Адиабатни процеси

Адиабатни процеси. Уравнение на Поасон. Работа при изопроцеси
Адиабатни процеси. Уравнение на Поасон
Ще разгледаме още един вид процеси с голямо приложение в техниката – адиабатните процеси. Тези
процеси протичат при отсъствие на топлообмен между термодинамичната система и околната среда, т.е.
dQ=0. Адиабатните процеси също са изопроцеси – при тях не се променя една величина, с която ще се
запознаем по-късно – ентропията на системата. Ако запишем първият принцип на термодинамиката за
адиабатен процес:
(1) 0dQ dU dA   ,
виждаме, че при адиабатните процеси всяко изменение на вътрешната енергия е свързано с извършване
на работа от разглежданата система. Ако системата, в която протича процесът, извършва работа,
вътрешната ѝ енергия намалява. Когато върху системата се извършва работа, вътрешната ѝ енергия се
увеличава. За да бъде един процес адиабатен, той трябва да протича толкова бързо, че да не може да се
осъществи топлообмен с околната среда. Строго адиабатни процеси в природата няма. Примери за
адиабатни процеси са разширяването и свиването на горещите газове в цилиндрите на двигателите с
вътрешно горене, разпространението на звуковите вълни във въздуха и др.
За адиабатните процеси, също както за другите изопроцеси, може да се получи проста зависимост
между основните термодинамични параметри, подобна на законите на Бойл – Мариот, Гей-Люсак и
Шарл. Нека да разгледаме адиабатен процес от състояние 1 с параметри P1, V1, T1 до състояние 2 с
параметри P2, V2, T2. Ако заместим в (1) изразите за работата и вътрешната енергия, изведени в 18
въпрос, ще получим:
(2) 0
V
m
C dT PdV
 .
Промяната на вътрешната енергия на 1 mol газ е V
dU C dT , а за произволно количество трябва да
умножим по броя на моловете m/. Можем да изразим налягането P от закона на Клапейрон –
Менделеев и да го заместим в (2): 0
0
V
V
V
m m RT
PV RT P
V
m m dV
C dT RT
V
dT dV
CR
TV
dT R dV
T C V
  





.
Ако интегрираме последното равенство от състояние 1 до състояние 2 ще получим връзка между обема
V и температурата T: 


2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
22
11
11
2 2 2 1
1 1 1 2
1
21
12
11
1 1 2 2
11
ln 1 ln
ln 1 ln ln ln
T V V V V V
PV PP
V V V V VT V V V V V
TV
TV
CC CCdT R dV R dV dV dV dV
T C V C V C V C V V C
TV
T V V V
T V V V
TV
TV
TV T V
 

 
   
                
   
  
   
        
   




     
.
Отношението на специфичните топлинни капацитети на газа при постоянно налягане CP и при
постоянен обем CV (=CP/CV) се нарича константа на Поасон. Последното равенство е записано за две
произволно избрани състояния на системата при адиабатния процес. Следователно произведението 1
TV

остава постоянно през целия процес т.е.:
(3) 1
constTV

 .

Това е търсената връзка между основните параметри на газа т.е. един от записите на уравнението на
адиабатния процес. Тъй като повечето процеси се изобразяват в P–V диаграма, по-удобно е да
записваме уравнението чрез връзка между налягането P и обема V. Такава връзка можем да намерим
лесно, ако изразим температурата от закона на Клапейрон – Менделеев и я заместим в (3): 11
const
m
PV RT T PV
mR
TV PVV PV
mR mR
  

  


  

(4) constPV

 .
Получената зависимост (4) между налягането и обема на газа при адиабатен процес се нарича уравнение
на Поасон за адиабатните процеси. Трябва да се има предвид, че константите в (3) и (4) са различни!
Графиката на адиабатния процес, представена на P–V диаграма е подобна на изотермата, но е по-
стръмна от нея (фиг. 1). Нека една термодинамична система преминава от състояние 1 с параметри P1,
V1, T1 до състояние 2' с параметри P2', V2=nV1, T1 чрез изотермен процес. Ако системата претърпи
адиабатен процес от същото начално състояние 1 до състояние 2 със същия краен обем V2=nV1, както
при изотермния процес, нейните крайни температура T2 и налягане P2 ще бъдат различни. Тъй като
двете криви започват от една и съща точка на диаграмата (имат еднакви начални параметри), можем да
преценим коя е по-стръмна като сравним крайните налягания P2 и P2'. От уравненията на двата процеса
(закона на Бойл – Мариот, 16 въпрос и (4)) получаваме: ''
1 1 2 2 2 1
' 1
2
constPV
PV PV P nV
P
P
n



,
за изотермния процес и: 1 1 2 2 2 1
1
2
constPV
PV PV P n V
P
P
n

   





за адиабатния процес. Тъй като n>1 и >1, '
22
PP . Следователно
адиабатата е по стръмна от изотермата.
Работа при изопроцеси
Ще използваме формулата за работа dA=PdV за да
пресметнем работата, която извършва газът срещу външните
сили в някои от най-важните термодинамични процеси –
изобарен, изохорен и изотермен. Преди всичко ще отбележим
сходния вид на формулите за работа при механичните и
термодинамичните процеси – виждаме, че налягането играе
ролята на силата, а обема – на координатата (Fdx PdV ).
Затова е удобно
графичното представяне
на процесите в т.нар. P–
V диаграма – по
абсцисната ос е обемът V, а по ординатната – налягането P. При
такова графично представяне на процеса (фиг. 2), работата,
извършена от газа, е равна на площта под графиката, също както
в механиката. Ще покажем това първо за най-простият случай, в
който се извършва работа – за изобарния процес (фиг. 3). Ако
газът се разширява при постоянно налягане P от сътояние 1 с обем V1 до състояние 2 с обем V2,
графиката е права линия, успоредна на абсцисната ос, а извършената работа ще бъде: dA PdV

1
2'
2
фиг. 1
V
P
V1
P1
P2
V2
P2'
изотерма
адиабата
фиг. 2
V
P
V1 V2
A=S
фиг. 3
V
P
V1 V2
P
1 2
Comment [I1]: Уравнение на Поасон
– формула
Comment [I2]: Работа при изобарен
процес – P–V диаграма

 
22
2
1
11
21
2
1
VV
V
V
VV
dA PdV P dV PVPVAV      ,
тъй като налягането P=const. Виждаме, че това действително е площта на
правоъгълника, заключен между графиката на процеса и абсцисната ос, между
състоянията 1 и 2.
При изохорния процес (фиг. 4) обемът V не се променя (dV=0), следователно
(4) не се върши работа от газа. Графиката на процеса е права, успоредна на
ординатната ос, т.е. площта под нея е нула и работата: 00dA PdV A 

също е нула. Процесът 1–2 се извършва при повишаване на температурата на газа,
а 1–3 – при нейното понижаване (основно уравнение на молекулно-кинетичната
теория на идеалния газ, PV=NkT, V=const, P~T).
Графиката на изотермния процес от състояние 1 до състояние 2 в P–V диаграма
(фиг. 5) е хипербола (закон на Бойл – Мариот, T=const, PV=const, P~1/V). Работата
A също е площта под графиката, между V1 и V2: 2
1
2
1
1
V
V
dA PdV
A dA PdV
mm
PV RT P RT
V


  


22
2
1
11
2
1
1
l ln n
VV
V
V
VV
m m dV m
RT dV RT
Vm
A RT V
V VV
RT


  

.
За изразяването на налягането като функция на обема сме
използвали закона на Клапейрон – Менделеев и сме изнесли
константите m, , R и T пред интеграла.
За пресмятане на работата при адиабатен процес е по-удобно да се използва първия принцип на
термодинамикака (1). От графиката на фиг. 1 може да се направи и извода, че при адиабатно
разширение (V2>V1) температурата на газа намалява. Това не е неочакван резултат, тъй като газът при
разширяване върши положителна работа и от (1) следва, че вътрешната му енергия (а оттам и
температурата) намалява. Още в началото казахме, че при адиабатните процеси винаги се извършва
работа за сметка на вътрешната енергия на системата. Тази работа, както и при другите изопроцеси, е
равна на защрихованата площ под графиката (адиабатата) на P–V диаграмата (фиг. 1). Можем да
определим работата, която извършва термодинамичната система при адиабатното разширение от
състояние 1 с параметри P1, V1, T1 до състояние 2 с параметри P2, V2, T2, представено на фиг. 1, като
използваме (1) и израза за промяната на вътрешната енергия чрез моларния топлинен капацитет при
постоянен обем CV: V
m
dA dU C dT   

 
22
2
1
11
2
2
1
1
TT
T
V V V T
TT
V
m m m
dA C dT C dT T
m
A C T T C   

   
  
  
.
Виждаме, че за да бъде извършената работа A положителна, трябва T2<T1.
фиг. 4
V
P
V
P1
P2
P3
1
2
3
фиг. 5
V
P
V1
P1
P2
V2
1
2
Comment [I3]: Работа при изобарен
процес – формула
Comment [I4]: Работа при изохорен
процес – P–V диаграма
Comment [I5]: Работа при изохорен
процес – формула
Comment [I6]: Работа при изотермен
процес – P–V диаграма
Comment [I7]: Работа при изотермен
процес – формула
Comment [I8]: Работа при адиабатни
процеси – P–V диаграма
Comment [I9]: Работа при адиабатни
процеси – формула