Основни динамични величини – сила, маса, импулс. Принципи на Нютон. Събира- не н

3 въпрос
Основни динамични величини – сила, маса, импулс. Принципи на Нютон. Събира-
не на сили – принцип на суперпозицията. Закон за изменение и запазване на импул-
са
Първи принцип на Нютон. Инерциална отправна система
Динамиката е дял от механиката, в който се формулират нейните основни закони (принципи), изяс-
няващи причините за движението на едно тяло. Принципите представляват такива общи закони, които
не могат да бъдат доказани непосредствено, но до които се достига вследствие на продължителен жи-
тейски опит. Основните принципи на динамиката са формулирани от английския физик Исак Нютон
през 1687 г. в неговата книга „Математически принципи на натурфилософията“.
Първият принцип на Нютон гласи, че всяка материална точка (тяло) запазва състоянието си
на покой или праволинейно равномерно движение дотогава, докато някакво външно въздействие
не я изведе от това състояние.
Общото свойство на телата да запазват състоянието си на покой или праволинейно равномерно дви-
жение при отсъствие на външни въздействия се нарича инертност. Затова, ако едно тяло се движи без
външно въздействие казваме, че то се движи по инерция. Ето защо първият принцип на Нютон е извес-
тен още като принцип за инерцията.
Оказва се, че този принцип не е в сила спрямо всяка отправна система. Нютон го е формулирал
спрямо система, за която е предполагал, че се намира в състояние на абсолютен покой. Цялото по-
нататъшно развитие на физиката показва, че такава система не съществува. Отправни системи, в които е
изпълнен принципът за инерцията, се наричат инерциални. Опитно е доказано, че с много голяма точ-
ност принципът на Нютон се изпълнява в т.нар. хелиоцентрична инерциална система. За център на тази
система се избира една точка от повърхността на Слънцето, а осите ѝ са насочени към три отдалечени
звезди, избрани така, че осите да бъдат взаимноперпендикулярни.
Всички отправни координатни системи, които се движат праволинейно и равномерно спрямо дадена
инерциална отправна система, са също инерциални системи. От това следва, че съществуват безброй
много инерциални системи.
Основни динамични величини – сила, маса, импулс. Втори принцип на Нютон
От първия принцип на Нютон следва, че за да се промени големината и посоката на скоростта на да-
дено тяло, то трябва да изпита някакво външно въздействие. В резултат на това тялото променя ско-
ростта си т.е. придобива ускорение. Ускорителното движение на тялото е проява на някакво ново качес-
тво, различаващо се съществено от състоянието на покой или праволинейно равномерно движение. По-
явата на ускорение обикновено се свързва с действието на сили. Прието е всяка причина за изменение
скоростта на дадено тяло да се нарича сила. Силата е векторна величина се означава с 
F . Всяка сила
е свързана с някакво въздействие върху даденото тяло.
Опитът показал, че когато на едно и също тяло се действа с различни по големина сили, ускоренията,
които то придобива, са пропорционални на големините на силите. Оказва се обаче, че ако с една и съща
сила се действа на различни тела, скоростта им на движение се изменя по различен начин, т.е. те придо-
биват различни ускорения. Следователно резултатът от действието на силата зависи не само от самата
сила, а и от някаква характеристика, специфична за всяко тяло. Тази характеристика е наречена маса и е
скаларна физична величина, която се въвежда в класическата механика като количествена мярка
за инертността на телата. Означава се с m, а мерната ѝ единица е килограм [kg] (основна единица в
SI). Експериментите показват, че колкото е по-голяма масата на тялото, толкова по-малко ускорение
получава то под действие на дадена сила.
Вторият принцип на Нютон определя връзката между сила, маса и ускорение. Той гласи, че
ускорението, което получава дадено тяло, е пропорционално на силата, която му действа и об-
ратно пропорционално на масата на тялото: F
ak
m

.
От формулата може да се направи извода, че ускорението винаги е насочено в посока на действаща-
та сила. Коефициентът на пропорционалност зависи от избраната система измерителни единици. В сис-
тема SI основните мерни единици са подбрани така, че коефициентът k=1. Така стигаме до познатия ни
израз на втория принцип:

(2) F
a
m
 .
Като преобразуваме (2) можем да получим мерната единица за сила, която в SI е наречена на името
на Нютон [N]:
(3) F ma [N]=[kg.m/s
2
].
Формулировките на втория принцип във вид (2) и (3) са математически еквивалентни и при решава-
не на конкретни проблеми може се използва всяка от тях. Не трябва да се забравя обаче, че (2) е физи-
чески правилната формулировка на принципа, тъй като отчита причинно-следствената връзка между
явленията – прилагането на сила предизвиква ускорено движение, а не обратното т.е. ускорението е
функция на приложената сила.
Друга важна величина в механика е импулс на тяло. Тя се дефинира като произведение на маса-
та на тялото по неговата скорост. Бележи се с p и, както се вижда от определението, е векторна
величина:
(4) p mv .
Мерната единица е [kg.m/s].
Импулсът е една от най-важните величини не само в механиката, а и в цялата физика. Основната
причина е, че това е една от малкото величини, за която може да се формулира универсален закон за
запазване.
Вторият принцип на Нютон може да се формулира и чрез импулса (това е и оригиналната формули-
ровка на Нютон). Ако вземем първата производна на (4) по времето и като имаме предвид, че първата
производна на скоростта е ускорението, а силата може да се изрази чрез (3), получаваме:
(5) d mv
d p dv
m ma F
dt dt dt
    .
т.е. приложената сила предизвиква промяна на импулса на тялото. Тази формулировка е по-обща, тъй
като е валидна и в релативистката механика (при движение със скорости близки до скоростта на свет-
лината), за разлика от (2).
Събиране на сили – принцип на суперпозицията
Ако на едно тяло му действат няколко сили, то получава ускорение по посока на векторната сума от
всички действащи сили, която се нарича равнодействаща:
(6) N
1 2 N
1
i
i
F F F F F

     
Като използваме (6), можем да обобщим основното динамично уравнение (втория принцип на Нютон)
(2):  
N
1 2 N
1
11
i
i
F
a F F F F
m m m

      
.
Можем също да обобщим и формулировката чрез промяната на импулса (5): N
1
i
i
dp
F
dt


.
Определянето на равнодействащата на няколко сили като векторната сума от тези сили (6) е прило-
жение на един общ принцип, който се отнася за векторни величини – принципът на суперпозицията
(на векторното събиране). Той се нарича още принцип за независимото действие, когато се отна-
ся за величини като сила или интензитет. Същността му в конкретния случай се изразява в това,
че когато отчитаме резултата от действието на една сила, не се интересуваме от другите
действащи сили (независимо действие на всяка сила), а общият резултат от всички действащи
сили получаваме чрез векторно събиране (суперпозиция) на отделните резултати. Принципът на
суперпозицията има и обратно действие – ние можем да разложим една векторна величина (напр. сила,
скорост, ускорение) на няколко векторни компоненти, защото принципът ни гарантира, че сумата от
техните отделни действие е равно на действието на тяхната векторна сума т.е. на съответната неразло-
жена векторна величина.
Принципът на суперпозицията може да се илюстрира с няколко примера.

Ако тяло се движи под действие на две сили 1
F и 2
F (фиг. 7а), движението ще бъде по посока на
равнодействащата сила F , която е векторната сума на 1
F и 2
F . Големината ѝ се определя от косинусо-
вата теорема:  
12
22
1 2 1 2
2 cos
F F F
F F F F F F

    
.
Когато =/2 (фиг. 7б), формулата за големината на силата F малко се опростява (cos(–)=0). А
ако двете сили действат по една права (фиг. 7в,г), големината на равнодействащата F е просто сума
(фиг. 7в) или разлика (фиг 7г) от големините на двете сили 1
F и 2
F . Винаги трябва да се има предвид
обаче, че така пресмятаме само големината на силата. Самата равнодействаща сила F винаги е век-
торна сума (а не разлика) от всички действащи сили (6), независимо от тяхната посока. Равенството
(6) е математическият израз на принципа на суперпозицията за сили.
Много често принципът на суперпозицията се използва и в обратна посока – за
разлагане на векторни величини на техните компоненти. Ако тяло е хвърлено от ня-
каква височина h под ъгъл  спрямо земната повърхност със скорост v (фиг. 8), то
ще се движи по крива линия (парабола) към Земята. Ние обаче, можем да предста-
вим това криволинейно движение като сума от две праволинейни – едното в хори-
зонтална посока е равномерно с получената начална скорост x
v , защото в тази посо-
ка не действа сила, а другото във вертикална посока е равноускорително с ускорение g
и начална скорост y
v . Това разлагане е възможно заради принципа на суперпозицията – сумите от
началните скорости и ускоренията на двете праволинейни движения са равни на началната скорост и
ускорението на криволинейното: 0
xy
v v v
a g g

  
.
Трети принцип на Нютон. Механична система
Досега, чрез първите два принципа на Нютон, ние изяснихме какво става с едно тяло, когато няма
или има въздействие върху него. Първият принцип разглежда едно изолирано тяло. Във втория принцип
неявно се въвежда друго тяло (или тела), доколкото външното въздействие може да дойде само от ня-
какво друго тяло. Там обаче, ние се занимавахме основно с резултата от това въздействие – промяната
на скоростта на тялото. От друга страна е логично да се предположи, че ако разглежданото от нас тяло
A е подложено на въздействие от друго тяло B, то и тялото B ще бъде подложено на някакво въздейст-
вие от тялото A т.е. телата си взаимодействат с някакви сили. Третият принцип на Нютон ни дава връз-
ката между тези сили.
Третият принцип на Нютон гласи, че силите,
с които си взаимодействат две тела, са равни по
големина и противоположни по посока.
(7) 12 21
FF
Ако тяло 1 действа на тяло 2 със сила 12
F (фиг. 9), то силата 21
F , с която тяло 2 действа на тяло 1, е x
v

фиг. 8
h v y
v

 g
фиг. 9
1 2 21
F
12
F 1
F
22
12
F F F

фиг. 7 2
F
F

а) 1
F
2
F
F

б)
 12
F F F
1
F
2
F
F

в) 12
F F F
1
F
2
F
F

г)

насочена по същата права като 12
F , има същата големина, но е в противоположна посока. Трябва да се
има предвид обаче, че тези сили имат различни приложни точки – силата 21
F действа на тяло 1, а сила 12
F
действа на тяло 2. Затова тези сили не могат да се уравновесяват взаимно.
Третият принцип на Нютон, който въ