Векторно представяне на хармонично трептене

Векторно представяне на хармонично трептене. Събиране на хармонични
трептения с еднакво направление. Биене
Векторно представяне на хармонично трептене
В много случаи е по-удобно да използваме т.нар. векторно представяне на едно хармонично
трептене. Нека да разгледаме равномерно движение, с ъглова скорост , на материална точка по
окръжност с радиус A (фиг. 1). Началната ъглова координата на точката (ъгълът спрямо оста X в
момента t=0) е . За някакъв интервал от време t, материалната точка ще се завърти на ъгъл =t и
ъгловата ѝ координата ще стане =+=t+. Ако
построим радиус-вектора от началото на координатната
система до точката виждаме, че той се върти около
началото на координатната система със същата ъглова
скорост  както материалната точка, а големината му е
равна на радиуса на окръжността A. Проекциите на този
радиус-вектор върху координатните оси X и Y във всеки
момент от време t са:  cos cosx A A t    
и  sin siny A A t    
,
т.е. те имат същия вид, както уравнението на движение на
хармонично трептене. Следователно можем да представим
хармоничното трептене чрез проекцията на радиус-вектор
(с големина, равна на амплитудата A на трептенето), с
начало в равновесното положение на трептящата точка,
въртящ се с ъглова скорост , равна на кръговата честота
на трептенето и начална ъглова координата , равна на началната фаза на трептенето. Това векторно
представяне е много удобно, особено при събиране на трептения с еднакво направление.
Събиране на хармонични трептения с еднакво направление
Дотук разгледахме най-простия вид трептене – хармонично трептене предизвикано от една
възвръщъща сила. В много случаи на трептящото тяло могат да действат няколко сили. Като имаме
предвид принципа на суперпозицията, можем да разглеждаме действието на тези сили независимо една
от друга и да получим равнодействащата като векторна сума на всички действащи сили. По същия
начин можем да постъпим и с резултата от действието на силите – в случая това са независими
трептения, в които участва тялото под действие на тези сили. Като имаме предвид векторното
представяне на хармоничното трептене, можем да приложим принципа на суперпозицията и за тях, т.е.
резултантното трептене ще получим като векторна сума от векторите на отделните трептения.
Ще разгледаме първо най-простият случай – тяло (материална точка) участва в две трептения с
еднаква кръгова честота  (а следователно и с еднаква честота и период) в едно направление – по
избраната ос X:  
1 1 1
cosx A t  
и  
2 2 2
cosx A t  
.
Ще използваме векторното представяне на
трептенията – в този случай (фиг. 2) двата радиус-
вектора, чиито проекции по оста X изобразяват
трептенията, имат различни дължини (равни на
амплитудите на двете трептения A1 и A2) и
различно положение спрямо оста X в началния
момент (началните фази на трептенията 1 и 2).
Тъй като двата вектора се въртят с еднаква ъглова
скорост , ъгълът между тях, който е равен на
фазовата разлика =2–1 между трептенията
остава постоянен:   
2 1 2 1 2 1
consttt               
,
0
фиг. 2
x0
x01 x02 X
1

2
A1
A
A2
y02

Y 


y01
–
t=0
t
(t)=t+
x(t)
X
фиг. 1
Y

A y
x
t=0

=t+

т.е. фазовата разлика между трептенията във всеки момент от време е равна на фазовата разлика между
тях в началния момент.
Радиус-векторът на резултантното трептене (сумата от двете трептения) ще получим като векторна
сума на радиус-векторите на двете трептения, а неговата проекция върху оста X ще ни даде уравнението
на движение на трептенето:
(1)  
12
cosx x x A t     .
Тъй като ъгловата скорост на въртене на двата вектора е еднаква, ъгловата скорост на тяхната сума
(кръговата честота на резултантното трептене) също ще бъде . Следователно, за да намерим
уравнението на резултантното трептене, трябва да определим само амплитудата A и началната фаза .
От фиг. 2 се вижда, че амплитудата A (от правилото за събиране на вектори) е:  
22
12
22
12 221 1
2 co 2 cossA A AA A A AAA      
,
а за началната фаза  ще получим: 01 02 1 1 2 2
01 02 1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin sin
tan
cos cos
sin sin
arctan
cos cos
yy AA
x x A A
AA
AA
   
  
   
  

  
.
Така уравнението на движение (1) придобива вида: 22 1 1 2 2
1 2 1 2
1 1 2 2
sin sin
2 cos cos arctan
cos cos
AA
x A A A A t
AA
   
      
  

.
Следователно, когато събираме хармонични трептения с еднакви честоти в едно направление,
резултантното трептене също е хармонично трептене, със същата честота, а амплитудата и началната му
фаза зависят от амплитудите и началните фази на всички трептения. Векторното представяне на
хармоничните трептения ни позволява да събираме и
повече трептения в едно направление – прибавяме ги
последователно, както процедираме с векторите.
Резултантното трептене винаги е в същото
направление, както съставящите го.
Биене
Ако двете трептения не са с еднакви честоти, но
двете честоти са много близки, 12=, се
наблюдава едно интересно явление с голямо
приложение – биене. Ще разгледаме най-простият
случай на биене, когато двете трептения имат
еднакви амплитуди A, началните им фази са равни на
0 и се извършват в еднакво направление. Уравненията
на движение на двете трептения в този случай са: 11
22
cos
cos
x A t
x A t



и за резултантното трептене ще получим:   
2 1 1 2
1 2 1 2
cos cos 2 cos cos 2 cos cos
2 2 2
x x x A t A t A t t A t t
    
        


.
Тъй като 2

 , изразът в скобите се променя много по-бавно от cost и можем да го считаме за
променлива амплитуда на хармонично трептене с кръгова честота . От друга страна този израз може
да бъде отрицателен при определени стойности на t, т.е. не може да бъде амплитуда на трептене, тъй
като амплитудата е винаги положителна величина. Тогава можем да разглеждаме абсолютната стойност
на израза като променлива амплитуда A :
(2) 2 cos
2
A A t


и уравнението на движение ще придобие вида: 2 cos
2
At


фиг. 3
а)
б)
t
x
Tb
T cosx à t

2A
–2A 2 cos
2
à A t



2A

(3) cosx A t .
Графиките на уравнението на движение (3) и амплитудата Ã (2) са показани на фиг. 3. Вижда се (фиг.
3б), че периодът на (2) е два пъти по-малък (съответно честотата е два пъти по-голяма) отколкото
периодът T на хармоничното трептене 2 cos
2
At
 (фиг. 3а), т.е. периодът на биене Tb (периодът на
променливата амплитуда) ще бъде: 1 1 2
2
2
2
2
b
TT






,
а честотата на биене: 2
2
1
1
1
22
b
b
f f f
T







.
Явлението биене намира широко приложение в практиката когато е необходима фина настройка на
дадена честота, напр. при настройване на музикални инструменти.