Въведение в статистическия извод: Проверка на хипотези

8 ВЪВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКИЯ ИЗВОД:
ПРОВЕРКА НА ХИПОТЕЗИ

В Глава 7 беше описан процесът на статистическия извод и въведено понятие за извадка, извадков метод, вероятност и извадково разпределение. В тази глава разглеждането на тези понятия ще бъде разширено и разгледано в светлината на проверката на хипотези и интервалното оценяване. Описва се връзката между проверката на хипотези и оценяването на доверителните интервали.

Проверка на хипотези
Понятието хипотеза беше определено като предположение относно един или повече популационни параметри. Хипотезата обикновено задава базовата рамка на изследователската цел. Обикновено се прави заключение не относно верността или неверността на хипотезата, а доколко правдоподобна е тя. Общоприетата практика предполага да се провери нулевата хипотеза срещу алтарнативната хипотеза.

Например, в предходната глава беше проверявана нулевата хипотеза
H 0 : µ = 45
срещу

алтернативата
H a : µ < 45 . Формалните разсъждения ни доведоха до извода, че

нулевата хипотеза не е в съгласие с наблюдаваните данни и затова хипотезата

H 0 : µ = 45 беше отхвърлена в полза на алтернативата
H a : µ < 45 .

Ключови термини Нулева хипотеза Ниво на значимост Алтернативна хипотеза Област на отхвърляне Едноизвадкова хипотеза Критични стойности Двуизвадкова хипотеза Тестова статистика

Ненасочена алтернативна хипотеза
Едностранен и двустранен тест

Насочена алтернативна хипотеза Ниво на доверие Извадково разпределение Доверителен интервал Грешка от първи тип Доверителен коефициент Грешка от втори тип Мощност на теста

Логиката на тази процедура за проверка на хипотези произтича от основните научни принципи и се възприема като алтернатива на другите подходи. Стратегията е подобна на метода на непрякото доказателство, който се използва в математиката. При прякото доказателство, предположението се елиминира, когато се установи, че то влиза в противоречие с вече известни и доказани факти. При проверката на хипотези такива факти липсват. Хипотезата се отхвърля, ако едно събитие (наблюдаваната извадкова статистика) се определи като твърде малко вероятно, ако хипотезата е вярна. Такъв е

случаят при отхвърлянето на хипотезата
H0 : µ = 45
по-рано. Наблюдаваната извадкова

средна,
x = 36.9 , не е в съгласие с издигната хипотеза, защото вероятността тя да

съответсва на действителността е твърде ниска, т.е. налице е пренебрежимо малка вероятност извадковата средна да е 36.9, когато популационната (истинската) средна е

45.0. Следователно, нулевата хипотеза се отхвърля като постулираща неправдоподобна стойност за популационната средна.

Най-общо, след като се формулира нулевата хипотеза и съответната алтернатива, се събират данни (извадка), които да ни позволят да отхвърлим нулевата хипотеза в полза на алтернативната. В действителност, обикновено

Формулирането на алтернативната хипотеза е критичен момент при проверката на хипотези. Алтернативната хипотеза, желания от изследователя резултат, може да бъде прието само, ако нулевата хипотеза е отхвърлена като несъответстваща на наблюдаваната по извадката ситуация.

алтернативната хипотеза съдържа под една или друга форма фактите, към които се стреми изследователят и затова се явява желаният резултат. От тази гледна точка, формулирането на алтернативната хипотеза е критичен момент при проверката на хипотези.

Хипотези: Едноизвадков и двуизвадков случай
В примера с дължината на артефактите при формулирането на хипотезата беше
използвана само една стойност - параметъра µ. Хипотезите, които се отнасят да стойността на един отделен параметър се проверяват като се сравнява хипотезираната стойност със стойността на извадковата статистика. Разбира се, хипотезата може да бъде формулирана така, че да задава повече от един параметър. Да предположим, че ни интересува връзката между средната дължина на артефактите и фазата. Може да бъде хипотезирано, че артефактите от фаза ІХ имат по-малка дължина от тези от фаза Х. Нулевата хипотеза ще гласи, че няма разлика между средната дължина на артефактите от двете фази. Алтернативата трябва да постулира наличието на такава разлика. Формално:
H 0 : µ1 = µ 2
H : µ1 < µ 2
a 1
H : µ1 > µ 2 ,
a 2
където: µ1 = популационната средна за фаза ІХ
µ2 = популационната средна фаза Х.
За да проверим нулевата хопотеза трябва да извлечем две извадки – една за
артефактите, датирани с фаза ІХ и една – за тези датирани с фаза Х. След това трябва да определим разликата между средните и да я сравним с хипотезираната разлика, която е нула.
Могат да бъдат формулирани и хипотези, които предполагат да се изследва разликата и между повече от две групи. Такива хипотези ще бъдат разгледани по- нататък.

Ненасочена (двустранна) алтернативна хипотеза
Алтернативните хипотези могат да бъдат определени като ненасочени и насочени. Да предположим, че се интересуваме от средната стойност на коефициента за интелигентност (IQ) за една голяма популация. Нека е извлечена извадка от тази
популация и хипотезата да е µ = 100. Алтернативната хипотеза може бъде формулирана като комбинация от двете възможности: µ < 100 и µ > 100. Формално:
H 0 : µ = 100
H a : µ ≠ 100

горе:
Аналогично може да се фолмулира и алтернативната хипотеза за примера по-

H 0 : µ 1 = µ 2
H a : µ 1 ≠ µ 2
И в двата случая не е зададена посока на алтернативната хипотеза. С други

думи, не се интересуваме дали IQ е по-голям или по-малък от 100 точки, а само че е различен от 100. По същия начин е поставен въпросът и в примера със средната дължина на артефактите. Този тип алтернативни хипотези се наричат ненасочени или двустранни алтернативи.

Насочена (едностранна) алтернативна хипотеза
Понякога разполагаме с допълнителна информация относно изучаваното явление. В тези ситуации насочените (едностранни) алтернативи могат да се окажат по- подходящи. В примера с IQ изследователят може да разполага с опит в такъв вид
тестове и да счита, че е разумно да покаже, че µ < 100. За да се формализира

процедурата той формулира нулева хопотеза алтернативата, че µ < 100. Формално:
H 0 : µ = 100
H a : µ < 100
H 0 : µ = 100
и я проверява срещу

В примера за средната дължина изследователят може да поиска да покаже, че артефактите от фаза Х показват по-голяма дължина от тези от фазаІХ. Следователно, нулевата хипотеза, която постулира, че средната дължина на артефактите от двете фази не се различава, трябва да бъде проверена срещу насочена алтернатива, че средната дължина за фаза ІХ е различна от средната дължина за фаза Х. Символично записано ще имаме:
H 0 : µ1 = µ 2
H a : µ1 ≠ µ 2
И в двата примера, дори алтерантиваната хипотеза да е формулирана по-рано, тя се поставя след нулевата хипотеза във формалното описание. Смисълът е, че за да се покаже правдоподобността на алтернативата, нулевата хипотеза трябва да бъде отхвърлена. Тъй като изследователят се интересува да покаже, че насочената алтернатива е правдоподобна, то

средният IQ за извадката трябва да е по-малък от 100 в първия пример и средната дължина на артефактите от фаза ІХ трябва да е по-малка от средната дължина на артефактите от фаза Х във втория пример. Ако се наблюдава обратното, т.е. средният IQ на извадката е по-голям от 100 или
Алтернативната хипотеза може да бъде
насочена (едностранна) или ненасочена (двустранна). Насочената алтернатива постулира, че параметърът е по-голям или по- малък от хипотезираната чрез нулевата хипотеза стойност. Ненасочената алтернативна хипотеза постулира само, че популационният параметър е различен (неравен) на постулирания чрез нулевата хипотеза.

средната дължина за фаза ІХ е по-голяма от тази за фаза, то нулевата хипотеза не може да бъде отхвърлена. С други думи, няма да имаме подкрепа за насочената алтернативна хипотеза. Когато изследователят разполага с предварителна информация за изучаваните променливи и се интересува единствено от насочената алтернатива, то тогава проверката на нулевата хипотеза срещу такава алтерантива има смисъл. Както ще бъде показано по-нататък, тестът за нулева хипотеза срещу насочена алтернатива е

по-мощен от аналогичния тест срещу ненасочена (двустранна) алтернатива, тъй като нулевата хипотеза се отхвърля по-лесно, когато разликата между хипотезираната стойност на параметъра и стойността на извадковата статистика е с подходящо определена насоченост.

Грешки при проверката на хипотези и интервалното оценяване
При статистическия извод, независимо дали се проверяват хипотези или се
оценяват параметри, изследователят взема решение (например, дали да отхвърли дадена хипотеза) относно един или повече параметри. При вземането на решение съществува неопределеност, която се дължи на невъзможността да се наблюдават всички елементи на популацията. Решението относно параметрите се основава на съответната извадкова статистика, която съдържа не само стойността на параметъра, но и извадковите флуктуации. Каквото и решение да бъде взето, съществува вероятност за грешка. Независимо, че вероятността да бъде извлечена особена (изместена) извадка е твърде малка при правилното използване на метода на случайните извадки, все пак тази вероятност не е нула и винаги съществува възможност за настъпването на това рядко събитие (да бъде извлечена изместена извадка).
При проверката на хипотези пред изследователя има възможности, свързани с нулевата хипотеза: а) да отхвърли хипотезата или б) да приеме хипотезата1. В зависимост от решението на изследователя възможно да бъде дапусната една от двата типа грешки: а) да се отхвърли нулевата хипотеза, когато тя в действителност е вярна и б) да не се отхвърли нулевата хипотеза, когато тя в действителност е невярна.

Грешки от І-ви тип и грешки от ІІ-ри тип
В Таблица 1 са показани възможните комбинации между приетото въз основа на извадковата информация решение и действителното състояние на нещата.

Таблица 1. Възможни изходи при проверката на хипотези

Действително състояние в популацията

Решение

Нулевата хипотеза
се отхвърля Нулевата хипотеза
Грешка от І-ви типВярно решениеВярно решениеГрешка от ІІ-ри типне се отхвърля
Нулевата хипотеза е вярна
Нулевата хипотеза не е вярна

Както се вижда от таблицата, хипотезата може да бъде в действителност или вярна или невярна за дадена популация. Също е видно, че са възможни две решения: а) изследователят може да отхвърли хипотезата или б) да не я отхвърли на базата на

1 Изразът “хипотезата се приема” се използва по-често от израза “хипотезата не се отхвърля” макар, че в много ситуации те са синоними. Въпреки това, често неотхвърлянето на хипотезата на базата на отделна извадка може да се разглежда като недостатъчно за приемането на хипотезата (като съответстваща на реалността).

наблюденията в извадката. Ако хипотезата е вярна и изследователят не я отхвърли, решението съответства на действителността. Ако хипотезата не е вярна и изследователят я отхвърли отново имаме съответствие между решението и действителното състояние. От друга страна, ако изследователят приеме невярна хипотеза или пък не приеме вярна хипотеза, решението, което се взема е грешно. Допуска се грешка от І-ви тип, ако се отхвърли вярна нулева хипотеза и грешка от ІІ-ри тип, ако се приеме невярна нулева хипотеза.
Възниква въпросът коя от двете възможни грешки да считаме за по-сериозна? Не съществува еднозначен и безусловен отговор. Тежестта на грешката е в зависимост от контекста на решаваната задача. За съжаление двата типа грешки имат сложна взаимовръзка и не е възможно техния размер да бъде минимизирани едновременно, затова на практика винаги се търси някакъв компромис. На този въпрос специално ще се спрем по-нататък.
Сега ще разгледаме един пример. Опитът в преподаването на статистика на студентите по археология говори, че успеваемостта в тази област е ниска. Поставя се въпросът, дали активното използане на готови статистически програми би повишило постиженията в тази дисциплина. Решено е да се проведе подходящ експеримент. Първата стъпка е да се подберат две групи студенти, представителни за популацията. Едната група ще бъде обучавана по методите, използвани досега (контролна извадка), а другата (експериментал