Проверка на хипотези

Проверка на хипотези
НекасеизучаваслучайнатавеличинаХ(дискретнаили
непрекъсната),разпределениетонакоятоенеизвестно,илиенеизвестен
някойотпараметритенаразпределениетой.
Всякопредположениеотноснозаконанаразпределениеилипара-метритена
разпределениетонаслучайнатавеличинаХсенаричастатистическа
хипотеза.
Статистическитехипотезисеразделятна:
Прости-акоеднозначноопределятразпределениетонавеличинатаХ.
Впротивенслучайхипотезитесенаричатсложни.
НекасH
0еозначенахипотезата,коятотрябвадасепровери(нулевахипотеза).
ЗаедноснеясеразглеждаиеднаоталтернативнитейхипотезиH
1.
АлтернативнатахипотезаH
1определякаквахипотезабитрябвалода
приемем,акоотхвърлимхипотезатаH
0.
Например,акоθенеизвестенпараметърнаразпределениетонавеличинатаХ,
тоалтернативнахипотезанаH
0:{θ=θ
0}можедаееднаотхипотезите:
1.Статистическихипотези.Нулеваиалтернативнахипотеза.
Грешкаотпървиигрешкаотвторирод.Статистическикритерий.

H
1
(1)
:{θ≠θ
0}; H
1
(2)
:{θ>θ
0}; H
1
(3)
:{θ<θ
0}.
Ще разглеждаме само прости нулеви хипотези.
Грешките,коитоможеданаправимса:
•даотхвърлимправилнахипотезаH
0-грешкаотпървирод.
Вероятносттадаседопуснегрешкаотпървиродсенаричанивона
значимост(нагрешката)исеозначавасα;
•даприемемнеправилнахипотезаH
0-грешкаотвторирод.
Вероятносттадаседопуснегрешкаотвториродсеозначавасβ.
Тест за приемане или отхвърляне на нулевата хипотеза:
НекасаопределенихипотезитеH
0иH
1инивотоназначимостα
катозапроверканахипотезатаH
0евзетаизвадка(X
1,…,X
n)собемn.

1.ИзбирасеподходящастатистикаК=K(X
1,…,X
n),коятодаима
предварителноизвестноразпределение,т.е.разпределение,коетоне
зависиотнаблюдаванитестойностинапризнакаХ.Тогаваизчисленатапо
извадкатастойностнаКееднаотнейнитевъзможнистойности.
ИзчисленатастойностнастатистикатасеозначавасK
реалисенарича
реализирана(наблюдавана)стойностнакритерия.
ПараметритенаразпределениетонаслучайнатавеличинаКсе
наричатстепенинасвободаисеопределятвпредположение,че
хипотезатаH
0евярна.
2.ВзависимостотнивотоназначимостαиалтернативнатахипотезаH
1се
определяобластD,закоятоaкoK
реал∈D,хипотезатаH
0сеотхвърля.
Тазиобластсенаричакритичнаобласт.
AкоотхвърлимхипотезатаH
0трябвадаприемемхипотезатаH
1.

Критичната област може да бъде :
Двустранна –акоD= (−∞, K
кр′)∪(K
кр′′,∞)) .
K
`
kp K``
kp
K`
kp= K
α/2 и K``
kp= K
1-α/2
са квантили от ред α/2 и (1-α/2).

Едностранна –
-ако D= (−∞, K`
кр) –лявостранна;
-ако D= (K``
кр, ∞) -дясностранна.
ТуккритичнитестойностисасъответноквантилитеK
αиK
1−αотредαи
(1−α),алицатаназащрихованитеобластисаравнинаα.
K`
kp K``kp

3.Взима се решение за приемане или отхвърляне на хипотезата:
• Ако K
реал∉D , то нулевата хипотеза H
0се приема.
• Ако K
реал∈D , то нулевата хипотеза H
0се отхвърля.
НекасаопределенихипотезитеH
0иH
1.Имадвевъзможностида
вземемправилнорешение–когатоприемемвярнахипотезаH
0икогато
отхвърлимгрешнахипотезаH
0,aвсичкислучаисададенивтаблицата:
Вероятносттадаотхвърлимгрешнахипотезасенарича
мощностнакритерия.

http://www.intuitor.com/statistics/CurveApplet.html

Вероятноститеαиβзагрешкиотпървиивториродсазависимиеднаот
друга.
-ГрафикинаплътноститенаразпределениетонакритерияK:

Нафигуратанаобщакоординатнасистемасаначертаниобластитенагрешни
решенияприниваназначимостα=0,1иα=0,05.
-снамаляваненавероятносттазагрешкаотпървиродот0,1на0,05
(критичнататочкасеместинадясно),сеувеличававероятносттазагрешкаот
вторирод.

Нафигуратасасъпоставениграфикитенаплътноститенакритерияи
областитенагрешкиотпървиивториродприразличнистойности
наобеманаизвадката.
–лявата–припо-голямобемнаизвадката,
–дясната–припо-малък.
Кактосевижда,принарастваненаобеманаизвадкатаобластите
нагрешкиотпървиивториродсестесняват.

Следователно,
Принамаляваменавероятността αнагрешкаот
първиродсеувеличававероятносттаβзагрешкаот
вториродиобратно.
Приувеличаваненаобеманаизвадкатавероятността
загрешкиотпървиивториреднамалява.

Обобщение:
• За всяка хипотеза H
0е определен критерий K, и подходяща
статистика, чрез която от извадката се пресмята наблюдаваната
стойност K
реална критерия.
• Параметрите на критерия K се наричат степени на свобода и в
повечето случаи зависят от обема на извадката.
• Параметрите на статистиката на критерия се определят в
предположение, че хипотезата H
0е вярна.
• Критичната област (областта на отхвърляне на H
0) зависи от
алтернативната хипотеза H
1и от нивото на значимост α.
• Проверката на хипотезата H
0при конкурираща хипотеза H
1и
ниво на значимост αсе извършва по следния начин:
1) От извадката се пресмята K
реал.
2) В съответствие с H
1, нивото на значимост αи броя на
степените на свобода се определя критичната област D .
3) Взима се решение: ако K
реал∉D -приема се H
0, aкоK
реал ∈D -
отхвърля се H
0.

2. Параметрични тестове -тестове за математическото очакване и
дисперсията на нормално разпределена генерална съвкупност
Параметричнитетестовепроверяватхипотезиотносностойността
напараметърθнаразпределениетонаизследванколичественпризнакХна
генералнатасъвкупност.
А.ПроверканахипотезатаH
0:{=a}заматематическото
очакваненанормалноразпределенавеличинаснивона
значимостα:
• При известна дисперсия σ: Статистиката, която се използва:)1;0(~
/
N
n
ax
Z
реал



Критична област: 
 
 




aHакоZZ
aHакоZZ
aHакоZaZ
реал
реал
реал






:,
:,
:,
1
11
1
2
1

• При неизвестна дисперсия σ: Статистиката, която се използва:)1(~
/


 nt
nS
ax
t
реал
Критична област: 
 
 



aHакоtt
aHакоtt
aHакоtat
реал
реал
реал






:,
:,
:,
1
11
1
2

Б.ПроверканахипотезатаH
0:{σ
2
=b}задисперсиятаσ
2
на
нормалноразпределенавеличинаснивоназначимостα:
•Приизвестнасреднастойностμ.Статистиката,коятосе
използва:)(~
2
2
2
n
b
nS
n
реал

Критична област: 
 
  
  .:,
:,
:
,;
2
1
22
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
22
2
2
bHакоn
bHакоn
bHако
nn
реал
реал
реалреал












  
i
in xx
n
S
21

•Принеизвестнасреднастойностμ.Статистиката,коятосе
използва:)1(~
2
2
12


n
b
nS
n
реал
  



i
in xx
n
S
2
1
1
1  
 
  
  .:,1
:,1
:
,1;1
2
1
22
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
22
2
2
bHакоn
bHакоn
bHако
nn
реал
реал
реалреал













Критична област:

3. Непараметрични тестове -χ
2
-критерий на Пирсън за вида на
разпределението.
Към непараметричните хипотези спадат хипотезите относно вида
на разпределението.
ПроверкатазаверносттанахипотезатаH
0сеизвършванабазата
наизвадкасобемп:
-отизвадкатасенамиратоценкинанеобходимитепараметрина
разпределението;броятнаопределенитепараметриеl;
-сравняване на резултатите от наблюденията с теоретичните
резултати, изчислени съгласно издигнатата хипотеза;
-използва се статистиката:



k
i
E
i
E
i
O
i
реал
f
ff
1
2
2 )(

–наблюдавани честоти;
–теоретични честоти.O
i
f E
i
f

-изчисляватсестепенитенасвобода=k−l−1,където:
•keброятнагрупитевизвадката;
•leброятнапараметритенаразпределението,оценкитенакоито
саопределениотизвадката;
-оттаблицатасевзима:

2
1
2


кр
, където

2
1 е квантилътот ред (1-α) на
χ
2
–разпределението с -
степени на свобода.
-Взима се решение:.,
;,
0
22
0
22
отхвърлясеHхипотезататоАко
приемасеHхипотезататоАко
крреал
крреал



