Формули по ВМ1

ÐÓÑÅÍÑÊÈ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ À. ÊÚÍ×ÅÂ
ÔÀÊÓËÒÅÒ ÏÐÈÐÎÄÍÈ ÍÀÓÊÈ È ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
ÔÎÐÌÓËÈ
ïî ÂÈÑØÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ I
çà ñòóäåíòè ðåäîâíî îáó÷åíèå
îò ñïåöèàëíîñò ÒÒÒ
2015-2016

ÊÎÍÑÏÅÊÒ
ÂÈÑØÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ I
çà ñïåöèàëíîñò ÒÒÒ
1. Êîìïëåêñíè ÷èñëà. Ïîëèíîìè.
2. Ìàòðèöè è äåòåðìèíàíòè. Ñâîéñòâà.
3. Ðàíã íà ìàòðèöà. Îáðàòíà ìàòðèöà.
4. Ñèñòåìè ëèíåéíè óðàâíåíèÿ.
5. Âåêòîðè. Êîîðäèíàòè íà âåêòîð. Äåéñòâèÿ ñ âåêòîðè. Ñêàëàðíî, âåêòîð-
íî è ñìåñåíî ïðîèçâåäåíèå íà âåêòîðè.
6. Óðàâíåíèå íà ïðàâà â ðàâíèíàòà. Úãúë ìåæäó äâå ïðàâè. Ðàçñòîÿíèå îò
òî÷êà äî ïðàâà.
7. Óðàâíåíèå íà ðàâíèíà è ïðàâà â ïðîñòðàíñòâîòî.
8. Îêðúæíîñò, åëèïñà, õèïåðáîëà è ïàðàáîëà.
9. ×èñëîâè ðåäèöè. Ñâîéñòâà. Ìîíîòîííè ðåäèöè. Íåïåðîâî ÷èñëî.
10. Ôóíêöèÿ. Ãðàíèöà íà ôóíêöèÿ. Íåïðåêúñíàòîñò íà ôóíêöèÿ.
11. Ïðîèçâîäíà íà ôóíêöèÿ. Äèôåðåíöèàë. Ïðîèçâîäíà îò ïî-âèñîê ðåä.
12. Òåîðåìè çà êðàéíèòå íàðàñòâàíèÿ. Ôîðìóëè íà Òåéëîð è Ìàêëîðåí.
13. Åêñòðåìóì íà ôóíêöèÿ. Èçïúêíàëîñò è âäëúáíàòîñò. Èíôëåêñèÿ. Àñèì-
ïòîòè.
14. Íåîïðåäåëåí èíòåãðàë. Ïðàâèëà çà èíòåãðèðàíå. Îñíîâíè ìåòîäè çà èí-
òåãðèðàíå.
15. Èíòåãðèðàíå ïî ÷àñòè è ÷ðåç ñóáñòèòóöèÿ.
16. Èíòåãðèðàíå íà ðàöèîíàëíè ôóíêöèè. Èíòåãðèðàíå íà íÿêîè êëàñîâå
èðàöèîíàëíè ôóíêöèè.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
1. Öåöêà Ðàøêîâà, Ëåêöèè ïî Âèñøà ìàòåìàòèêà I (Ïúðâà ÷àñò: Ëèíåéíà
àëãåáðà è àíàëèòè÷íà ãåîìåòðèÿ), ÐÓ "À.Êúí÷åâ Ðóñå, 2009.
2. Ïåòúð Ðàøêîâ, Ëåêöèè ïî Âèñøà ìàòåìàòèêà I (Âòîðà ÷àñò: Îñíîâè íà
ìàòåìàòè÷íèÿ àíàëèç), ÐÓ "À.Êúí÷åâ Ðóñå, 2002.
3. Åì. Âåëèêîâà, Â. Åâòèìîâà, Þ. Êàíäèëàðîâ, Ì. Êîñòîâà, Ðúêîâîäñòâî
çà ðåøàâàíå íà çàäà÷è ïî Âèñøà ìàòåìàòèêà 1 (Ïúðâà ÷àñò: Ëèíåéíà àë-
ãåáðà è àíàëèòè÷íà ãåîìåòðèÿ), ÐÓ À. Êúí÷åâ, Ðóñå, 2006.
4. Êàíäèëàðîâ Þ., Ò. Ìèòåâ, Å. Âåëèêîâà, Â. Åâòèìîâà, È. Ðàåâà, Ì. Êîñ-
òîâà, Ðúêîâîäñòâî çà ðåøàâàíå íà çàäà÷è ïî Âèñøà ìàòåìàòèêà 1 (Âòîðà
÷àñò: ìàòåìàòè÷åí àíàëèç), ÐÓ À. Êúí÷åâ, Ðóñå, 2007. 5. Ñòîé÷î Äèìèò-
ðîâ è äð., Ëèíåéíà àëãåáðà è àíàëèòè÷íà ãåîìåòðèÿ, Ðóñå, 1989.
6. Ìàðèÿ Ö. Ïååâà è äð., Ðúêîâîäñòâî çà óïðàæíåíèÿ ïî ëèíåéíà àëãåáðà
è àíàëèòè÷íà ãåîìåòðèÿ.
7. Äî÷î Òð. Äî÷åâ è äð., Ìàòåìàòè÷åí àíàëèç - 1, 1978.
2

1 Ó÷èëèùåí êóðñ.
Ôîðìóëè çà ñúêðàòåíî óìíîæåíèå.
(a+b)(a�b) =a
2
�b
2
;
(a+b)
2
=a
2
+ 2ab+b
2
; ( a�b)
2
=a
2
�2ab+b
2
;
(a+b)
3
=a
3
+ 3a
2
b+ 3ab
2
+b
3
; (a�b)
3
=a
3
�3a
2
b+ 3ab
2
�b
3
;
(a+b)(a
2
�ab+b
2
) =a
3
+b
3
; (a�b)(a
2
+ab+b
2
) =a
3
�b
3
:
Ñòåïåíè.
a
m
: a
n
=a
m+n
;
a
m
a
n
=a
m�n
;a6= 0; a
0
= 1;8a6= 0;
(a
n
)
m
=a
nm
; ( a:b)
n
=a
n
:b
n
;

a
b

n
=
a
n
b
n
;b6= 0;
a
�n
=
1
a
n
;a6= 0;

a
b

�n
=

b
a

n
;a;b6= 0;a
p
q=
q
p
a
p
:
Ëîãàðèòúì.
log
ab=x=)b=a
x
; a >0; a6= 1;b >0:
log
aa= 1; log
a1 = 0; log
aa
x
=x;a
log
ax
=x;
log
a(b1:b2) = log
ab1+ log
ab2;log
a

b1
b2

= log
ab1�log
ab2;
log
ab
n
=nlog
ab; log
a
mb=
1
m

log
ab;
log
a
mb
n
=
n
m
log
ab:
Êâàäðàòíîòî óðàâíåíèå.
1.ax
2
+bx+c= 0;D=b
2
�4ac;
D >0)x1;2=
�b
p
D
2a


D= 0)x1=x2=�
b
2a


D <0)óðàâíåíèåòî íÿìà ðåàëíè êîðåíè (í.ð.ê.).
2.ax
2
+bx= 0,x(ax+b) = 0,x1= 0;x2=�
b
a


3.ax
2
+c= 0,x
2
=�
c
a
)
 �
c
a
>0,x
1=2=
p
�
c
a
:
 �
c
a
<0,óðàâíåíèåòî íÿìà ðåàëíè êîðåíè (í.ð.ê.).
4.ax
2
+bx+c=a(x�x1)(x�x2):
3

2 Òðèãîíîìåòðè÷íè ôîðìóëè.
tgx=
sinx
cosx
; cotgx=
cosx
sinx
;
p
sin
2
x=jsinxj;
p
cos
2
x=jcosxj;
sin
2
x+ cos
2
x= 1; sin
2
x=
1
2
(1�cos2x); cos
2
x=
1
2
(1 + cos2x);
sin2x= 2sinxcosx; cos2x= cos
2
x�sin
2
x:
x

0

30

45

60

90

120

135

150

180

360

xrad0=6=4=3=22=33=45=62
sinx01=2
p
2=2
p
3=21
p
3=2
p
2=2 1=2 0 0
cosx1
p
3=2
p
2=21=20�1=2�
p
2=2�
p
3=2�11
tgx0
p
3=31
p
3��
p
3 �1�
p
3=30 0
cotgx�
p
3 1
p
3=30�
p
3=3�1 �
p
3� �
3 Ìàòðèöè.
A=
0
B
B
@
a11a12


a1n
a21a22


a2n













an1an2


ann
1
C
C
A
;
àêîdetA=jAj 6= 0)A
�1
=
1
jAj
0
B
B
@
A11A21


An1
A12A22


An2













A1nA2n


Ann
1
C
C
A
;
Aij= (�1)
i+j
Dij-àäþíãèðàíî êîëè÷åñòâî íà åëåìåíòàaij,
Dij- ïîääåòåðìèíàíòà íàdetA, ïîëó÷åíà ÷ðåç ïðåìàõâàíå íà
i-òèÿ ðåä èj-òèÿ ñòúëá.
AX=B)X=A
�1
B XA =B)X=BA
�1
4 Âåêòîðè.
M1(x1;y1;z1);M2(x2;y2;z2))
�!
M1M2(x2�x1;y2�y1;z2�z1)
O-ñðåäà íà îòñå÷êàòàM1M2)O

x1+x2
2
;
y1+y2
2
;
z1+z2
2

~a(ax;ay;az);
~
b(bx;by;bz))~a
~
b= (axbx;ayby;azbz)
~a= (ax;ay;az); 2R
4

Ñêàëàðíî ïðîèçâåäåíèå íà âåêòîðè.
~a:
~
b=j~ajj
~
bjcos'; '�úãúëà ìåæäó âåêòîðèòå~aè
~
b;
~a:
~
b=axbx+ayby+azbz;j~aj=
p
~a
2
=
q
a
2
x+a
2
y+a
2
z;
Àêî~a;
~
b6= 0, òî~a?
~
b,~a:
~
b= 0:
Âåêòîðíî ïðîèçâåäåíèå íà âåêòîðè.
~c=~a
~
b=






~i~j
~
k
axayaz
bxbybz






;S4ABC=
1
2
j
�!
AB
�!
ACj;
j~cj=j~a
~
bj=S- ëèöåòî íà óñïîðåäíèêà, ïîñòðîåí âúðõó
âåêòîðèòå~aè
~
b:
Ñìåñåíî ïðîèçâåäåíèå íà âåêòîðè.
(~a
~
b ~c) =~a:(
~
b~c) = (~a
~
b):~c(~a
~
b ~c) =






axayaz
bxbybz
cxcycz






;
j(~a
~
b ~c)j=V-îáåìúò íà ïàðàëåëåïèïåäà, ïîñòðîåí âúðõó
âåêòîðèòå~a;
~
bè~c:
5 Óðàâíåíèå íà ïðàâà â ðàâíèíàòà.
g!ax+by+c= 0- îáùî óðàâíåíèå íà ïðàâà,k=�
a
b
:
Óðàâíåíèå íà ïðàâà, ìèíàâàùà ïðåç òî÷êàM(x0;y0)
ñ äàäåí úãëîâ êîåôèöèåíòk: g!y�y0=k(x�x0)
Óðàâíåíèå íà ïðàâà, êîÿòî ìèíàâà ïðåç äâå òî÷êèM1(x1;y1)è
M2(x2;y2):
g!
x�x1
x2�x1
=
y�y1
y2�y1
èëè g!






x y1
x1y11
x2y21






= 0.
Âçàèìíè ïîëîæåíèÿ íà äâå ïðàâè.
g1!a1x+b1y+c1= 0; k1=�
a1
b1
- úãëîâèÿ êîåôèöèåíò íàg1,
g2!a2x+b2y+c2= 0; k2=�
a2
b2
- úãëîâèÿ êîåôèöèåíò íàg2:
Àêîk1=k2 )
a1
a2
=
b1
b2
)g1kg2:
Àêîk1:k2=�1)
a1
b1
=�
b2
a2
)g1?g2:
ÀêîM0(x0;y0)å ïðåñå÷íàòà òî÷êà íàg1èg2
)(x0;y0)å ðåøåíèå íà ñèñòåìàòà
a1x+b1y+c1= 0
a2x+b2y+c2= 0:
5

'- úãúëúò ìåæäóg1èg2)tg'=
k2�k1
1 +k1k2
:
6 Óðàâíåíèå íà ðàâíèíà â ïðîñòðàíñòâîòî.
!Ax+By+Cz+D= 0- îáùî óðàâíåíèå íà ðàâíèíà,
~n(A; B; C)- íîðìàëåí âåêòîð íà; ~n?:
Óðàâíåíèå íà ðàâíèíà, ìèíàâàùà ïðåç òî÷êàM0(x0; y0; z0)è
ïåðïåíäèêóëÿðíà íà~n(A; B; C) :
!A(x�x0) +B(y�y0) +C(z�z0) = 0:
Óðàâíåíèå íà ðàâíèíà, ìèíàâàùà ïðåç òî÷êàM0(x0; y0; z0)è óñïîðåäíà íà
äâà íåêîëèíåàðíè âåêòîðà~a(ax; ay; az)è
~
b(bx; by; bz) :
!
8
<
:
x=x0+ax+bx
y=y0+ay+by
z=z0+az+bz
èëè!






x�x0y�y0z�z0
ax ay az
bx by bz






= 0:
Óðàâíåíèå íà ðàâíèíà, ìèíàâàùà ïðåç òî÷êèòåM1(x1; y1; z1); M2(x2; y2; z2)
èM3(x3; y3; z3) :
!






x�x1y�y1z�z1
x2�x1y2�y1z2�z1
x3�x1y3�y1z3�z1






= 0:
7 Óðàâíåíèå íà ïðàâà â ïðîñòðàíñòâîòî.
Óðàâíåíèå íà ïðàâà, ìèíàâàùà ïðåç òî÷êàM0(x0; y0; z0)è óñïîðåäíà íà
âåêòîðà~s(a; b; c) :
g!
8
<
:
x=x0+at
y=y0+bt
z=z0+ct
èëèg!
x�x0
a
=
y�y0
b
=
z�z0
c
:
Óðàâíåíèå íà ïðàâà, ìèíàâàùà ïðåç òî÷êèòåM1(x1; y1; z1)èM2(x2; y2; z2) :
g!
x�x1
x2�x1
=
y�y1
y2�y1
=
z�z1
z2�z1
:
8 Ãðàíèöà íà ôóíêöèÿ.
lim
x!a
c=c; c�const; lim
x!a
c:f(x) =c:lim
x!a
f(x); c�const;
lim
x!a
(f(x)g(x)) = lim
x!a
f(x)lim
x!a
g(x);
lim
x!a
(f(x):g(x)) = lim
x!a
f(x):lim
x!a
g(x);
lim
x!a
f(x)
g(x)
=
lim
x!a
f(x)
lim
x!a
g(x)
; ako g(x)6= 0;lim
x!a
g(x)6= 0;
lim
x!1
1
x
= 0; lim
x!+0
1
x
= +1; lim
x!�0
1
x
=�1;
lim
x!0
sinx
x
= 1; lim
x!1

1 +
1
x

x
=e; e2;7182:::- íåïåðîâî ÷èñëî.
6

9 Ïðîèçâîäíà íà ôóíêöèÿ.
(uv)
0
=u
0
v
0
; (uv)
0
=u
0
v+uv
0
; (cu)
0
=cu
0
;

u
v

0
=
u
0
v�uv
0
v
2
; [ f(u(x))]
0
=f
0
(u)u
0
(x);
c
0
= 0; ( cx)
0
=c;
(x
n
)
0
=nx
n�1
; ( x)
0
= 1;

1
x

0
=�
1
x
2
; (tg x)
0
=
1
cos
2
x
;
(
p
x)
0
=
1
2
p
x
; (ctg x)
0
=�
1
sin
2
x
;
(a
x
)
0
=a
x
lna; a >0; (arcsin x)
0
=
1
p
1�x
2
;
(e
x
)
0
=e
x
; (arccos x)
0
=�
1
p
1�x
2
;
(lnx)
0
=
1
x
; (arctg x)
0
=
1
1 +x
2
;
(sinx)
0
= cosx; (arcctg x)
0
=�
1
1 +x
2
;
(cosx)
0
=�sinx; (log
ax)
0
=
1
xlna
;a >0;a6= 1:
Ïðàâèëî íà Ëîïèòàë.
Àêîlim
x!a
f(x)
g(x)
=

0
0

èëèlim
x!a
f(x)
g(x)
=
h
1
1
i
, òî
lim
x!a
f(x)
g(x)
= lim
x!a
f
0
(x)
g
0
(x)


7

10 Íåîïðåäåëåí èíòåãðàë.
Z
(f(x)g(x))dx=
Z
f(x)dx
Z
g(x)dx;
Z
af(x)dx=a
Z
f(x)dx;
Z
dx=x+c;
Z
1
sinx
dx= ln


tg
x
2


+c;
Z
x
n
dx=
x
n+1
n+ 1
+c;n6=�1;
Z
1
cosx
dx= ln


tg


4
+
x
2


+c;
Z
1
x
dx= lnjxj+c;
Z
1
p
1�x
2
dx= arcsinx+c;
Z
e
x
dx=e
x
+c;
Z
1
p
a
2
�x
2
dx= arcsin
x
a
+c;
Z
cosxdx= sinx+c;
Z
1
1 +x
2
dx= arctgx+c;
Z
sinxdx=�cosx+c;
Z
1
a
2
+x
2
dx=
1
a
arctg
x
a
+c;
Z
1
cos
2
x
dx= tgx+c;
Z
1
x
2
�a
2
dx=
1
2a
ln




x�a
x+a




+c;
Z
1
sin
2
x
dx=�ctgx+c;
Z
1
p
x
2
a
dx= ln


x+
p
x
2
a


+c:
Ôîðìóëà çà èíòåãðèðàíå ïî ÷àñòè:
Z
u dv=u v�
Z
v du;(du=u
0
dx):
8