ìîíîòîííè ðåäèöè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
2.7 Ïîäðåäèöè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
2.8 Êðèòåðèè çà ñõîäèìîñò íà ðåäèöè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
2.9 Áåçêðàéíî ìàëêè è áåçêðàéíî ãîëåìè ðåäèöè. . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
2.10 Íåîïðåäåëåíè èçðàçè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
2.11 Îïðåäåëåíèå íà ÷èñëîòîe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
3 Ôóíêöèè. 70
3.1 Îñíîâíè ïîíÿòèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
3.2 Àíàëèòè÷íî äåôèíèðàíå íà ôóíêöèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
3.3 Îñíîâíè êëàñîâå ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
3.4 Îáðàòíè ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
3.5 Ñúñòàâíà ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
4 Ãðàíèöà íà ôóíêöèÿ 90
4.1 Îïðåäåëåíèå çà ãðàíèöà íà ôóíêöèÿ ïî Õàéíå . . . . . . . . . . . . . . . . .90
4.2 Îïðåäåëåíèå çà ãðàíèöà íà ôóíêöèÿ ïî Êîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
4.3 Ëÿâà è äÿñíà ãðàíèöà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
4.4 Ãðàíèöà â áåçêðàéíîñòòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
4.5 Íÿêîè ñâîéñòâà íà ôóíêöèè, êîèòî èìàò ãðàíèöà . . . . . . . . . . . . . . . .111
4.6 Áåçêðàéíî ìàëêè è áåçêðàéíî ãîëåìè ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . .114
5 Íåïðåêúñíàòè ôóíêöèè 119
5.1 Àðèòìåòè÷íè äåéñòâèÿ ñ íåïðåêúñíàòè ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . . . . . .123
5.2 Ìîíîòîííîñò è íåïðåêúñíàòîñò. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
5.3 Ñúñòàâíà ôóíêöèÿ îò íåïðåêúñíàòè ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
5.4 Íåïðåêúñíîòîñò íà åëåìåíòàðíèòå ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
1

5.5 Ïðèìåðè íà ïðåêúñíàòè ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
5.6 Ñâîéñòâà íà íåïðåêúñíàòèòå ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
5.7 Ïðèëîæåíèå íà íåïðåêúñíàòîñòòà çà íàìèðàíå íà ãðàíèöè. . . . . . . . . . .148
5.8 Ðàâíîìåðíà íåïðåêúñíàòîñò. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153
5.9 Îòâîðåíè ïîêðèòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
6 Ïðîèçâîäíà íà ôóíêöèÿ 165
6.1 Äîïèðàòåëíà êúì êðèâà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165
6.2 Äåôèíèöèÿ íà ïðîèçâîäíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
6.3 Îñíîâíè òåîðåìè çà ïðîèçâîäíà íà ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
6.4 Äèôåðåíöèàë íà ôóíêöèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180
6.5 Ïðîèçâîäíè íà åëåìåíòàðíèòå ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183
6.6 Îñíîâíè ñâîéñòâà íà äèôåðåíöèðóåìèòå ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . . . . .186
7 Ïðèëîæåíèå íà äèôåðåíöèðàíåòî. 200
7.1 Êðèòåðèé çà êîíñòàíòíîñò. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200
7.2 Êðèòåðèé çà ìîíîòîííîñò. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205
7.3 Äîêàçâàíå íà íåðàâåíñòâà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212
7.4 Ïðàâèëî íà Ëîïèòàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218
7.5 Ïðîèçâîäíè îò ïî-âèñîê ðåä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232
7.6 Ôîðìóëà íà Òåéëîð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238
7.7 Ðàçëàãàíå ïî ôîðìóëàòà íà Ìàêëîðåí íà íÿêîè åëåìåíòàðíè ôóíêöèè . . .242
7.8 Ïðåñìÿòàíå íà ãðàíèöè ñ ïîìîùòà íà ôîðìóëàòà íà Òåéëîð . . . . . . . . . .252
7.9 Ëîêàëíè åêñòðåìóìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255
7.10 Íàé-ãîëÿìà è íàé-ìàëêà ñòîéíîñò íà ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . .271
7.11 Èçïúêíàëè ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278
7.12 Íåðàâåíñòâî íà Éåíñåí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293
7.13 Ïîñòðîÿâàíå íà ãðàôèêà íà ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .298
2

Âúâåäåíèå
Ïî êàêâî ñå ðàçëè÷àâàò àëãåáðàòà è ðåàëíèÿò àíàëèç? Ìîæå áè íàé-ëåñíèÿò íà÷èí
äà îïèøåì ðàçëè÷èåòî ïîìåæäó èì ñ åäíà äóìà å, ÷å àëãåáðàòà å ½ñòàòè÷íà, à ðåàëíèÿò
àíàëèç å ½äèíàìè÷åí.  àëãåáðàòà íèå ðåøàâàìå óðàâíåíèÿ çà îïðåäåëåíà ñòîéíîñò íà
ïðîìåíëèâàòà ½ñòàòè÷íî ïîíÿòèå, à â ðåàëíèÿ àíàëèç ñå èíòåðåñóâàìå êàê èçìåíåíèåòî
íà åäíà îò ïðîìåíëèâèòå âëèÿå âúðõó èçìåíåíèåòî íà äðóãà ïðîìåíëèâà ½äèíàìè÷íî ïî-
íÿòèå. Íà Ôèã. 1 ñà äàäåíè òðè çàäà÷è: äà ñå íàìåðè äîïèðàòåëíàòà êúì êðèâàòà â äàäåíà
Ôèãóðà 1: Îñíîâíè çàäà÷è îò Ìàòåìàòè÷åñêèÿ àíàëèç
òî÷êà, äà ñå íàìåðè ìîìåíòíàòà ñêîðîñò íà ïàäàùî òÿëî è äà ñå íàìåðè ëèöåòî íà çàùðè-
õîâàíàòà ôèãóðà. Òðèòå çàäà÷è èçãëåæäàò ðàçëè÷íè, íî òÿõíîòî ðåøàâàíå èçèñêâà åäíè
è ñúùè ìåòîäè. Òåçè íîâè ìåòîäè ñà îòêðèòè åäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî åäèí îò äðóã
îò Íþòîí (16421727) è Ëàéáíèö (16461716). Îñâåí ñïîìåíàòèòå òðè çàäà÷è, ðåàëíèÿò
Ôèãóðà 2: Ïðèáëèæåíî ïðåñìÿòàíå íà ëèöåòî íà êðúã
àíàëèç äàâà àïàðàò çà ðåøàâàíå íà ìíîãî äðóãè çàäà÷è îò ðàçëè÷íè ñôåðè íà íàóêàòà è
3

æèâîòà. Äî ñêîðî ñå å ïðèåìàëî, ÷å ðåàëíèÿò àíàëèç èìà ïðèëîæåíèå îñíîâíî âúâ ôèçè-
êàòà, íî ñåãà âå÷å ó÷åíè, ðàáîòåùè â ìíîãî äðóãè îáëàñòè íà ïîçíàíèåòî îòêðèâàò, ÷å òîé
å ïîëåçåí àïàðàò çà èçñëåäâàíå â òÿõ.
Ðåàëíèÿò àíàëèç å ñâúðçàí òÿñíî ñ ïîíÿòèåòî ãðàíèöà. Ïúðâèòå äîñòèãíàëè äî íàñ
ñâåäåíèÿ çà èçïîëçâàíå íà ãðàíèöà ñà îò àíòè÷íà Ãúðöèÿ. Çàäà÷àòà, êîÿòî å áèëà èíòåðåñíà
?? ??????? ?????? ? ?? ?? ?????? ?????? ?? ?????. ??????? (287λ212 ??.?.?.) ? ?????????,
÷å àêî âïèñâàìå ïîñëåäîâàòåëíî ïðàâèëíè ìíîãîúãúëíèöè â îêðúæíîñò ñ ðàäèóñ1, òî
êîãàòî áðîÿò íà ñòðàíèòå èì ñòàâà âñå ïî-ãîëÿì, ëèöàòà èì ùå ñòàâàò âñå ïî áëèçêè äî
ëèöåòî íà êðúãà (Ôèã. 2). Ïî òîçè íà÷èí Àðõèìåä äîñòèãà äî çàáåëåæèòåëíîòî ÷èñëîπ
êúì êîåòî êëîíÿò ëèöàòà íà âïèñàíèòå ïðàâèëíènλ???????? ? ???? ? ??????1.
Àíàëîãè÷íî íàáëþäåíèå å â ñèëà àêî òúðñèì îáèêîëêàòà íà êðúãà.
4

1 Ðåàëíè ÷èñëà
Èíòóèòèâíàòà ïðåäñòàâà çà ðåàëíî ÷èñëî å ÷èñëî, ÷èÿòî ñòîéíîñò ìîæå äà ñå ïðåäñòà-
âè êàòî äúëæèíà íà îòñå÷êà. Ðåàëíèòå ÷èñëà âêëþ÷âàò â ñåáå ñè åñòåñòâåíèòå ÷èñëà
(1,2,5,10), öåëèòå ÷èñëà (1,−1,2,−3,7,−8), ðàöèîíàëíèòå ÷èñëà
(
1
2
,−
11
2
,
7
5
,−
3
4
)
, èðà-
öèîíàëíèòå ÷èñëà, êîèòî ñå äåëÿò íà àëãåáðè÷íè èðàöèîíàëíè (
√
2,
√
7,
3
√
3,
5
√
2) ÷èñëà è
òðàíñöèäåíòíè ÷èñëà (π, e,2π,2
π
).
Âñÿêî ðåàëíî ÷èñëî ìîæå äà ñå ïðåäñòàâè êàòî îòñå÷êà îò ïðàâà, âúðõó êîÿòî å
èçáðàíà äúëæèíàòà íà åäèíè÷íàòà îòñå÷êà. Ñ ïîìîùòà íà åäèíè÷íàòà îòñå÷êà è íà íåéíè
äåëåíèÿ âñÿêî ÷èñëî ìîæå äà ñå ïðåäñòàâè êàòî áåçêðàéíà äåñåòè÷íà äðîá Ôèã. 3.
Ôèãóðà 3: Ïðåäñòàâÿíå íà
√
2êàòî äåñåòè÷íà äðîá
Àêñèîìàòè÷íîòî èçãðàæäàíå íà òåîðèÿòà íà ðåàëíèòå ÷èñëà å åäèí îò íàé-çíà÷èìèòå
ðåçóëòàòè íà ìàòåìàòèêàòà ïðåç 19â. Ñúùåñòâóâàò ìíîæåñòâî êîíñòðóêòèâíè äåôèíèöèè
íà ðåàëíèòå ÷èñëà. Ùå ñïîìåíåì òðè îò òÿõ - ñå÷åíèÿ íà Äåäåêèíä, êëàñîâå îò åêâèâà-
ëåíòíè ðåäèöè íà Êîøè, áåçêðàéíè äåñåòè÷íè äðîáè.
5

1.1 Ðàöèîíàëíè ÷èñëà
Ðàöèîíàëíî ÷èñëîaíàðè÷àìå ÷èñëî, êîåòî ñå ïðåäñòàâÿ âúâ âèäà
m
n
, êúäåòîm, n∈Z.
×èñëàòà
p.m
p.n
è
m
n
, êúäåòîm, n, p∈Zñ÷èòàìå çà ðàâíè. Ìíîæåñòâîòî íà ðàöèîíàëíè-
òå ÷èñëà îçíà÷àâàìå ñQ. Ìíîæåñòâîòî íà ðàöèîíàëíèòå ÷èñëà óäîâëåòâîðÿâà ñëåäíèòå
ñâîéñòâà:
Ñâîéñòâà íà íàðåäáàòà
1) Çà âñåêè äâå ÷èñëàa, b∈Qå èçïúëíåíî òî÷íî åäíî îò ñúîòíîøåíèÿòà:
a=b, a > b, b > a
2) Àêîa > bèb > c, òî ñëåäâà ÷åa > c
3) Àêîa > b, òî ñúùåñòâóâàc∈Q, òàêà ÷åa > cèc > b.
Ñúîòíîøåíèåòî<ñå äåôèíèðà ÷ðåç>. Êàçâàìå, ÷åa < b, àêîb > a.
Ñúáèðàíå è èçâàæäàíå íà ðàöèîíàëíè ÷èñëà Çà âñåêè äâå ðàöèîíàëíè ÷èñëàaèb
ñúùåñòâóâà åäèíñòâåíî ðàöèîíàëíî ÷èñ