Прогнозиране с метода ARIMA в SPSS

ARIMA

Основна постановка на казуса

Маркетинговият отдел на компания за продажби по каталог е натоварен със задачата да разработи 12-месечна прогноза за продажбите на предлаганите по каталог артикули. Данните за месечните продажби (в стойност) на всички стоки, продавани по каталог (мъжко, дамско облекло и бижутерия), както и предполагаемите фактори, обуславящи тяхната динамика (брой изпратени каталози, брой страници в каталог, брой отворени линии за поръчка, разходи за печатна реклама, брой търговски представители), са обобщени за период от 10 години (от януари 1989 г. до декември 1998 г.). В базата данни се съдържа и променливата “промоции”, която е типична дъми променлива с код 1 за периодите с ценови промоции и код 0 за всички останали периоди.
Във връзка с възможността за предварителна оценка на прогностичните способности на различните методи и модели и на тази основа извършване на сравнителен анализ и избор на най-точния от тях, маркетинговите специалисти използват техниката на валидиране, като валидиращият период обхваща последната година от историческия период (от януари до декември 1998 г.). При оценката на прецизността на прогнозите те се основават на показателя среден абсолютен процент на грешка (МАРЕ).

Вашите задачи са:

1. Ендогенно ARIMA моделиране

ARIMA моделите са едни от най-популярните представители на ендогенните отворени модели за бизнес прогнозиране. Приложението им се реализира на три фази: (1) идентификациране броя (реда) на параметрите p, d, q и sp, sd, sq (за сезонните модели) въз основа на корелограмите; (2) оценяване на параметрите и изключване на тези от тях, които не са статистически значими; и (3) диагностична проверка на остатъците за наличието на нормално разпределение, хомоскедастичност и случаен характер.
Накракто ще бъдат представени някои от основните правила, които трябва да се съблюдават при ендогенното ARIMA моделиране.
(1) Идентификация на ARIMA параметри:
Авторегресионен параметър (p). Показва паметта на процеса за предходни наблюдения. Обикновено приема стойности 0,1 или 2. При стойност 0 означава, че при фактическите данни не се наблюдава автокорелация. При стойност 1 означава, че фактическите данни, обект на моделиране, си корелират помежду си при лаг 1 (най-често срещаната ситуация). При стойност 2 означава, че фактическите данни, обект на моделиране, си корелират помежду си при лаг 2, т.е. тяхната величина (хt) се определя от величината на двете предходни наблюдения поотделно (хt-1 и хt-2).
Интегриран параметър, параметър на последователни разлики (d). Свидетелства за наличието на тренд в данните, т.е. нестационарност по отношение на тренда (за справяне с нестационарността по отношение на вариацията се използва например логаритмична трансформация). При интегриран параметър 0 изходните данни, обект на моделиране, са стационарни. Стойности над 0 свидетелстват за нестационарни по отношение на тренда данни. Със стойност 1 например се стабилизира (изолира) линейният тренд (най-типичния случай), а със стойност 2 - както линейният, така и квадратичният тренд. Възможни са ситуации, при които са необходими последователни разлики и от по-висок ред, но те са изключение. ARIMA (0,1,0) е известен в литературата като модел на случайното блуждаене, като чрез него се неутрализира линейния тренд, а оставащата част от вариацията в данните не може да бъде обяснена нито на авторегресионна база, нито на базата на плъзгащи се средни.
Параметър на плъзгащи средни (q). Показва паметта на процеса за предходни случайни шокове. Обикновено приема стойности 0,1 или 2. Когато е 0, казваме, че в данните не се наблюдават шокове и те могат да бъдат обяснени само на авторегресионна база. При стойност 1 можем да твърдим, че фактическите данни, обект на моделиране, си корелират с шокове на лаг 1, а при стойност 2 - на лаг 2.
Константа. При авторегресионен процес характеризира трендовия параметър, а при процес на плъзгащи се средни – средното равнище. При наличие на интегриран процес (d>0) тези коментари се отнасят за преобразуваните въз основа на последователни разлики данни. При d=0 моделът най-често има константа и тя е средната на реда. При d=1, ако моделът има константа, то тя ще изразява ненулевия среден тренд (при нулев среден тренд моделът няма константа!). При d=2 моделът няма константа (ако има константа, тя би отразявала стойността на "тренда в тренда").
Спазвайте правилото за пестеливост на модела (Keep It Simple=KIS)!!!
(2) Оценяване на параметрите – някои правила:
В един модел трябва да се включат ВСИЧКИ статистически значими параметри.
Стойността на параметъра Phi показва колко силно всяка стойност зависи от предходните. Неговите величина и знак пряко кореспондират с величината и знака на коефициента на частична авторегресия при лаг 1.
Стойността на параметъра Theta показва колко силно всяка стойност зависи от предходните остатъци. Величината и знакът на коефицинта пряко кореспондират с величината и знака на коефициента на авторегресия при лаг 1.
Тъй като в действителност представляват корелации, ВСИЧКИ параметри (Phi за авторегресия и Theta за плъзгащи се средни) трябва да отговорят на следните условия:
при p,q = 1 -> -1 < Phi < +1; -1 < Theta < +1
при p,q = 2 -> Phi1 + Phi2 < 1 и Phi2 - Phi1 < 1 (ГРАНИЦИ ЗА СТАЦИОНАРНОСТ НА АВТОРЕГРЕСИОННИТЕ ПАРАМЕТРИ); Theta1 + Theta2 < 1 и Theta2 - Theta1 < 1 (ГРАНИЦИ ЗА ПРЕОБРАТИМОСТ НА ПАРАМЕТРИТЕ НА ПЛЪЗГАЩИ СЕ СРЕДНИ).
(3) Диагностична проверка:
Случаен характер на грешките – анализ на корелограмите, правило на Панкранц, Бокс-Люнг статистики.
Нормално разпределение на грешките – тест на Колмогоров-Смирноф, тест на Шапиро-Уилк, тест на Жарк-Бера; Р-Р диаграма.
Хомоскедастичност на грешките – диаграма с абсциса стандаритизирани изгладени стойности и с ордината стандартизирани грешки.
Идентификацията на един ARIMA модел стартира с отговора на въпроса: “Стационарен ли е изучаваният динамичен ред?”. В най-широк смисъл на думата един динамичен ред е стационарен, когато има константна в хода на времето средна и вариация. От тук могат да се разграничат два типа стационарност:
Стационарност по отношение на средната, която може да бъде постигната чрез разликова (диференчна) трансформация, т.е. чрез изчисляване на последователни разлики от определен порядък.
Стационарност по отношение на вариацията, която може да бъде постигната чрез логаритмуване, коренуване и др.
Отговорът на този въпрос би могъл да се получи посредством две групи инструменти:
Графични, т.е. чрез визуален анализ.
Статистически, т.е. чрез проверка на статистически тестове (например теста на Дикей-Фулер и неговите разновидности).
В настоящото изложение специално внимание ще бъде отделено на двата най-популярни графични инструмента за преценка наличието, респ. неналичието на стабилност – корелограмите (и по-конкретно ACF) и диаграма, на която изследваното явление се представя в хода на времето (Sequence charts).
За да построите диаграмата на автокорелационната функция, изпълнете следната команда:
Analyze Forecasting Autocorrelations…

Изберете меню Options и задайте максималния брой на лаговете, които да бъдат изобразени на корелограмите (по подразбиране максималният брой на лаговете е 16, който е недостатъчен за преценка наличието на сезонност с периодичност 12). В случая се задава 48, т.е. максимум 4 години, от които да се направи преценка за сезонност.
Това меню предлага и една допълнителна настройка, която е особено полезна при преценка изпълнението на изискването за стационарност и наличието на сезонен компонент, а също и при идентифицирането на сезонните компоненти на един ARIMA модел (при установена сезонност). Това е опцията Display autocorrelations at periodic lags, при активирането на която на корелограмите ще се представят единствено периодичните лагове (кои лагове да се изобразят зависи от честотата на изходните данни и от дефинирания им максимален брой; в случая 4 лага – на 12, 24, 36 и 48-ми лаг).

На следващите две фигури са представени диаграмите на автокорелационната функция без и с активирана опция Display autocorrelations at periodic lags.

Непосредствените изводи, които могат да се направят от анализа на ACF корелограмата, са:

До същите изводи може да се достигне и чрез графичното изобразяване динамиката на продажбите като функция на времето. За тази цел следва да се изпълни командата:
Analyze Forecating Sequence charts…

За да се улесни преценката относно стабилността на динамичния ред по отношение на средната, би могло върху графиката да се изобрази средната стойност, която да играе ролята на референт. За тази цел кликнете върху бутон Format… и активирайте опция Reference line at the mean of series.

.

От непосредствената инспекция на графиката може да се заключи, че:

Поради сезонния характер на данните, за да се стабилизира тренда, може да се използва сезонна диференчна трансформация. От фигурата горе вдясно е видно, че за привеждането на данните в стабилен вид е достатъчна сезонна последователна разлика от първи порядък (Yt-Yt-12).

Потвърждение на факта, че сезонната разликова трансформация от първи ред е достатъчна за привеждането на продажбите в стационаред по отношение на средната вид може да бъде направено и чрез анализа на корелограмите.

При ACF плота вече не се наблюдават бавно достигащи нулата коефициенти на автокорелация (при периодичните лагове, поради сезонния характер на данните!).
След установяване необходимостта от стабилизиране и определяне броя на последователните разлики (в случая една) се пристъпка и към определяне броя на авторегресионните параметри и параметрите на плъзгащи се средни. При тяхното идентифициране отново се използват корелограмите. Тъй като се установява сезонната част от Бокс-Дженкинс модела, анализът им се основава на периодичните лагове (в случая 12, 24, 36 и т.н.).

От фигурите е видно, че при ACF плота има пик на първи лаг (12 лаг е първи лаг при идентифицирането на сезонната част от сезонните Бокс-Дженкинс модели). При РACF също се наблюдава пик на първи лаг. Тъй като еднозначно не може да се определи дали се наблюдава процес на плъзгащи се средни, на авторегресия или смесен процес, е препоръчително да се оценят и диагностицират няколко алтернативни ARIMA модела:
авторегресионен процес - ARIMA (0,0,0)(1,1,0)12;
процес на плъзгащи се средни - ARIMA (0,0,0)(0,1,1)12;
смесен процес - ARIMA (0,0,0)(1,1,1)12.
За да оцените параметрите на всеки от ARIMA моделите, изпълнете следната команда:
Analyze Forecating Create models…

В таб Variables следва да се дефинира променливата, обект на моделиране (в случая продажби на мъжко облекло), и методът, въз основа на който ще се реализира моделирането и прогнозирането (от падащия списък с методи се избира ARIMA).

За да зададете параметрите на модела, кликнете върху бутон Criteria... Въведете броя на сезонните параметри за всеки от моделите. Тъй като средното равнище на преобразуваните чрез диференчна трансформация данни е около 880 (т.е. е различно от 0), моделът ще има константа.

Тъй като на етапа на оценяване се правят изводи и за величината на параметрите и тяхната статистическа значимост, в таб Statistics трябва да се активира опция Parameter estimates.

След това м