Формули по математика

1
СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКА

I. АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ
1. Разстояние между две точки  
11,YXA и  
22,YXB :   
2
21
2
21
YYXXAB 

2. Деление на отсечка в дадено отношение. Ако са дадени точки  
11,YXA и  
22,YXB
и  
MMYXM , дели отсечката AB в отношение MB
AM
 , то 




1
21XX
X
M
; 




1
21YY
Y
M
Среда на отсечка 1 : 2
21XX
X
M


; 2
21YY
Y
M


3. Уравнения на права линия 0 cbyax
общо уравнение на права; 0sincos  pyx 
нормално уравнение на права; 0
22



ba
cbyax

връзка между общо и нормално уравнение; nkxy 
декартово уравнение на права; 1
n
y
m
x

отрезово уравнение на права;  
11 xxkyy 
уравнение на права през точка с координати 
11,yx и
зададен ъглов коефициент k ;     
121112 yyxxyyxx 
уравнение на права през две точки с координати 
11,yx и  
22,yx

4. Разстояние от точка с координати  
00
,yx до права 22
00
ba
cbyax



ориентирано разстояние; d
абсолютно разстояние.
5. Взаимно положение на две прави с ъглови коефициенти 1k и 2k 21
12
1kk
kk
tg



правите се пресичат под ъгъл  ; 21kk
условие за успоредност; 1
21kk
условие за перпендикулярност.
6. Лице на триъгълник с върхове с координати 
11,yx ,  
22,yx и  
33
,yx 2
1
1
1
2
1
133221133221
33
22
11
xyxyxyyxyxyx
yx
yx
yx
S




7. Окръжност
Определение: Геометрично място от точки в равнината, които са на равни разстояния R
от една дадена точка  
000
,yxM , наречена център на окръжността.
Изразява се с уравнението   
22
0
2
0
Ryyxx  222
Ryx 
Канонично уравнение на окръжност (центърът е началото на
координатната система). 2
11
Ryyxx 
Уравнение на допирателна през точка 
111,yxM от окръжността.

2
8. Елипса
Определение: Геометрично място от точки в равнината, за които сумата от
разстоянията до две фиксирани точки 1F и 2F , отстоящи една от друга
на разстояние c2 и наречени фокуси е постоянна величина, равна на a2
(ca22 ). 1
2
2
2
2

b
y
a
x

Канонично уравнение на елипса (22
bac  ). 1
2
1
2
1

b
yy
a
xx

Уравнение на допирателна през точка 
111,yxM от елипсата. 1
a
c


Ексцентритет на елипсата
9. Хипербола
Определение: Геометрично място от точки в равнината, за които разликата от
разстоянията (по модул) до две фиксирани точки 1F и 2F , отстоящи
една от друга на разстояние c2 и наречени фокуси е постоянна
величина, равна на a2 (ca22 ). 1
2
2
2
2

b
y
a
x

Канонично уравнение на хипербола (22
bac  ). 1
2
1
2
1

b
yy
a
xx

Уравнение на допирателна през точка 
111,yxM от хиперболата. 1
a
c


Ексцентритет на хиперболата
10. Парабола
Определение: Геометрично място от точки в равнината, които са равноотдалечени от
една фиксирана точка F , наречена фокус и дадена права d , наречена
директриса. pyx2
2


Канонично уравнение на парабола (координати на фокуса 





2
,0
p
F , а
уравнението на директрисата е 2
p
y ).  
11xxyyp 
Уравнение на допирателна през точка 
111,yxM от параболата.

II. ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА
1. Матрици и детерминанти
Определение: Матрицата е правоъгълна таблица с числа. mnmjmm
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
21
21
222221
111211

или nm
ji
ijaA
,
1,

Ако броят на редовете е равен на броя на стълбовете, матрицата се нарича квадратна.
На всяка квадратна матрица може да се съпостави число, наречено детерминанта.
Детерминанта от втори ред
Ако е дадена 2221
1211
aa
aa
A ; 
21122211
2221
1211
det aaaa
aa
aa
AD 

3
Детерминанта от трети ред
Нека е дадена 333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Определение: Поддетерминанта (минор) ij
D на елемента ij
a в детерминантата D се
нарича детерминанта, която се получава след отстраняване на i-я ред и j-я стълб на D .
Определение: Адюнгирано количество (алгебрично допълнение) ij
A на елемента ij
a се
нарича числото 
ij
ji
ij
DA .1

 .
Определение: Детерминанта D на квадратната матрица от трети ред се нарича
числото.    
  
122133112332132231322113312312332211
3231
2221
13
31
3331
2321
12
21
3332
2322
11
11
1313
31
1212
21
1111
11
131312121111
333231
232221
131211
111
111det
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
DaDaDaAaAaAa
aaa
aaa
aaa
AD






Детерминанта от n-ти ред
Определение: Детерминанта D на квадратната матрица mnmjmm
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
21
21
222221
111211


се нарича числото 
jj
j
n
j
n
j
jjn DaAaD
11
1
11
11 1


 

2. Свойства на детерминантите:
2.1. При транспониране детерминантата не се променя
2.2. При смяна на местата на два реда (стълба) детерминантата сменя знака си.
2.3. Детерминантата е равна на сумата от произведенията на елементите на даден ред
(стълб) по техните адюнгирани количества 


n
i
ijij
n
j
ijijn
AaAaD
11

2.4. Ако елементите на един ред (стълб) са нули, то детерминантата е равна на нула.
2.5. Детерминантата е равна на нула, ако елементите на два реда (стълба) са
съответно равни.
2.6. Ако елементите на един ред (стълб) се умножат с едно и също число, то и
детерминантата се умножава с това число.
2.7. Ако елементите на един ред (стълб) са съответно пропорционални на елементите
на друг ред (стълб) то детерминантата е равна на нула.
2.8. Ако елементите на един ред (стълб) са суми от по две и повече събираеми, то
детерминантата е равна на сума от две и повече детерминанти, на които съответните
редове (стълбове) са образувани от отделните събираеми (останалите им редове
(стълбове) съвпадат с тези на първоначалната детерминанта).
2.9. Детерминантата не провеня стойността си, ако елементите на един ред (стълб) се
умножат с число, различно от нула и се прибавят към елементите на друг ред (стълб).

4
2.10. Сумата от произведенията на елементите от даден ред (стълб) с адюнгираните
количества на елементите от друг ред (стълб) е равна на нула.
2.11. Детерминанта, на която всички елементи под или над главния диагонал са равни
на нула се нарича триъгълна. Триъгълната детерминанта е равна на произведението от
елементите на главния диагонал.
3. Видове матрици:
3.1. При nm матрицата се нарича квадратна.
3.2. Противоположна на A е матрицата A , елементите на която са
противоположни по знак на елементите на A .
3.3. Матрицата е стъпаловидна, ако първият ненулев елемент на всеки ред (без
първия) се намира по-надясно от първия ненулев елемент на предходния ред.
3.4. Квадратна матрица с нули под или над главния диагонал се нарича триъгълна.
3.5. Квадратна матрица с нули под и над главния диагонал се нарича диагонална.
3.6. Диагонална матрица, на която всички елементи по главния диагонал са равни на
едно и също число  се нарича скаларна.
3.7. Скаларна матрица, за която 1 се нарича единична (означава се с E ).
3.8. Квадратна матрица, за която jiij
aa за ji, се нарича симетрична.
3.9. Квадратна матрица, за която jiij
aa за ji, се нарича кососиметрична.
3.10. Матрица, за която 0
ij
a за ji, се нарича нулева (означава се с O ).
3.11. Матрица, за която 0detA се нарича изродена. Матрица, за която 0detA се
нарича неизродена.
4. Действия с матрици:
4.1. Две матрици nm
ji
ijaA
,
1,
 и nm
ji
ijbB
,
1,
 са равни, ако ijij
ba за ji, .
4.2. Сума на две матрици nm
ji
ijaA
,
1,
 и nm
ji
ijbB
,
1,
 е матрицата nm
ji
ijcC
,
1,
 , BAC 
, като ijijij
bac  за ji, .
СВОЙСТВА: ABBA 
   CBACBA 
AOA
OAA 

4.3. Произведение на матрица с число: nm
ji
ijaA
,
1,

,
СВОЙСТВА: AA
  BABA  
 AAA  
 AA
OOA.
AA.1

4.4. Произведение на матрици nm
ji
ijaA
,
1,
 и pn
kj
jkbB
,
1,
 : pm
ki
ki
cCBA
,
1,
,
.


, където 


n
j
jkijki
bac
1
,

СВОЙСТВА:   BCACCBA 
  ACABCBA 
BAABBA  .

5  BCACBA .
 BABA det.det.det
AEAAE ..

4.5. Транспонирана матрица на матрицата nm
ji
ijaA
,
1,
 получаваме, когато разменим
местата на редовете със стълбовете: mn
ij
ji
T
aAA
,
1,
'


,
СВОЙСТВА: AA
T
T

 
TTT
BABA 

TTT
ABBA.

5. Елементарни преобразувания на матрица:
5.1. Смяна на местата на два реда.
5.2. Умножаване (деление) на елементите на даден ред с число, различно от нула.
5.3. Прибавяне към елементите на даден ред елементите на друг ред, умножени с
число, различно от нула.
6. Ранг на матрица:
Определение: Минор от k -ти ред на матрица се нарича детерминанта, образувана от
произволни k реда и k стълба на матрицата.
Определение: Ранг на матрица (Ar )се нарича най-високият ред на минор, различен
от нула. Матрицата има ранг, равен на r , ако има поне един минор от ред r , различен от нула
и всички минори от по-висок ред са равни на нула.
Рангът на стъпаловидна матрица е равен на броя на ненулевите и редове.
7. Обратна матрица:
Определение: Обратна матрица на матрицата A е такава матрица 1
A , за която е
изпълнено EAAAA 

..
11

nnjnnn
njjjjj
nj
nj
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
A
A
......
..................
......
..................
......
......
det
1
21
21
222212
111211
1



Метод на Гаус-Жордан за намиране на обратна матрица:
Образува се разширената матрица EA . Извършват се подходящи елементарни
преобразувания, така че след краен брой етапи на мястото на A да се получи единичната
матрица E . Тогава на мястото на E ще се получи обратната матрица 1
A .
8. Решаване на матрични уравнения:
8.1. От вида BXA.
Първи начин: Намира се обратната матрица 1
A . Тогава BAX .
1

Втори начин (Метод на Гаус-Жордан): Образува се разширената матрица BA .
Извършват се подходящи елементарни преобразувания, така че след краен брой етапи на
мястото на A да се получи единичната матрица E . Тогава на мястото на B ще се получи
матрицата X .
8.2. От вида BAX.
Първи начин: Намира се обратната матрица 1
A . Тогава 1
.

ABX
Втори начин (Метод на Гаус-Жордан): Транспонират се матриците A и B . Образува се
разширената мат