Еднофакторен дисперсионен анализ

ТТема 13. Еднофакторен дисперсионен анализ
.
Дисперсионният анализ се прилага, когато се интересуваме
от проверката на хипотезата
дали влиянието на един или няколко факторпризДисперсионният анализ се прилага, когато се интересуваме от проверката на хипотезата дали влиянието на един или няколко факторпризнаци върху друг метриран признак, наречен резултативен, е статистически значимо. В зависимост от броя на факторпризнаците имаме еднофакторен, двуфакторен и т.н., многофакторен дисперсионен анализ. По същество това е проверка на хипотези за равенство между средните на две или повече извадки от нормално разпределени и независими съвкупности. Използва се обикновено, когато значенията на фактор признака са повече от две, в противен случай бихме могли да използваме по-кратката проверка на хипотези за равенство между средни на две извадки. Задачата се свежда до
п
роверка на хипотези за равенство между две дисперсии (междугрупова и вътрешногрупова). Методологията му е разработена от Р. Фишер.
Тъй ка
то
реализа
ц
и
ят
а му
е
свър
зана с м
н
ого пресмятания,
о
бикновено този анализ се извършва с помощта на компютър. Например със
R
, M
a
tlab, Statistiсa, Excel, SPSS или др.
Нека наблюдаваме n статистически ед
и
ници, разпределени според значенията си н
а
признака Х в k групи. Целта ни ще е да отговорим на въпроса дали влиянието на признака Х, върху значенията на метрирания признак Y е статистически значим
о
. Да пред
п
о
л
о
ж
им,
ч
е
и
зв
а
д
ка
та
е
от нор
ма
л
н
о
р
аз
п
р
е
д
ел
е
на

с
ъв
куп
но
ст. Ре
…………………Xk
n
ООбщо:nПриемаме, че nПри
ППриемаме, че извадките в групите са незави
с
ими. Да означим средната в i – тата група с
за i = 1, …, k.
Избираме н
иво на съгласие . Проверяваме хипотезата
Избираме ниво на съгласие . Проверяваме хипотезата
т
ивния признак не е статистически значимо.
Алтернативата е
Н1 : Някои от  EMBED 
 са различни, т.е. влиянието на факторпризнака
върху
р
езултати
в
н
ат
а вел
ич
ина
е стати
с
тически значимо.


Като критерий за проверка на тези хипотези се използва отношение
т
о н
а
междугруповата и вътрешногруповата дисперсии. За да ги дефинираме се нуж
д
аем от следните понятия.
Обща девиация (о
т
клонение) се нарича сумата от квадратите на отклоненията на всичките n измерени значения на метрирания признак от тяхната средна аритметична. Ще я означав
а
ме с SSо.

Т
.
е
.
ако

об
щ
ат
а

ср
едн
а
е  E
MB
E
D


т
о
г
ав
а


E
MB
ED

Н
1 : Някои от  EMBED 
 са различни, т.е.

влиянието на факторпризнака върху резултативната величина
е статистически значимо.

Като критерий за проверка на тези хипотези се използва отношението на междугруповата и вътрешногруповата дисперсии. За да ги дефинираме се нуждаем от следните понятия.
Обща девиация (отклонение) се нарича сумата от квадратите на отклоненията на всичките n измерени значения на метрирания признак от тяхната средна аритметична. Ще я означаваме с SSо. Т.е. ако общата средна е  EMBED 
 тогава  EMBED Като критерий за проверка на тези хипотези се използва отношението на междугруповата и вътрешногруповата дисперсии. За да ги дефинираме се нуждаем от следните понятия.
Обща девиация (отклонение) се нарича сумата от квадратите на отклоненията на всичките n измерени значения на метрирания признак от тяхната средна аритметична.

Ще я означаваме с SSо. Т.е. ако общата средна е  EMBED 
 тогава  EMBED 
 Тя измерва разпръснатостта на единиците около общ
ата ср
ед
на. Има
n

–
1 сте
пе
ни н
а свобод
а
.
Вътрешногрупова

девиация се нарича сумата от квадратите на отклоненията на всичките n
и
зме
р
ени значения на метрирания признак от тяхната средна аритметична в съотве
т
ната Обща девиация (отклонение) се нарича

сумата от квадратите на отклоненията на всичките n измерени значения на метрирания признак от тяхната средна аритметична. Ще я означаваме с SSо. Т.е. ако
о
бщата сре
д
н
а

е

E
MB
E
D

то
га
ва  E
MB
E
D


Т
я

из
м
ер
в
а
р
азп
ръ
снатос
С
лучайната величина  EMBED 
 има F -
р
азпределение с k – 1 степени на свобода на числителя и
n
– k степени на свобода на зн
аменателя. Тогава константата С е 1- квантил на това разпреде-ление. Както и при проверката на хипотези за равенство между дисперсиите с критерия на Фишер, така и тук, критичната област се трансформира с еквивалентни преобразования, така че оценката на дисперсията оn – k степени на свобода на знаменателя. Тогава константата С е 1- квантил на това разпреде-ление. Както и при проверката на хипотези за равенство между дисперсиите с критерия на Фишер, така и тук, критичната област се трансформира с еквивалентни преобразования, така че оценката на дисперсията от числителя да е по-голям от тази в знаменателя. Т.е. ако оценката на вътрешно-груповата дисперсия е по-голяма от тази на междугруповата критичната област ще има вида
E
D 

Случайната величина  EMBED 
 има F - разпределение с n - k степени на свобода на числителя и
k - 1 степени на свобод
а на з
на
менателя
.

Ко
нстан
та
та С
-1 е 1
-
 квантилът на
т
ова разпределение.
С какво може да ни бъде полезен Excel в случая:
П
о
сле
д
ователността
Tools  Data Analysis  Anova: Single Factor
извежда всичк
и
необходими характеристики на еднофакторн
и
я диспердионен анализ.

Въпроси към темата:
1. За какво се използва дисперсионния анализ?
2. В случая, когато оценката на междугруповата дисперсия е по-ма
л
ка от таз
и

н
а

вътр
е
шн
о
гр
у
п
ов
ата
,
защо и
к
а
к
с
е
т
р
а
н
с
фо
р
ми
р
а
к
рит
ич
ната о
ЗЗадачи за упражнение:
Задача 1: Завод прои
з
вежда 3 вида автомобилни гуми. Наблюдавани Задача 1: Заво
д произвежда 3 вида автомоби
лни гуми. Наблюдавани са 38 от тях. В табл.14 е даден пробега им в хиляди километри до момента на пълното им износване, поотделно за трите вида. Проверете дали извадките са от нормално разпределени съвкупности (като пренебрегнете факта, че наблюденията са прекалено малко на брой за да получите правилно заключение). С ниво на съгласие , проверете можем ли да твърдим, че вида на гумите е статистически значим за пробега им.
Табл. 14.
Вид на гумитеПробег в х.км.А4.5, 6.7, 8.8, 7.9, 3.0, 9.4, 6.5, 6.0, 4.4, 7.2, 5.7, 6.1, 8В4.4, 6.0, 5.0, 6.4, 3.7, 8.0, 7.9, 3.2, 9.3, 7.5, 6.0, 7.4, 6.3С5.4, 6.4, 7.0, 6.8, 5.7, 7.3, 7.7, 3.7, 8.4, 9.7, 7.2, 5.5
Примерни ситуации и решения:
Пример 1: С цел изучаване влиянието на степента

на образованост (обр.) на управителя на фирмата върху размера на брутната й печалба са наблюдавани 147 фирми. Резултатите от наблюд
ението
с
а дадени

в
т
абл.1
5.
Оп
ределете

статистически зна
ч
имо ли е това влияние.
Решение: Имаме един неметриран и един метриран
п
риз
н
ак. Посредством 2-критерия на Пирсън може да се покаже, че разпределения
т
а в подсъвкупностите са нормални. Освен т
о
ва може да се провери, че подсъвкупностите са независими. Тогава можем да приложим дисперсионния анализ.
Табл. 15.
ОбразованиеРазмер на брутната печалба

в х.лв.
о
с
н
о
в
но6
5
.7
33
.
9
4.0
1.067
.7
5
4.
7
1
.
4
32
.
3
4
3
.0
.6
А
,
4.4, 7.2, 5.7, 6.1, 8В4.4, 6.0, 5.0, 6.4, 3.7, 8.0, 7
.9, 3.2, 9.3, 7.5, 6.0, 7.4,
6.3С5.4, 6.4, 7.0, 6.8, 5.7, 7.3, 7.7, 3.7, 8.4, 9.7, 7.2, 5.5
Примерни ситуации и решения:
Пример 1: С цел изучаванВВ4.4,4.4, 6.0, 5.0, 6.4, 3.7, 8.0, 7.9, 3.2, 9.3, 7.5, 6.0, 7.4, 6.3С5.4, 6.4, 7.0, 6.8, 5.7, 7.3, 7.7, 3.7, 8.4, 9.7, 7.2, 5.5
Примерни ситуации и решения:
Пример 1: С цел изучаване влиянието на степента на образованост (обр.) на управителя на фирмата в
СС5.4,5.4, 6.4, 7.0, 6.8, 5.7, 7.3, 7.7, 3
.
7, 8.4, 9.7, 7.2, 5.5
Примерни ситуации и решения:
Прим
ер 1: С цел изучаване влияни
ето на степента на образованост (обр.) на управителя на фирмата върху размера на брутната й печалба са наблюдава

ППримерни ситуации и решения:
Пример 1: С

цел изучаване влиянието на степента на образованост (обр.
) на управителя Пример 1: С
цел изучаване влиянието на степента на образованост (обр.) на управителя на фирмата върху размера на брутната й печалба са наблюдавани 147 фирми. Резултатите от наблюдението са дадени в табл.15. Определете статистически значимо ли е това влияние.
Решение: Имаме един неметриран и един метриран признак. Посредством 2-критерия на Пирсън може да се покаже, че разпределенията в подсъвкупностите са нормални. Освен това може да се провери, че подсъвкупностите са независими. Тогава можем да приложим дисперсионния анализ.
Табл. 15.
ОбразованиеРазмер на брутната печалба в х.лв.основно65.733.954.031.067.754.741.432.343.022.6средно80.546.868.663.572.581.171.453.276.629.185.759.344.674.534.557.555.178
.
571.265.068.278.178.166.818.059.3бакалавър59.123.568.853.174.764.575.978.475.058.054.247.660.254.627.47
0.635
.0
.

8.47
2.
662
.156.5
2
8.234.471.74
4
.936.561.545.552.759.374.758.332.977.473.935.842.6магист
ъ
р6
7
.341.364.144.568.7Решение: Имаме един неметриран и един метриран при
з
нак. Посредством 2-критерия на Пирсън мо
ж
е да се покаже, че разпределенията в подсъвкупностите са нормални. Освен това може да се провери, че подсъвкупностите са независими. Тогава можем да прило
ж
им диспер
с
и
о
н
н
ия а
н
ал
и
з.

Та
бл.
1
5.
Обр
аз
о
в
ан
и
е
Р
а
з
м
ер

на

б
ру
тна
та
печал
О
бразованиеРазмер на брутната печалба в х.л
в
.Размер на брутната печалба в х.лв.основно65.733.954
.031.067.754.741.432.3
43.022.6средно80.546.868.663.572.581.171.оосновно65.733.954.031.06765.733.954.031.33.954.031.067.54.031.067.754.31.067.754.741.67.754.741.432.54.741.432.343.41.432.343.022.32.343.022.6
4
3.022.6сред22.6средно80с
с
редно80.546.868.663.580.546.868.663.46.868.663.5
2.581.171.72.581.171.453.81.171.453.276.71.453.276.629.53.276.629.185.76.629.185.759.29.185.759.344.85.759.344.6759.344.674.5344.674.534.55
55.178.571.55.178.571.265.78.571.265.068.71.265.
068.278.65.068.278.178.
68.278.178.166.78.178.166.818.78.166.818.059.66.818.059.3ба18.059.3бакалав59.3бакалавър59ббакалавър59.123.568.853.174.764.59.123.568.853.23.568.853.174.68.853.174.764.53.174.764.575.74.764.575.978.64.575.978.475.75.978.475.058.
7
8.475.058.054.75.058.054.247.58.054.
2
27.47554.627.470.635.
27.470.635.026.70.635.026.751.35.026.751.078.26.751.078.472.51.078.472.662.78.472.662.156.72.662.156.528.62.156.528.234.56.528.234.471.28.234.471.7434.471.744.9371.744.936.56
444.936.561.545.36.561.545.552.61.54
5
.552.759.45.552.759.374.52.759.374.758.59.374.7
58.332.74.758.332.977.58
.332.977.473.32.977.473.935.77.473.935.842.73.935.842.6ма35.842.6магистъ42.6магистър67.ммагистър67.341.364.144.568.767.341.364.144.41.364.144.568.64.144.56