Консервативни сили. Потенциална енергия. Връзка между работа и потенциална енерг

6 въпрос
Консервативни сили. Потенциална енергия. Връзка между работа и потенциална
енергия. Закон за изменение и запазване на пълната механична енергия
Консервативни сили. Потенциална енергия. Връзка между работа и потенциална енергия
Нека да пресметнем работата, извършена от различни сили.
При издигане на тяло по наклонена равнина от т. 1 до т. 2 (фиг.
21), на тялото действат няколко сили – силата, която го издига,
силата на тежестта, силата на триене и силата на реакция на
опората. Ние ще се интересуваме от работата на силата на те-
жестта и силата на триене. И двете сили са постоянни по голе-
мина и посока и можем да приложим формулата за работа на постоянна сила: тр
cos sinA F r kNl kGl kG x          
– за силата на триене;
(22) cos cosA G r Gl G y         – за силата на тежестта.
Ако върнем тялото обратно в началното му положение в т. 1, работата на силата на триене ще бъде
същата, защото силата и преместването пак ще сключват ъгъл  (силата на триене е винаги в посока
обратна на движението), докато работата на силата на тежестта ще бъде с обратен знак (защото ъгълът
между посоката на силата и посоката на преместването в този случай ще бъде ). Следователно работа-
та, извършена от силата на триене по затворения контур 1–2–1 ще бъде –2kGx, докато работата на си-
лата на тежестта ще бъде 0, т.е. работата на силата на тежестта не зависи от изминатия път, а само от
преместването (началното и крайното положение на тялото). Такива сили, чиято работа не зависи от
изминатия път, а само от началното и крайното положение на тялото, се наричат консерва-
тивни (или потенциални) сили. Силата на тежестта е пример за консервативна сила, силата на триене
– за неконсервативна.
Това разсъждение е валидно и за произволна
консервативна сила (фиг. 22). При преместване на
тялото от т. 1 до т. 2 по траектория a (под дейст-
вие на всички сили приложени към тялото), кон-
сервативната сила F ще извърши работа A1-a-2, а
по траектория b – A1–b–2. Тъй като работата на
консервативната сила не трябва да зависи от тра-
екторията: 1 2 1 2ab
AA
   

; 1 2 2 1bb
AA
   

; 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2
0
a b a b a b
A A A A A
           
    
.
Работата на произволна сила по затворен контур може да се изрази математически чрез интеграл по
затворения контур L (1–a–2–b–1): .
L
A F dr
,
т.е. математически условието за консервативност на една сила F ще бъде: .0
L
A F dr

Силово поле, в което действат консервативни (потенциални) сили, се нарича потенциално поле.
Всички тела, които се намират в потенциално поле, притежават определен вид енергия, която се
нарича потенциална енергия U. Тя е скаларна величина и е свързана с взаимното разположение на
телата, които си взаимодействат (с консервативни сили), и зависи от техните координати (радиус-
вектори), т.е. U е функция на координатите в избраната отправна система –  ,,U r U x y z . Следова-
телно потенциална енергия на дадено тяло винаги е свързана с другите тела, с които то взаимодейства.
Не можем да говорим за потенциална енергия на изолирано (свободно) тяло. Доколкото U зависи от r ,
т.е. от отправната система, нейното определяне също е нееднозначно, но промяната ѝ (което всъщност
ни интересува) не зависи от отправната система. Обикновено се приема, че потенциалната енергия е 0
на някакво място и стойността ѝ се отчита спрямо това място. За движение на тела близо до Земята за
1
2
l
x
y тр
F
G

фиг. 21

Y
O X
фиг. 22
1
2
a
b 1
r
2
r
r
F

такова място най-често се приема земната повърхност.
Нека сега се опитаме да определим връзката между работата на консервативната сила и потенциал-
ната енергия на тялото. Изменението на потенциалната енергия U (както и на всички видове енергия) е
свързана с извършване на работа. Тъй като U се определя от взаимодействие на телата чрез консерва-
тивни сили, естествено е да предположим, че работата се извършва от действащата консервативна сила.
Тъй като работата е мярка за изменението на енергията, колкото повече се променя потенциалната енер-
гия, толкова по-голяма работа трябва да може да извърши консервативната сила т.е. извършената работа
A по големина трябва да е равна на промяната на потенциалната енергия U. Остава да определим знака
на извършената работа (тя е алгебрична величина и може да бъде както положителна, така и отрицател-
на). Ще го направим на базата на пример със сила, която показахме, че е консервативна – силата на те-
жестта G . Ако едно тяло пада свободно от височина h, работата на G ще бъде толкова по-голяма, кол-
кото по голяма е h. Следователно колкото е по-голяма височината над земната повърхност, на която е
издигнато тялото, толкова по-голяма ще бъде и потенциалната му енергия. Ако тялото се премества от
височина h1 до височина h2 (h2<h1), силата на тежестта ще извърши работа (22):
(23)  
12
0A G r G h h     ,
тъй като силата и преместването са еднопосочни (cos=1), а големината на преместването 12
r h h  
(r трябва да е положителна величина). При това преместване обаче, потенциалната енергия на тялото
намалява, защото намалява височината над земната повърхност. Следователно при извършване на по-
ложителна работа от консервативната сила, потенциалната енергия на тялото намалява и обратно – ако
работата на консервативната сила е отрицателна (при издигане на тялото силата на тежестта и премест-
ването са противопосочни, cos=–1, A<0), потенциалната енергия на тялото се увеличава. Такава връзка
съществува не само за силата на тежестта, а и за всяка консервативна сила и може да се запише като:
(24) AU  ,
т.е. работата на консервативната сила е равна на взетата със знак минус промяна на потенциал-
ната енергия на тялото. С други думи консервативната сила върши работа за сметка на потенциална-
та енергия на тялото. От (24) се вижда, че потенциалната енергия, също както работата, се измерва в
джаули. За много малко преместване dr , (24) може да се запише като:
(25) dA dU .
В конкретния пример, който разгледахме, за потенциалната енергия на тяло в полето на силата на
тежестта (като примем за нулево потенциално ниво земната повърхност) ще получим, че тяло, намира-
що се на височина h над земната повърхност, притежава потенциална енергия, която е равна на взетата
със знак минус работа на силата на тежестта при издигането му до тази височина. От (22), (23) и (24):  

0 0 cos ,
.
U U h U A G h Gh mgh
U h mgh
          


Закон за изменение и запазване на пълната механична енергия
Видяхме, че едно тяло може да притежава два вида механична енергия – кинетична T и потенциална
U. Сумата от кинетичната и потенциалната енергия на едно тяло E=T+U се нарича пълна меха-
нична енергия на тялото. Тъй като е сума от енергии, мерната ѝ единица също е джаул. Енергията,
както казахме, е адитивна величина и следователно пълната механична енергия на механична система
от тела ще бъде равна на сумата от пълните механични енергии на отделните тела:
(26)  
11
nn
i i i
ii
E E T U

   .
Нека да видим по какъв начин може да се променя пълната механична енергия на една механична
система. Казахме, че всяка промяна на енергията е свързана с извършване на работа, а следователно и с
действие на сили. Ако имаме една произволна механична система, в нея трябва да действат няколко
вида сили – вътрешни и външни, консервативни и неконсервативни. Поне една от вътрешните сили
трябва да е консервативна, за да може телата да притежават потенциална енергия. Ако всички вътрешни
сили са консервативни, системата се нарича консервативна. Под действие на всички сили, всяко от те-
лата в системата получава някакво ускорение i
a (втори принцип на Нютон):

(27)  
 
вк вн
вк вн
1
i i i i
i
i i i i i
a f f F
m
m a f f F
  
   ,
където с вкi
f и внi
f сме означили съответно равнодействащите на вътрешните консервативни и некон-
сервативни сили, а с i
F – равнодействащата на външните сили, действащи на тялото с номер i. За да
определим промяната на енергията на тялото, трябва да пресметнем работата, която извършват всички
сили върху него. Затова умножаваме скаларно второто равенство от (27) с безкрайно малкото премест-
ване на тялото i
dr , което то получава под действие на всички сили.  
 
вк вн
вк вн
|.
..
i i i i i i
i i i i i i i
m a f f F dr
m a dr f f F dr
  
  
.
Като използваме изводът за нарастването на T (dT=mvdv), виждаме че, лявата част на равенството
представлява безкрайно малкото нарастване на кинетичната енергия на тялото dTi. От определението за
работа на сила (.dA F dr ) и (25) следва че, дясната част на равенството е сума от работите dAi на вън-
шните и dAiвн на неконсервативните сили и взетата със знак минус промяна на потенциалната енергия
на тялото: вк вн
вн
. . .
i i i i i i i i i
i i i i
m v dv f dr f dr F dr
dT dU dA dA
  
   
.
Последното равенство може да се преобразува, за да получим изменението на пълната енергия Ei на
тялото, а като използваме адитивността на работата и енергията и (26) – и на пълната енергия E на сис-
темата:  
вн
вн
вн
1 1 1
вн
1 1 1
i i i i
i i i i i
n n n
i i i
i i i
n n n
i i i
i i i
dT dU dA dA
d T U dE dA dA
dE dA dA
d E d A d A
  
  
  
   


  
  
вн
dE dA dA
.
Следователно, промяната на пълната механична енергия dE на една механична система е сума от ра-
ботата dAвн на неконсервативните вътрешни сили и работата dA на външните сили т.е. механичната
енергия на една механична система може да се промени само ако ѝ действат външни или неконсерва-
тивни сили. Ако системата е затворена (не действат външни сили) и консервативна (няма вътрешни не-
консервативни сили), то и работата на външните и неконсервативни сили ще бъде нула, а механичната
енергия на системата няма да се променя: 0 constdE E
.
Тези равенства изразяват закона за запазване на пълната механична енергия: Пълната механич-
на енергия на затворена консервативна система не се променя с времето.
Законът за запазване на пълната механична енергия е частен случай на по-общия закон за запазване
на енергията. Видяхме, че ако в системата действат неконсервативни сили, част от механичната енергия
се преобразува чрез работата на тези сили. Тази енергия обаче не се губи, ако системата е затворена (не
действат външни сили), а се преобразува в друг вид енергия на системата (най-често в топлинна, под
действие на силите на триене и съпротивление). Така можем да формулираме общия закон за запазване
на енергията: Пълната енергия (сумата от всички видове енергии) на затворена система не се променя с
времето.