Механика

2.кинематика 3.динамика
1.статика
механика

Равновесие и редукция на силиРавновесие и редукция на сили
Въведение в СтатикатаВъведение в Статиката
1.1.Вектори Вектори
2.2.Равновесие на материална точкаРавновесие на материална точка
3.3.Момент на силаМомент на сила
4.4.Редукция на система силиРедукция на система сили
5.5.Равновесие на идеално твърдо тялоРавновесие на идеално твърдо тяло

съставил: доц. Р. Петковсъставил: доц. Р. Петков

Въведение в СтатикатаВъведение в Статиката
Предмет на Статиката са две основни задачи:
1.Да се намерят необходимите и достатъчни условия
за равновесие на дадена система сили. Това е
задачата за равновесие на силите в точка, твърдо
тяло и системи от неподвижно свързани тела.
Когато се изследва равновесието на силите в
твърдо тяло и системи, се държи сметка за
връзката на тялото с околната среда – с околни
тела, конструкции и системи и възниква главния
въпрос – за определяне на опорните реакции.
2.Задачата за редукцията на силите – да се замени
дадена система от сили с по-проста еквивалентна
система.

Нютонови аксиоми – закони на механиката.Нютонови аксиоми – закони на механиката.
Първа аксиома – Закон на инерцията:
В коперниковата координатна система една материална
точка, оставена съвсем сама – без действието на
никакви сили, има ускорение, равно на нула.
Втора аксиома – Закон за действие на силите:
Ако на точката М действа сила F, точката получава
ускорение а, равно на F:m, където m е масата на
точката.
Трета аксиома – Закон за действието и
противодействието - На всяко действие има равно по
големина и противоположно насочено противодействие.

1. Вектори1. Вектори
1.1. Понятие за векторна величина и вектор.
Векторната величина за разлика от скаларната,
освен с големина се характеризира и с направление
(директриса), посока , а често и с приложна точка.
Изобразява се с насочена отсечка (стрела) – вектор,
който може да бъде без приложна точка – свободен
вектор или с приложна точка – свързан вектор.
а
Свободен вектор
А
F
Свързан вектор

1.2 Видове вектори1.2 Видове вектори
•Съначални – с обща приложна точка, сходящи (в
частност – конкурентни)
•Сълинейни – с обща директриса -
•Съравнинни – лежат в една и съща равнина (компланарни).
•Еквиполентни – с успоредни директриси, равни по
големина и еднакви посоки –
•Противоположни - с успоредни директриси, равни по
големина и противни посоки –
•Право противоположни – два сълинейни вектора с
равни големини и противни посоки -
А А
р ра в
р ра в

Събиране на векториСъбиране на вектори
•Два начина на събиране на вектори:
І начин – Сборът на два вектора е диагоналът на
успоредника, образуван от събираемите вектори.
с = а + в
ІІ начин – Сборът на векторите е затварящият вектор
на многоъгалника, образуван от събираемите
вектори.
а
в
с
а
в
с
с
с = а + в + …….- ГЛАВЕН ВЕКТОР

Изваждане на векториИзваждане на вектори
•Три начина за изваждане на вектори:
І начин – р вектор е разликата между векторите с и а и
е страна на успоредника с диагонал с и страна а
ІІ начин – р е сборът от вектора с и вектора -а
ІІІ начин – р е еквиполентен на вектора, който
съединява края на вектора-умалител а с края на
вектора-умаляемо с.
с
а
р
р = с - а
- а

Разлагане на векториРазлагане на вектори
•Разлагане на вектор по две и по три съначални оси.
•Разлагане на вектор по съначална ос р и равнина не
съдържаща р .
х
у
О
а
х
а
у
а
х
у
z
О
а
а
z
а
α
а
х
а
у
α
О
а
а
α
р
а
р
β
q

Умножение на векториУмножение на вектори
•Произведение на вектор със скалар.
Под произведение на един свободен вектор А
със скалар к се разбира друг свободен вектор Р,
който има еднакво направление и посока с А, когато
к е положителна величина; но ако к е отрицателно,
тогава новият вектор Р има направлението на А и е
противоположен по посока.
Големината на новият вектор /Р/ е равна на
произведението на големината на вектора /А/ и
скалара к. Т.е. /Р/ = к./А/
По този начин всеки вектор може да се
представи като произведение на неговата големина
(скалар) и единичен вектор “е”, който има
големина еденица и посока съвпадаща с тази на
вектора. Т.е. а = /а/.е

Скаларно и векторно произведение на два Скаларно и векторно произведение на два
вектора.вектора.
•Скаларното произведение на два вектора а и в е
числото р = /а/./в/.соs α, където α е ъгълът между
векторите а и в. Ако векторите-множители са разложени
по трите оси на правоъгълна координатна система и се
познават техните проекции то:
р = а
х
в
х
+ а
у
в
у
+ а
z
в
z
•Векторното произведение на два вектора а и в е
вектора с, който по големина е равен на /с/ = /а/./в/.sin α,
посоката е перпендикулярна на равнината образувана
от векторите а и в и образува с тях дясно ориентирана
координатна система. с
а
в
α

Формули за векторно произведение, смесено Формули за векторно произведение, смесено
произведение и двойно векторно произведениепроизведение и двойно векторно произведение
•векторно произведение: с = а х в

с = а х в =
•смесено произведение: а. (в х с) =
•двойно векторно произведение:
а х (в х с) = в.(а.с) – с.(а.в);
(а х в) х с = в.(а.с) – а.(в.с) .

I j k
a
x
a
y
a
z

b
x
b
y
b
z
c
x
= a
y
b
z
– a
z
b
y
,
c
y
= a
z
b
x
- a
x
b
z
,
c
z
= a
x
b
y
- a
y
b
x
a
x
a
y
a
z

b
x
b
y
b
z

c
x
c
y
c
z

2. Равновесие на материална точка.2. Равновесие на материална точка.
2.1 Необходими и достатъчни условия за равновесие.
Постановка на задачата: Има точка М, на която
действат силите F
1
, F
2
, F
3
……. F
n
. Търси се каква
зависимост трябва да съществува между тези сили,
за да остава точката в покой спрямо дадена
координатна система. (Предполага се, че т.М няма
начална скорост, т.е. v
0
= 0).
Теорема: Необходимо и достатъчно условие за да бъде
материалната точка в покой спрямо коперникова
система, е равнодействащата R на силите F
1
……. F
n
да бъде равна на нула, т.е.
R = 0 или F
1
+ F
2
+ F
3
+…….+ F
n
= 0 [1]

Условието е Условието е необходимонеобходимо, т.е. ако точката М е в , т.е. ако точката М е в
покой, то е изпълнено.покой, то е изпълнено.
•Щом точката е в покой, то радиус векторът, който
свързва началото на координатната система с т. М
ще бъде постоянен или ОМ = r = const. От тук
следва, че скоростта като първа производна на
константния вектор ще бъде нула и ускорението като
втора производна също ще бъде равно на нула.
От втората аксиома на Нютон следва, че щом
ускорението на точката е нула, равнодействащата на
външните сили е равна на нула (R = 0).
или: F
1
+ F
2
+ F
3
+…….+ F
n
= 0

Условието Условието [1] [1] е е достатъчнодостатъчно, т.е. ако то е , т.е. ако то е
изпълнено точката М е в покой.изпълнено точката М е в покой.
•Пак от втората аксиома на Нютон следва, че ако
условието е изпълнено т.е. R = 0, то и ускорението е
равно на нула. След като се интегрира два пъти
израза а = 0 (а е ускорението на т. М) и се вземе
предвид, че началната скорост е нула, то се стига до
условието r = const., т.е. точката се оказва във покой.
•Ако силите F
1
, F
2
, F
3
……. F
n
удовлетворяват
условието [1], се казва, че те се уравновесяват
взаимно. В такъв случай материалната точка остава
в покой спрямо неподвижната (инерциалната)
координатна система при условие, че началната
скорост е нула.

Тогава е общоприето да се казва: материалната материалната
точка М е в равновесие.точка М е в равновесие.

2.2 Аналитични условия за равновесие на 2.2 Аналитични условия за равновесие на
точкаточка
•Ако се проектират условията [1] върху трите оси на
правоъгълна координатна система, ще се получат следните три
скаларни равенства:
R
X
= ΣF
Xi

= 0, или ΣX
i
= O (i = 1 – n)
R
y
= ΣF
yi
= 0, или ΣY
i
= O (i = 1 – n)
R
z
= ΣF
zi
= 0, или ΣZ
i
= O (i = 1 – n)
Трите равенства [2] се наричат аналитични условия за
равновесие и гласят:
Сумите от проекциите на силите F
1
, F
2
, F
3
……. F
n
съответно върху осите x, y, z трябва да бъдат равни
на нула.
(Може лесно да се докаже, че вместо x, y, z могат да се вземат три оси р
1
,

р
2
,
р
3
, които не трябва да бъдат успоредни помежду си и успоредни на една
равнина.)
[2]

2.3 Графични условия за равновесие2.3 Графични условия за равновесие
•Равнодействащата R на съначалните сили F
1
, F
2
, F
3

……. F
n
е равна на сбора им. Следователно тя може
да се получи с помощта на силовия многоъгълник,
както се видя при събиране на вектори. Ако силовия
многоъгълник е отворен, тогава R ≠ 0 (и точката не е
в равновесие), но ако е затворен – крайната точка на
многоъгълника съвпада с началната, тогава R = 0 (и
точката е в равновесие).
•Графично условие за равновесие: Необходимо и
достатъчно условие за равновесие на т.М е:
силовият многоъгълник на силите F
1
, F
2
, F
3
……. F
n

да бъде затворен.
•(Частни случаи: две сили – противоположни; три сили – съравнинни)

3. Момент на сила.3. Момент на сила.
3.1 Момент на сила спрямо точка и спрямо ос.
Под момент на сила се разбира величината, която
определя усилието, приложено на някакво
разстояние от точка или ос. Затова се различава
момент на сила спрямо точка и момент на сила
спрямо ос. Тя е характерна само за твърди тела.
Моментът на силата F спрямо точка О - М
оF
се
изобразява като вектор М
оF
= r x F, който има:
-големина - М
оF
= F.d, където d е разстоянието от т.О
до директрисата на F, а F е големината на силата F.
-посоката на М
оF
се определя по правилото на десния
винт и е ┴ на равнината, образувана от F и т.О.
Моментът на силата F спрямо ос е величина,
равна на големината на силата по разстоянието до
оста. Има знак “+” или “-” в зависимост от посоката на
въртене. Знак “+” се приема, когато въртенето е по
посока против часовниковата стрелка. (Кога М е нула?)

3.2 Главен момент на система сили. 3.2 Главен момент на система сили.

Нека са дадени т. О и система сили F
i
(i = 1 ÷ n) с
приложни точки A
i
.
Под главен момент на системата сили F
i

спрямо точката О се разбира сумата от
моментите на силите спрямо О.
Или: М
о
= ∑М
ОFi
= ∑OA
i
x F
i
(i = 1 – n) [3]
Главните моменти М
о
и М
о/
на една система сили F