Задача на линейното оптимиране. Примери. Канонична форма

0. Çàäà÷à íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå. Ïðèìåðè. Êàíîíè÷íà ôîðìà.
Ïðåäìåò íàìàòåìàòè÷åñêîòî îïòèìèðàíåå èçó÷àâàíåòî íà ñëåäíàòà çàäà÷à: äà ñå íàìåðè
îïòèìàëíàòà ñòîéíîñò (ìèíèìóì èëè ìàêñèìóì) íà íÿêàêâà ôóíêöèÿ f(x)çà ñòîéíîñòè íà
àðãóìåíòàx, êîèòî ïðèíàäëåæàò íà íÿêàêâî ïîäìíîæåñòâîXíà ïðîñòðàíñòâîòîR
n
.
Íàñòîÿùèÿò êóðñ å ïîñâåòåí èçöÿëî íà åäèí îñíîâåí äÿë íà ìàòåìàòè÷åñêîòî îïòèìèðàíå,
íàðå÷åíëèíåéíî îïòèìèðàíå. Ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå å åäèí îò íàé-äîáðå ðàçâèòèòå êëîíîâå
íà ïðèëîæíàòà ìàòåìàòèêà. Ìíîãî ïðàêòè÷åñêè çàäà÷è ìîãàò äà ñå ôîðìóëèðàò êàòî çàäà÷è íà
ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå, à ëèíåéíèòå ìîäåëè ñå èçïîëçóâàò íàé-âå÷å â èêîíîìè÷åñêèÿò àíàëèç
è ïëàíèðàíåòî.
Çàäà÷àòà íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå ñå ñúñòîè â îïòèìèçèðàíå íà ëèíåéíà ôóíêöèÿ (íà-
ðå÷åíà öåëåâà ôóíêöèÿ) âúðõó ìíîæåñòâî îò ëèíåéíè îãðàíè÷åíèÿ, êîèòî ìîãàò äà ñà êàêòî
ðàâåíñòâà, òàêà è íåðàâåíñòâà ïî îòíîøåíèå íà ïðîìåíëèâèòå.
Òåîðåòè÷íèòå îñíîâè íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå ñå ïîëàãàò ñ èçó÷àâàíåòî íà ëèíåéíèòå íå-
ðàâåíñòâà, êîåòî ìîæå äà ñå ïðîñëåäè íàçàä âúâ âðåìåòî äî åäíà ðàáîòà íà Ôóðèå îò 1826 ã.
Ïî-êúñíî ìíîãî ìàòåìàòèöè äîêàçâàò ðåäèöà ÷àñòíè ñëó÷àè íà íàé-âàæíèÿ ðåçóëòàò íà ëèíåé-
íîòî îïòèìèðàíå  ò.íàð. òåîðåìà çà äâîéíñòâåíîñò. Ïðèëîæíàòà ñòðàíà íà òåîðèÿòà çàïî÷âà
äà ñå ðàçðàáîòâà ïðåç 1939 ã. îò ðóñêèÿ ìàòåìàòèê Êàíòîðîâè÷, êîéòî ïðúâ çàáåëÿçâà ïðàêòè-
÷åñêàòà âàæíîñò íà íÿêîè êëàñîâå ëèíåéíè îïòèìèçàöèîííè çàäà÷è è ïðúâ äàâà àëãîðèòúì çà
òÿõíîòî ðåøàâàíå. Çà ñúæàëåíèå, ãîäèíè íàðåä ðàáîòèòå íà Êàíòîðîâè÷ îñòàâàò íåïîçíàòè íà
Çàïàä è íåçàáåëÿçàíè íà Èçòîê. Ñèëåí òëàñúê â ðàçâèòèåòî íà ïðèëîæíàòà ñòðàíà íà ëèíåé-
íîòî îïòèìèðàíå äàâàò ðàáîòèòå íà Äàíöèã, êîéòî ïðåç 1947 ã. ðàçðàáîòâà ñèìïëåêñ ìåòîäà
çà ðåøàâàíå íà ëèíåéíè çàäà÷è, êîèòî âúçíèêâàò â ïëàíèðàíåòî íà âúçäóøíè îïåðàöèè íà
âîåííî-âúçäóøíèòå ñèëè íà ÑÀÙ. Çà ïúðâè ïúò ñèìïëåêñ ìåòîäúò å ïóáëèêóâàí ïðåç 1951 ã.
è ñè îñòàâà íàé-øèðîêî èçïîëçâàíèÿò àëãîðèòúì çà ðåøàâàíå íà ëèíåéíè çàäà÷è. Ïî-êúñíî, ñ
ðàçâèòèåòî íà êîìïþòúðíèòå òåõíîëîãèè, ñå ñúçäàâàò ðåäèöà ïðîãðàìíè ðåàëèçàöèè íà òîçè
è äðóãè àëãîðèòìè çà ðåøàâàíå íà ëèíåéíè çàäà÷è.
Ïðåç ñúùàòà 1951 ã., ïðåç êîÿòî Äàíöèã ïóáëèêóâà ñèìïëåêñ ìåòîäà, â ñâîÿ ïóáëèêàöèÿ
Êóïìàí ïîêàçâà, ÷å ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå ïðåäñòàâëÿâà ïîäõîäÿù ìîäåë çà àíàëèç íà êëàñè-
÷åñêè èêîíîìè÷åñêè òåîðèè. Ïðåç 1975 ã. Øâåäñêàòà Êðàëñêà Àêàäåìèÿ íà Íàóêèòå ïðèñúæäà
Íîáåëîâàòà íàãðàäà çà èêîíîìèêà íà Êàíòîðîâè÷ è Êóïìàí çà òåõíèÿ ïðèíîñ â òåîðèÿòà çà
îïòèìàëíîòî ðàçïðåäåëåíèå íà ðåñóðñè. Êàêòî ñå âèæäà, âúïðîñíàòà Àêàäåìèÿ ðàçãëåæäà
ðàáîòàòà íà Äàíöèã êàòî òâúðäå ìàòåìàòè÷åñêà çà ïðèñúæäàíå íà íàãðàäàòà ïî èêîíîìèêà (à
çíàåì, ÷å íå ñå ïðèñúæäà Íîáåëîâà íàãðàäà çà ìàòåìàòèêà).
Öåëòà íà êóðñà å äà ðàçâèå îñíîâíàòà òåîðèÿ íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå è äà ïðåäñòàâè
ñèìïëåêñ ìåòîäà çà ðåøàâàíå íà ëèíåéíè çàäà÷è. Èçëîæåíèåòî ùå áúäå åäíîâðåìåííî àëãî-
ðèòìè÷íî è ãåîìåòðè÷íî, êàòî ùå áúäàò äàäåíè èêîíîìè÷åñêè èíòåðïðåòàöèè íà íÿêîè àñïåêòè
íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå.
Çà äà äàäåì íàé-îáùà ïðåäñòàâà çà çàäà÷èòå íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå çà íà÷àëî ùå ðàçã-
ëåäàìå òðè ñòàíäàðòíè ïðèìåðà íà òàêèâà çàäà÷è.
1

2 Ìàòåìàòè÷åñêî îïòèìèðàíå I
0.1. Ïðèìåðè çà ëèíåéíè çàäà÷è
Ïðèìåð 1 (Òðàíñïîðòíà çàäà÷à). Ôèðìà òðÿáâà äà òðàíñïîðòèðà äàäåíà ñòîêà (íàïðèìåð
åëåêòðîåíåðãèÿ) îòmïðîèçâîäèòåëÿ äînïîòðåáèòåëÿ. Äà ïðåäïîëîæèì, ÷åaiåäèíèöè îò ñòî-
êàòà ñå ïðåäëàãàò îòi-ÿ ïðîèçâîäèòåë,i= 1;2; : : : ; m, àbjåäèíèöè ñå òúðñÿò îòj-ÿ ïîòðåáèòåë,
j= 1;2; : : : ; n. Äà ïðåäïîëîæèì, ÷å îáùîòî êîëè÷åñòâî îò ñòîêàòà ïðåäëàãàíî îò ïðîèçâîäèòå-
ëèòå å ðàâíî íà îáùîòî êîëè÷åñòâî òúðñåíî îò ïîòðåáèòåëèòå, ò.å.,
m
X
i=1
ai=
n
X
j=1
bj:Àêî öåíàòà
íà ïðåâîçà íà åäèíèöà îò ñòîêàòà îò ïðîèçâîäèòåëÿiäî ïîòðåáèòåëÿjåcij,i= 1;2; : : : ; m;
j= 1;2; : : : ; n, êîëêî åäèíèöè îò ñòîêàòà áè òðÿáâàëî äà ñå ïðåâîçÿò ìåæäó âñÿêà äâîéêà
ïðîèçâîäèòåëïîòðåáèòåë, òàêà ÷å îáùèòå òðàíñïîðòíè ðàçõîäè äà áúäàò ìèíèìàëíè?
Àêî îçíà÷èì ñxijåäèíèöèòå îò ñòîêàòà ïðåâîçâàíè îò ïðîèçâîäèòåëÿiäî ïîòðåáèòåëÿj,
ìîæåì äà ôîðìóëèðàìå òàçè çàäà÷à êàòî ñëåäíàòà çàäà÷à íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå:
äà ñå ìèíèìèçèðà
m
X
i=1
n
X
j=1
cijxij
ïðè îãðàíè÷åíèÿ
n
X
j=1
xij=ai; i= 1;2; : : : ; m ; (0.1)
m
X
i=1
xij=bj; j= 1;2; : : : ; n ; (0.2)
xij>0; i= 1;2; : : : ; m ; j= 1;2; : : : ; n :
Öåëåâàòà ôóíêöèÿ, êîÿòî ñå ìèíèìèçèðà ïðåäñòàâëÿâà îáùèòå òðàíñïîðòíè ðàçõîäè. Âñÿêî
îò îãðàíè÷åíèÿòà ðàâåíñòâà (0.1) îòãîâàðÿ íà èçèñêâàíåòî îáùîòî êîëè÷åñòâî íà ñòîêàòà, ïðå-
âîçåíî îò ïðîèçâîäèòåëÿiäî âñè÷êè ïîòðåáèòåëè äà áúäå ðàâíî íà êîëè÷åñòâîòî ïðåäëàãàíî
îò òîçè ïðîèçâîäèòåë. Ïî ïîäîáåí íà÷èí, îãðàíè÷åíèÿòà ðàâåíñòâà (0.2) îòãîâàðÿò íà èçèñê-
âàíåòî, ÷å òúðñåíîòî êîëè÷åñòâîbjîò ïîòðåáèòåëÿjñå îáåçïå÷àâà îò êîëè÷åñòâàòà ïðåâîçåíè
äî íåãî îò âñè÷êè ïðîèçâîäèòåëè. Äà îòáåëåæèì, ÷å îãðàíè÷åíèÿòà çà íåîòðèöàòåëíîñò íà
ïðåâîçåíèòå êîëè÷åñòâà ñà ñúùåñòâåíè, ò.ê. â ïðîòèâåí ñëó÷àé ôèðìàòà ìîæå äà ñïåñòè ïàðè
êàòî ïðåâîçè îòðèöàòåëíè êîëè÷åñòâà ïî íÿêîè îò ïúòèùàòà.
Òðàíñïîðòíàòà çàäà÷à å çàäà÷à íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå, êîÿòî èìà ñïåöèôè÷íà ñòðóêòó-
ðà: êîåôèöèåíòèòå íà ïðîìåíëèâèòå â îãðàíè÷åíèÿòà ðàâåíñòâà (0.1) è (0.2) ñà èëè íóëè, èëè
åäèíèöè. Êàêòî ùå âèäèì ïî-êúñíî, òðàíñïîðòíàòà çàäà÷à å ÷àñòåí ñëó÷àé íà ò.íàð. çàäà÷è çà
ïîòîöè â ìðåæè. Òÿ ñúùî òàêà äîáðå èëþñòðèðà çàùî ëèíåéíèòå çàäà÷è, êîèòî ñå ðåøàâàò â
ïðàêòèêàòà ÷åñòî ñà ñ ãîëÿìà ðàçìåðíîñò, ò.å. èìàò ìíîãî ïðîìåíëèâè è ìíîãî îãðàíè÷åíèÿ.
Àêî âñÿêî îòmènå ðàâíî íà 100, ìíîæåñòâîòî îò îãðàíè÷åíèÿ íà ãîðíàòà çàäà÷à ñå çàäà-
âà îò 200 óðàâíåíèÿ íà 10 000 íåîòðèöàòåëíè ïðîìåíëèâè. Áëàãîäàðåíèå íà ñïåöèôè÷íàòà èì
ñòðóêòóðà ìíîãî ãîëåìè òðàíñïîðòíè çàäà÷è (ñ íÿêîëêî äåñåòêè ìèëèîíà ïðîìåíëèâè) ìîãàò
äà áúäàò ðåøåíè çà ðàçóìíî êîìïþòúðíî âðåìå.
Ïðèìåð 2 (Çàäà÷à çà äèåòà). Òàêà íàðè÷àìå çàäà÷àòà çà îïðåäåëÿíå íà íàé-åâòèíà äèå-
òà, êîÿòî äà çàäîâîëÿâà îïðåäåëåíè ìèíèìàëíè äíåâíè ïîòðåáíîñòè îò êàëîðèè è õðàíèòåëíè

Âúïðîñ 0 3
ñúñòàâêè êàòî áåëòú÷èíè, êàëöèé, æåëÿçî è âèòàìèíè. Äà äîïóñíåì, ÷å èìàìåníà áðîé ðàç-
ëè÷íè õðàíè â íàëè÷íîñò è ÷å äèåòàòà òðÿáâà äà çàäîâîëÿâà äíåâíèÿò ìèíèìóì îòmíà áðîé
õðàíèòåëíè ñúñòàâêè. Äà îçíà÷èì ñcjåäèíè÷íàòà öåíà íàj-òà õðàíà, ñbiìèíèìàëíàòà äíåâ-
íà ïîòðåáíîñò îòi-òà õðàíèòåëíà ñúñòàâêà è ñaijêîëè÷åñòâîòî îò õðàíèòåëíàòà ñúñòàâêài
îñèãóðÿâàíî îò åäèíèöà îò õðàíàòàj.
Àêî ïîëîæèìxjäà áúäå áðîÿò åäèíèöè îò õðàíàòàjâêëþ÷åíè â äèåòàòà, òî íàé-åâòèíàòà
äèåòà ìîæå äà ñå íàìåðè ïðè ðåøàâàíå íà ëèíåéíàòà çàäà÷à:
äà ñå ìèíèìèçèðà
n
X
j=1
cjxj
ïðè îãðàíè÷åíèÿ
n
X
j=1
aijxj>bi; i= 1;2; : : : ; m ;
xj>0; j= 1;2; : : : ; n :
Ïðèìåð 3 (Çàäà÷à çà îïòèìàëíî ðàçïðåäåëåíèå íà ðåñóðñè èëè îùå çàäà÷à çà ñìå-
ñåíî ïðîèçâîäñòâî).Äàäåí ïðîèçâîäèòåë å â ñúñòîÿíèå äà ïðîèçâåäåníà áðîé ðàçëè÷íè
ñòîêè èçïîëçâàéêè çà öåëòàmíà áðîè ðàçëè÷íè ðåñóðñè. Òîâà ìîæå äà ñà ÷àñîâå çà èçðà-
áîòâàíå, âðåìå çà ðàáîòà íà ðàçëè÷íè ìàøèíè, èëè ïúê êîëè÷åñòâà îò ðàçëè÷íè ìàòåðèàëè.
Íåêà îçíà÷èì ñcjïå÷àëáàòà (äîõîäúò ìèíóñ ïðîèçâîäñòâåíèòå ðàçõîäè) êîÿòî ñå ïîëó÷àâà îò
ïðîèçâåäåíà åäèíèöà îò ñòîêàòàj. Íåêàbiáúäå êîëè÷åñòâîòî îò íàëè÷åí ðåñóðñièaijáúäå
êîëè÷åñòâîòî îò ðåñóðñàièçïîëçâàíî çà ïðîèçâîäñòâîòî íà åäèíèöà îò ñòîêàòàj. Çàäà÷àòà,
êîÿòî ñòîè ïðåä ïðîèçâîäèòåëÿ å äà ñå íàïðàâè ïëàí íà ïðîèçâîäñòâîòî (ò.å. äà ñå îïðåäå-
ëè êàêâî êîëè÷åñòâî îò âñÿêà ñòîêà äà áúäå ïðîèçâåäåíî), òàêà ÷å îáùàòà ïå÷àëáà äà áúäå
ìàêñèìàëíà.
Àêî îçíà÷èì ñxjáðîÿò åäèíèöè îò ñòîêàòàjêîèòî ñå ïðîèçâåæäàò, òî òàçè ëèíåéíà çàäà÷à
ìîæå äà ñå ôîðìóëèðà êàòî:
äà ñå ìàêñèìèçèðà
n
X
j=1
cjxj
ïðè îãðàíè÷åíèÿ
n
X
j=1
aijxj6bi; i= 1;2; : : : ; m ;
xj>0; j= 1;2; : : : ; n :
0.2. Êàíîíè÷íà ôîðìà íà çàäà÷àòà íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå
Êàêòî âèäÿõìå îò ðàçãëåäàíèòå ïðèìåðè, â ëèíåéíèòå çàäà÷è èìàìå ïðîìåíëèâè, ÷èèòî
ñòîéíîñòè òðÿáâà äà ñå îïðåäåëÿò ïî íÿêàêúâ îïòèìàëåí íà÷èí. Öåëòà âèíàãè å äà ñå ìè-
íèìèçèðà èëè ìàêñèìèçèðà íÿêàêâà ëèíåéíà ôóíêöèÿ íà òåçè ïðîìåíëèâè. Òàçè ôóíêöèÿ
ñå íàðè÷à öåëåâà ôóíêöèÿ.  äîïúëíåíèå íà öåëåâàòà ôóíêöèÿ, ïðèìåðèòå èìàõà ñúùî òà-
êà è îãðàíè÷åíèÿ. Íàèñòèíà, íÿêîè îò òÿõ áÿõà ìíîãî ïðîñòè, êàòî íàïðèìåð èçèñêâàíåòî
çà íåîòðèöàòåëíîñò íà ïðîìåíëèâèòå, äîêàòî äðóãè áÿõà ïî-ñëîæíè. Âúâ âñè÷êè ñëó÷àè îáà-
÷å ðàçãëåæäàíèòå îãðàíè÷åíèÿ áÿõà ðàâåíñòâà èëè íåðàâåíñòâà, ñâúðçàíè ñ íÿêàêâè ëèíåéíè
êîìáèíàöèè íà ïðîìåíëèâèòå.

4 Ìàòåìàòè÷åñêî îïòèìèðàíå I
Îò êàçàíîòî å ÿñíî, ÷å â îáùèÿ ñè âèä çàäà÷èòå íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå ìîãàò äà áúäàò
çà òúðñåíå íà ìàêñèìóì, èëè íà ìèíèìóì. Ìíîæåñòâîòî èì îò îãðàíè÷åíèÿ ìîæå äà ñå çàäàâà
êàêòî ñ ðàâåíñòâà, òàêà è ñ íåðàâåíñòâà âúâ âñÿêà îò ïîñîêèòå (6è>). Âúðõó íÿêîè îò
ïðîìåíëèâèòå ìîæå äà å íàëîæåíî óñëîâèå çà íåîòðèöàòåëíîñò, âúðõó äðóãè íå.
Çà äà ñå óëåñíè è óåäíàêâè ïîäõîäà êúì çàäà÷èòå íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå, òå ñå çàïèñâàò
â åäíà îò ñëåäíèòå äâå ôîðìè
÷ðåç íåðàâåíñòâà:minz=c
T
x
Ax6b
x>0
èëè â êàíîíè÷íà ôîðìà:minz=c
T
x
Ax=b
x>0;
êúäåòîAè â äâàòà ñëó÷àÿ îçíà÷àâà(mn)ìàòðèöà, ñúñòîÿùà ñå îò êîîðäèíàòèòå íà âåêòî-
ðèòå, çàäàâàùè îãðàíè÷åíèÿòà,c2R
n
å âåêòîðúò íà öåëåâàòà ôóíêöèÿ,b2R
m
å âåêòîðúò íà
äÿñíàòà ÷àñò èx2R
n
ån-ìåðåí âåêòîð íà ïðîìåíëèâèòå.
Òåçè äâå ôîðìè ñà íàïúëíî åêâèâàëåíòíè åäíà íà äðóãà è âñÿêà ëèíåéíà çàäà÷à ìîæå äà
ñå ïðèâåäå â òÿõ êàòî ñå èçïîëçâàò ñëåäíèòå ïðîñòè ïðåîáðàçóâàíèÿ:
Âñÿêàñâîáîäíà ïðîìåíëèâà, ò.å. ïðîìåíëèâàxj, âúðõó êîÿòî â çàäà÷àòà íÿìà íàëîæåíî
óñëîâèå çà íåîòðèöàòåëíîñòð ìîæå äà ñå çàìåíè ñ äâîéêà íåîòðèöàòåëíè ïðîìåíëèâè,x
0
j
>0
èx
00
j
>0êàòî ñå çàïèøå
xj=x
0
j�x
00
j:
Ïîñîêàòà íà íåðàâåíñòâî ìîæå äà ñå ïðîìåíè ÷ðåç óìíîæàâàíå íà äâåòå ìó ñòðàíè ñ(�1).
Íåðàâåíñòâî îò âèäà
n
X
j=1
aijxj6bi
ìîæå äà ñå ïðåâúðíå â ðàâåíñòâî ÷ðåç äîáàâÿíå íà íîâà íåîòðèöàòåëíà ïðîìåíëèâàxn+i,
íàðå÷åíàäîïúëíèòåëíà ïðîìåíëèâà
xn+i=bi�
n
X
j=1
aijxj; xn+i>0:
Íà äîïúëíèòåëíèòå ïðîìåíëèâè ÷åñòî ìîæå äà ñå äàäå èêîíîìè÷åñêà èëè ôèçè÷åñêà èíòåðïðå-
òàöèÿ. Íàïðèìåð, àêî äîáàâèì äîïúëíèòåëíà ïðîìåíëèâàxn+iêúìi-òî íåðàâåíñòâî â çàäà÷àòà
çà ñìåñåíî ïðîèçâîäñòâî, çà äà ãî ïðåâúðíåì â ðàâåíñòâî, òî â òîçè ñëó÷àéxn+iïðåäñòàâëÿâà
êîëè÷åñòâîòî îò ðåñóðñài, êîåòî îñòàâà íåèçðàçõîäâàíî ïðè ñìåñåíîòî ïðîèçâîäñòâî.
Ðàâåíñòâî îò âèäà
n
X
j=1
aijxj=biìîæå äà ñå çàìåíè ñ äâîéêà íåðàâåíñòâà
n
X
j=1
aijxj6bi;
n
X
j=1
aijxj>bi:
Íàêðàÿ, ìàêñèìèçèðàíåòî íà ëèíåéíàòà ôóíêöèÿc
T
xå åêâèâàëåíòíî íà ìèíèìèçèðàíåòî íà
ôóíêöèÿòà�c
T
x.
Äà çàáåëåæèì ÷å òðàíñïîðòíàòà çàäà÷à å â êàíîíè÷íà ôîðìà, äîêàòî çàäà÷èòå îò äðóãèòå
äâà ïðèìåðà ñà ïî-ñêîðî â ïúðâàòà ôîðìà  ÷ðåç íåðàâåíñòâà.
Ïî-íàòàòúê â êóðñà ÷åñòî ùå ñ÷èòàìå, ÷å çàäà÷àòà íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå, êîÿòî ðàçã-
ëåæäàìå, âå÷å å ïðèâåäåíà â êàíîíè÷íà ôîðìà.

1. Êàíîíè÷íî ìíîãîñòåííî ìíîæåñòâî. Âúðõîâå è áàçèñíè äîïóñòèìè
ðåøåíèÿ.
Êàêòî âå÷å êàçàõìå, âñÿêà çàäà÷à íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå ìîæå äà ñå ïðèâåäå â ò.íàð.
êàíîíè÷íà ôîðìà:
minz=c
T
x
Ax=b ;
x>0;
êúäåòîAîçíà÷àâà(mn)ìàòðèöà,c2R
n
,b2R
m
èx2R
n
ån-ìåðåí âåêòîð íà ïðîìåíëèâèòå.
Ïî-íàòàòúê ùå ðàáîòèì ñ òàçè ôîðìà íà ëèíåéíàòà çàäà÷à è ùå ÿ íàðè÷àìå çàäà÷à êàíîíè÷íà
çàäà÷à.
Ñúâêóïíîñò îò ÷èñëåíè ñòîéíîñòè íà ïðîìåíëèâèòå(x1; : : : ; xn)ñå íàðè÷àðåøåíèåíà çà-
äà÷àòà. Ðåøåíèå(x1; : : : ; xn)ñå íàðè÷àäîïóñòèìî, àêî óäîâëåòâîðÿâà âñè÷êè îãðàíè÷åíèÿ è
ñå íàðè÷àîïòèìàëíî, àêî îñâåí ÷å å äîïóñòèìî, â íåãî öåëåâàòà ôóíêöèÿ äîñòèãà æåëàíà-
òà îïòèìàëíà ñòîéíîñò. Ìíîæåñòâîòî îò âñè÷êè äîïóñòèìè ðåøåíèÿ íà çàäà÷àòà ñå íàðè÷à
äîïóñòèìî ìíîæåñòâî.
Çà äà ñå íàïðàâÿò ðàçáèðàåìè òåîðèÿòà íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå è ìåòîäèòå, èçïîëçâàíè çà
ðåøàâàíå íà ëèíåéíè çàäà÷è, îò ñúùåñòâåíî çíà÷åíèå å äà ñå ðàçãëåäà ãåîìåòðè÷íèÿ ñìèñúë
íà òåçè çàäà÷è è äà ñå äàäå àëãåáðè÷íà õàðàêòåðèçàöèÿ íà âêëþ÷åíèòå â òÿõ ãåîìåòðè÷íè
îáåêòè.
Çà öåëòà ñà íè íåîáõîäèìè ïúðâî íÿêîëêî äåôèíèöèè.
1.1. Äåôèíèöèè
Äåôèíèöèÿ 1.1.ÌíîæåñòâîCR
n
ñå íàðè÷àèçïúêíàëîàêî çàåäíî ñ âñåêè äâå òî÷êèx
0
,
x
00
ïðèíàäëåæàùè íàC, âñè÷êè òî÷êè îò âèäàx() =x
0
+ (1�)x
00
, êúäåòî0661, ñúùî
ïðèíàäëåæàò íàC.
Ñ äðóãè äóìè, åäíî ìíîæåñòâî å èçïúêíàëî, àêî çàåäíî ñ âñåêè äâå òî÷êè îò ìíîæåñòâîòî,
â íåãî ñå ñúäúðæà è îòñå÷êàòà, êîÿòî ãè ñúåäèíÿâà (âæ. Ôèã. 1.1).
Ôèãóðà 1.1.
Äåôèíèöèÿ 1.2.Òî÷êàòàxñå íàðè÷àèçïúêíàëà êîìáèíàöèÿíà òî÷êèòåx1; : : : ; xNàêî
x=
N
X
i=1
ixi; i>0çà âñÿêîiè
N
X
i=1
i= 1:
5

6 Ìàòåìàòè÷åñêî îïòèìèðàíå I
Ìíîæåñòâîòî îò â