Връзка между линейни и ъглови кинематични величини

Връзка между линейни и ъглови кинематични величини. Движение по окръжност с
постоянно ускорение – основни закони
Връзка между линейни и ъглови кинематични величини
След като дефинирахме основните кинематични величини при въртеливи движения, можем да
потърсим връзка между тях и дефинираните по-рано линейни величини. Видяхме, че законите за
движение и скоростта при равномерно движение по окръжност имат същия вид, както и при
равномерно праволинейно движение, т.е. ние можем да получим тези закони само чрез замяна на
съответните линейни величини с ъглови. Следователно, при движение по окръжност връзките между
линейните и ъгловите величини са съвсем прости. Затова ще използваме пак движението по окръжност
при получаването им. За допълнително опростяване на математическите изводи, първо ще търсим
връзките между големините на съответните вектори, а след това и между посоките им.
Нека първо да намерим връзката между големините на
преместването dr dr и ъгъла на завъртане d за физически
малкия интервал от време dt при движение на материална точка
по окръжност с радиус R (фиг. 1), като имаме предвид, че
векторът dr е насочен по допирателната и следователно е
перпендикулярен на радиуса R:
(1) tan sin
dr
d d d
R
dr Rd
     
 ,
тъй като за малкия интервал от време dt, d0 а от
математическия анализ знаем, че: 00
sin tan
lim lim 1 sin tan
xx
xx
x x x
xx

    
.
След като намерихме връзката между преместването dr и
ъгъла на завъртане d, можем да използваме определенията за
линейна и ъглова скорост за да намерим връзката между тях:
(2) dr d
vR
dt dt

 , vR .
Както виждаме, връзката отново както в (1) се дава чрез радиуса R на окръжността. Това е
характерно за всички връзки между линейните и ъгловите величини при движение по окръжност. Ще го
видим и при представянето на компонентите на ускорението – тангенциално и нормално – чрез ъглови
величини.
Тъй като при равнопроменливите праволинейни движения пълното ускорение е равно на
тангенциалното, можем да определим големината на тангенциалното ускорение:
(3) t
dv
aa
dt
 .
Големината на t
a е равна на промяната на големината на скоростта.
Като заместим (2) в (3) ще получим връзката между големините на тангенциалното ускорение at и
ъгловото ускорение :
(4) t
t
R
d
Ra
d

 .
За да определим големината на нормалното ускорение ще разгледаме равномерното движение по
окръжност със скорост v на една материална точка (фиг. 2). Както знаем, при равномерно движение
скоростта не се променя по големина – тангенциалното ускорение е нула. Тъй като движението е
криволинейно, нормалното ускорение трябва да е различно от нула. Следователно пълното ускорение a
в този случай е равно на нормалното n
a . Това ни дава възможност да определим големината на
нормалното ускорение an, като определим големината на пълното ускорение a.
O
фиг. 1
O'
d
R dr
d

Comment [И1]: Връзка между
линейна и ъглова скорост
Comment [И2]: Връзка между
тангенциалното и ъгловото ускорение

Големината на пълното ускорение на материалната
точка при това равномерно движение по окръжност
(фиг. 2) можем да определим като намерим
компонентите му по осите X и Y и използваме
формулата:
(5) 22
xy
a a a .
За да намерим компонентите на ускорението ни
трябват компонентите на скоростта vx и vy, тъй като x
x
y
y
dv
a
dt
dv
a
dt


.
Големините на проекциите x
v и y
v са съответно sin
cos
x
y
vv
vv


.
Ъгълът  е ъгловата координата на точката (ъгълът,
на който се е завъртяла за определено време t) и
следователно зависи от времето t. Големината на скоростта v обаче, не зависи от времето (движението е
равномерно). Тогава:
(6) cos cos
sin sin
x
y
d
a v v
dt
d
a v v
dt

    

       ,
тъй като производната на ъгъла  по времето е големината на ъгловата скорост . Като заместим
получените стойности за ax и ay от (6) в (5) окончателно получаваме:
(7) 2 2 2 2 2 2
cos sin
n
av
av
vv
a
     


 .
Тъй като и v и  са константи, то и нормалното ускорение при равномерно движение по окръжност е
постоянно. Формула (7) е валидна не само за равномерно движение по окръжност, а за произволно
криволинейно движение, но тогава v и  няма да са константи – те може да се променят с времето. В
такъв случай и нормалното ускорение няма да е постоянно, а ще зависи от времето – an=f(t).
Като използваме (2), можем да получим големината на нормалното ускорение an във вид, подобен на
(1), (2) и (4) (чрез радиуса на окръжността):
(8) 2
2
n
v
a v R
R
    .
За да определим връзките между посоките на векторите на линейните и ъгловите величини, трябва
да си припомним определението за векторно произведение на два вектора a и b . Това е вектор c a b ,
перпендикулярен и на двата вектора a и b , а големината му е: sin
sin
c a b
c ab


,
където  е ъгълът, който сключват двата вектора a и b . Важно свойство на векторното произведение е,
че ако разменим местата на векторите a и b или сменим посоката на единия от тях, то променя
посоката си на противоположната: 
a b b a
a b a b
   
    
,
т.е. то има свойства на аксиален вектор и затова е подходящо за описание на ъгловите величини, които
също са аксиални вектори.
X
фиг. 2
Y v y
v x
v



Comment [И3]: Различни изрази за
нормалното ускорение

Трябва още да въведем и един вектор свързан с радиуса на окръжността – R . Големината му е равна
на радиуса R, а посоката му е от оста на въртене към материалната точка, която се върти. Тогава, като се
има предвид, че dR (фиг. 1), (1) може да се представи като: sin
2
dr Rd
dr d R


 
.
Тъй като ъгловата скорост  е насочена по посока на d (по оста на въртене, перпендикулярно на
равнината на въртене), а линейната скорост v – по посока на dr (перпендикулярно на R и  ), ъгълът
между векторите R и  също е /2 и можем да представим (2) като: sin
2
vR


;
(9) vR  .
Аналогична връзка се получава за тангенциалното ускорение t
a (,,
tt
a R a R     ) от (4): sin
2
t
t
a
aR
R
 


.
За нормалното ускорение n
a връзката е малко по-сложна – чрез двойно векторно произведение, но
като се има предвид, че v , се получава лесно от (8) и (9): sin
2
n
n
av
a v R     





.
Движение по окръжност с постоянно ускорение – основни закони
Видяхме, че законите за движение и скоростта при равномерно движение по окръжност са
аналогични на тези за равномерно праволинейно движение (след замяна на линейните величини с
ъглови). По същия начин могат да се получат и законите за движение и скоростта за равнопроменливи
движения по окръжност. Те могат да се получат от графиките на законите (фиг. 3, 4 и 5 от 3 въпрос и
разсъжденията към тях, като се заменят x, x, v, a). Законите могат да се получат и
аналитично, чрез интегриране на определенията за ъглова скорост и ъглово ускорение: 0
0
00
0
, , , ,
t
td
d dt d dt t t
dt





              
; 0
t 
(закон за скоростта) и  
0
0
00
0 0 0 0
22
0 0 00 0
, , ;
11
,;
22
t t t t
tt
d
d dt d dt t dt dt tdt
dt
t t t t





             
           
    
2
00
1
2
tt      
(закон за движение).
Comment [И4]: Векторна връзка
между линейна и ъглова скорост
Comment [И5]: Закон за скоростта
(ъгловата скорост) при равнопроменливо
движение по окръжност
Comment [И6]: Закон за движение
при равнопроменливо движение по
окръжност