Избрани непараметрични тестове за проверка на хипотези

13 ИЗБРАНИ НЕПАРАМЕТРИЧНИ ТЕСТОВЕ ЗА ПРОВЕРКА НА ХИПОТЕЗИ

В предишните глави обсъдихме използването на нормалното разпределение, t- разпределението на Стюдънт и F-разпределението на Фишер за проверката на различни хипотези относно популационните параметри. При всеки от тези тестове бяха направени определени допускания относно параметрите на популацията, от която е извлечена извадката, а именно, предположенията за нормалност и хомогенност на дисперсията на съответните популации. Тези тестове обикновено се наричат параматрични тестове. При тези тестове за проверка на хипотези едно допълнително предположение е твърде важно: скалата, по която се измерва зависимата променлива трябва да е най-малко интервална. Това предположение е необходимо, за да се изчислят средните и дисперсиите, участващи в различни формули за тестовата статистика. Ако измерителната скала е по-ниска от интервалната (рангова или номинална) изчисляването на средните и дисперсиите и използването на тестовите статистики е неподходящо. Очевидно, възниква въпросът какво да се прави, ако данните се измерват в неметрична скала или ако параметричните предположения са некоректни. Тази ситуациия е често срещана в археологията. Подходящите методи, които са разработени от статитиката в този случаи се наричат непараметрични1 методи за проверка на хипотези. Тези тестове

предполагат по-слаби изходни предположения. По-специално, те
не изискват нормалност и/или хомогенност на дисперсията, а също така данните могат да са измерени и по неметрична скала. В тази глава ще опишем само една незначителна част от съществуващите непараметрични тестове. Водещо е желанието да се
Непараметричните тестове се използват, когато данните се измерват по неметрична скала (рангова или номинална) или когато са нарушени някои от изискванията на параметричните тестове. Най-общо, предположенията относно популационното разпределение са по-слаби от тези при параметричните. Независимо от това, логическата верига на статистическия извод остава непроменена.

опишат непараметрични тестове, които се явават аналог на вече разгледани параметрични. Първо ще разгледаме методи, които са подходящи за номинални данни, а след това и такива, които са подходящи за рангови данни. Специфичните тестове са обобщени в Таблица 1.

Ключови термини Параметрични тестове Тест на МакНемар за промяна
Непараметрични тестове Медианен тест Наблюдавана честота U-тест на Ман-Уитни Очаквана честота Тест за независимост Хи-квадрат разпределение Съвпадащи рангове

Еднофакторен дисперсионен анализ на Крускал-Уолис Коефициент на контингенция
Знаково-рангов тест на Уилкоксон за свързани извадки

1 Понякога тези методи се наричат тестове, свободни от разпределение.

Таблица 1. Непарамeтрични тестове и техните параметрични съответствия

Хи-квадрат разпределение
Преди да започнем обсъждането на различните непараметрични тестове,

необходимо е да си припомним някои основни моменти от определението на
 2 (хи-

квадрат) разпределението. Това разпределение вече беше въведено в глава 7,
Допълнение Б3.1 и беше използвано в глава 9 при проверката на хипотезата

0Н :  2  a . Най-честата употреба на
 2 -разпределението е във връзка с анализа на

данни, измерени по номиналната скала. При този анализ наблюдаваните честоти на появата на дадено събитие се сравняват с теоретичните (очакваните) честоти. Наблюдавани честоти са тези, които се получават по емпиричен път чрез директно наблюдение. Теоретичните или очакваните честоти се получават в резултат на определена хипотеза. Например, при 200 хвърляния на една монета нашите очаквания са за появата на 100 пъти ези и 100 пъти тура. Но какво става, ако в един действителен експеримент наблюдаваме 90 пъти ези и 110 пъти тура? Трябва ли да отхвърлим хипотезата, че монетата не е правилна, т.е. да приемем, например, че е с изместен център на тежестта? Или трябва да обясним тази разлика между наблюдаваните и очакваните честоти със случайните флуктуации? Да разгледаме друг пример, който следва същата логическа последователност. Искаме да проверим хипотезата, че едно зарче е правилно, т.е. неговия център на тежестта e неизместен. За тази цел хвърляме това зарче, да кажем, 300 пъти и наблюдаваме какво число (от 1 до 6) се пада на горната стена. Тъй като предположихме, че зарчето е правилно, нашите очаквания са, че всяко едно от шестте възможни числа (стени) ще се наблюдава с еднаква честота с другите, т.е. всяка от стените, номерирани от 1 до 6, ще се появи точно 50 пъти. Да предположим, че в действителност сме получили следните честоти:

Отново възниква въпросът какво ще бъде заключението. Дали наблюдаваните разлики се дължат на случайните флуктуации или зарчето е изместено?
Да разгледаме трети пример. Ректорът на един голям университет иска да създаде ново консултиращо звено, което да обслужва обществени и частни фирми.

Ректорът предполага, че 90% от преподавателите и изследователите ще подкрепят новата идея. Извлечана е случайна извадка от 200 души и е установено, че 168 подкрепят идеята, а 32 са против нея. Тъй като ректорът е очаквал съответните честоти да са 180 и 20, то трябва ли идеята да бъде отхвърлена или разликите между наблюдаваните и очакваните честоти могат да бъдат обяснени със случайните флуктуации?
Във всеки от тези примери тестовата статистика за проверката на съответната

хипотеза е
 2 , което означава, че се изчислява една хи-квадрат стойност. Тази
 2 -

стойност се използва, за да се сравнят наблюдаваните и очакваните честоти и се определя по следния начин:

(1)
k (O − E ) 2
∑i 2  i ,

i 1 E i

където: Оi
Е i
= наблюдавана честота за i-тата категория на променливата;
= очаквана честота за i-тата категория на променливата;

k = брой на категориите, групите или възможните изходи.

Теоретичното извадково разпределение на
 2 може да бъде генерирано, но това

не е необходимо. Подобно на t-разпределението,
 2 -разпределението е фамилия от

разпределения, всяко от които е функция на степените на свобода, свързани с извадковите данни. Подобно на t-разпределението, за еднозначното определяне на

специфично
 2 -разпределение е достатъчно да са зададени единствено степените на

свобода. Да разгледаме резултатите от примера с хвърлянето на една монета.

Изчисляването на  2
е показано в Таблица 2. Трябва да се отбележи, че честотите в

двете категории не са независими, тъй като сумата на ези и тура трябва да е равна на общия брой хвърляния. Нека общия брой хвърляния на манетата е 200, броя на тура е
108. Тогава 200-108 = 92 е броят на езитата, т.е. ако е зададена едната честота, другата се определя като от общия брой извадим дадената. С други думи, в този пример само едната честота може свободно да варира и, следователно, ще е налице само една степен

на свобода, свързана със стойността на
 2 .

Таблица 2. Изчисляване на
 2 за примера с многократно хвърляне на монета

Общо 200 200 0
 2 = 1.28

Да разгледаме примера с хвърлянето на едно зарче. Съответните изчисления на
 2 -стойността са дадени в Таблица 3. В този пример ще имаме 5 степени на свобода,

свързани с изчисляването на
 2 . Ако пет от шесте възможни честоти са известни, то

шестата се определя еднозначно, тъй като общата честота трябва да е равна на 300.
За разлика от t-разпределението, което е симетрично, теоретичните

 2 -

разпределения, свързани с малък брой степени на свобода, са положително асиметрични (с дълга опашка в дясно). С нарастването на броя на степените на свобода

съответното
 2 -разпределение се стреми към симетричност. На Фигура 1 са показани

 2 -разпределения с 2, 4, 6 и 15 степени на свобода. Ще обърнем внимание на факта, че

всички стойности на  2
са очевидно неотрицателни и варират от 0 до  ∞ .

Таблица .3. Изчисляване на
 2 за примера с многократно хвърляне на зарче

Брой точки

Oi E i

2Oi − E i

2(Oi − E i )
(Oi
− E i )
E

i

Фигура 1.
 2 -разпределения с 2, 4, 6 и 15 степени на свобода

Използването на
 2 -разпределенията при проверката на хипотези е аналогично

на използването на t-разпределението или на F-разпределението. При хвърлянето на монетата нулевата хипотеза е, че честотата на появата на езитата е равна на честотата на пояната на турата (100 пъти при 200 хвърляния). В общия случай не е задължително очакваните честоти на всички категории да са равни както, да речем, е в примера с организирането на ново консултиращо звено към университета по-горе.

За да се провери хипотезата, най-напред се изчислява
 2 -стойността и след това

тази стойност се сравнява с критичната стойност на  2
(при избраното ниво на

значимост) за подходящото извадково разпределение, определено от степените на

свобода. Ако изчислената стойност на  2
надхвърля критичната стойност, то нулевата

хипотеза се отхвърля и се прави заключение, че разликата между наблюдаваните и очакваните честоти е твърде голяма за да се обясни чрез извадковите флуктуации.

Критични стойности на хи-квадрат разпределението

Критичните стойности на  2
за степени на свобода от 1 до 60 са дадени в Таблица В3.

Показани са четиринадесет различни персентилни точки за всяко едно разпределение, независимо, че най-често използвани са двете нива на значимост: 0.05 и 0.01. За примера с хвърлянето на монета имаме 1 ст.на свобода и съответните критични точки

за   0.05
и 0.01 са 3.84 и 6.63, съответно. За примера с хвърлянето на зарчето

степените на свобода са 5 и при същите нива на значимост критичните стойност са
11.07 и 15.09. Таблица В3 съдържа критичните стойности за степени на свобода от 1 до
60. Това обикновено е достатъчно за повечето приложения на това разпределение, но понякога възникват задачи, в които са налице по-голям брой степени на свобода. За тези ситуации следващия израз има извадково разпределение, което е приблизително стандартно нормално:

(2)
2 2 −
2 К − 1
( К = степените на свобода)

Съответните критични стойности за тази статиситка при нива на значимост 0.05 и 0.01
са 1.96 и 2.58, съответно.
Сега вече можем да завършим примерите. Ще използваме ниво на значимост

0.05. В примера с монетата изчислената стойност на
 2 е 1.28, което е по-малко от

критичната стойност от 3.84. Следователно, нулевата хипотеза не може да бъде отхвърлена и заключението е, че монетата е правилна. Отклонението на наблюдавания брой на появата на ези и тура от

очаквания брой 100 се дължи на случайните флуктуации. Подобен извод може да се направи и в случая със зарчето,
 2 -разпределенията обхващат цяла фамилия от
2разпределения, всяко от които се определя от съответния брой степени на свобода. Разпределенията в общия случай не са

тъй като изчислената
 2 -
симетрични. За степени на свобода над 30
извадковото разпределение на статистиката,

стойност от 10.28 е по-малка от
критичната, която е 11.07.
зададено чрез формула (2) е приблизително стандартно нормално разпределение.

Сега ще изчислим
 2 -

стойността за примера с консултиращото университетско звено. Имаме само две категории (за и против). Очакваните честоти са 180 за и 20 – против откриването на

такова звено.
 2 -стойността ще бъде:

2 2  (168 − 180)
180
 (32 − 20)
20

 8.00

Тази стойност е свързана с една степен на свобода и надхвърля критичната стойност от
3.84. Следователно, хипотезата, че 90% от служителите и преподавателите в университета подкрепят новата идея трябва да бъде отхвърлена при ниво на значимост
0.05.

Номинални данни – една извадка
Едноизвадковият случай за номинални данни беше илюстриран по-горе при

обсъждането на
 2 -разпределението. Едноизвадковият случай много често се нарича

тест на съгласието2. Тази терминология идва от идеята, че тестът показва колко добре

2 Тестът на съгласие може да се използва и при данни, различни от номиналните.

наблюдаваните честоти се съгласуват с очакваните. Съгласуваността е добра, когато наблюдаваните честоти са близки до очакваните в рамките на случайните флуктуации.

Тогава
 2 -стойността е относително малка, т.е е по-малка от критичната
 2 -стойност

за съответния брой степени на свобода.
Да предположим, че един социолог изучава структурата на заетост на жителите на