Баланс на количеството топлина

л
я при вискозно триене тук ще смятаме за пренебрежима. Тогава, про
мя
ната
на количеството топлина, съдъ
р
жащо се в обема V, за единица в
р
ем
е ще бъде равна на топлинния поток, който влиза през неговата повърхност, S:
Тук, t е времето; Q е м
а
сова плътност на количеството топлина, т.е. количество топлина на единица маса от средата; ( е нейната масова плътност; n e текуща единична външна нормала към повърхността S (
Ф
иг. 3.1); q е векторът на плътността на топлинния п
от
ок, т.е. количеството топлина, което п
р
ем
и
нава за единица вре
м
е

през единица
п
лощ.
З
накът в дясн
а
т
а страна на ур. 3.1 е „(”, понеже посоката на влизащия поток топлина е обратна на посоката на в
където при последната стъпка използвахме ур. 3.6. Съгласно втория принцип на термодинамиката, изменекъдето при последната стъпка използвахме ур. 3.6. Съгласно втория принцип на термодинамиката, изменението на количеството топлина е

свързано с диференциала на ентропията: dQ = Tds, където Т е абсол
ют
ната
температура, а s e eнтропията

на единица маса от непрекъсната
т
а
среда. Като разделим последното уравнение на dt, получаваме:
където при последната стъпка използвахм
е
ур. 3.3 при f = s. Комбинирането на ур. 3.7 и 3.8 дава:
За да преобразуваме дясната страна на ур. 3.1, ще използваме теоремата на Гаус-Ост
р
оградски:
Зам
ес
тването на ур. 3.9 и 3.10 в ур. 3.1 да
в
а:

 (3.11
)
Поне
ж
е ур. 3.11 е

и
зпълнено за произволен избор на обема V в непрекъснатата среда, подинтегралната функция трябва
За кондензирани фази (твърди тела и течности) е малка промяната на плътността ( когато се повишава температурата при постоянно налягане. Затова, при кондензирани фази, последният член в ур. 3.15 може да се пренебрегне, откъдето получаваме:
Oт друга страна, от дефиницията на специфична топлое
мн
ост
(на единица маса) при постоянн
о
налягане, ср (specific heat ca
p
ac
ity under constant pressure), имаме:
Умножаваме ур. 3.18 по Т, и като отчетем ур. 3.19 получаваме:

EMBED Equation.3 
 (3.20)
Като разделим ур. 3.20 на dt, получаваме:
Aналогично, като разделим ур. 3.20 на dxi (i = 1, 2, 3),
к
ъдето х1, х2 и х3 са декартовите координати, получа
ва
ме:
)
З
а
местването на ур. 3
.
2
1
и 3.22 в ур.

3.14
д
ава уравнени
е

за определяне на температурата, Т(r,t):
Като разделим EM
MaтериалТемпеартуропроводност ( (Темпеартуропроводност ( (m²/s)Графит, успоредно на слоевете 1.22 × 10−3Чисто сребро (99.9 %) 1.6563 × 10−4МедГГрафит, успоредно на слоевете 1.22 × 10−3Чисто сребро (99.9 %) 1.6563 × 10−4Мед 1.1234 × 10−4
Алуминий 1.22 × 10−3Чисто сребро (99.9 %) 1.6563 × 10−4
еЧ
Чисто сребро (99.9 %) 1.6563 × 10−4Мед 1.1234 × 10−4Алуминий 8.418 × 10−5 1.6563 × 10−4Мед 1.1234 × 10−4Алуминий 8.418 × 10−5ММед 1.1234 1.1234 × 10−4Алуминий 8.418 × 10−5Водни пари (1 atm, 400ААлуминий 8.418 × 10−5Вод
н
и па
8.418 × 10−5Водни пари (1 atm, 400 K) 2.338 × 10−5ВъВВодни пари (1 atm, 400 K) 2.338 × 10−5Въздух (1 atm, 300 K) 2.2160 × 10−5Алуминиев оксид (по 2.338 × 10−5Въздух (1 atm, 300 K) 2.2160 × 10−5АлумиВВъздух (1 atm, 300 K) 2.2160 × 1

−5Алуминиев оксид (поликристален) 1.20 × 10−5 2.2160 × 10−
5
миниев оксид (поликристален)

1.20 × 10−5

× 10−6Пясъчник (ка 1.172 × 10−5Графит, нормално на слоевете
3.
6 × 10−6П

5.2 × 10−7Стъкло за прозорци 3.4 × 10−7Гу
е
в тези две фази ще означаваме, съотве 4.1. Гранични условия за
ур
авне
нието на топлопроводността. Tу
к
ще разгледаме границата между
д
ве
фази (две различни непрекъснати среди), фаза 1 и фаза 2. Разпределенията на температурите в тези две фази ще означаваме, съответно, с Т1
(
r,t) и T2(r,t); виж Фиг. 4.1. От физически съображения, не се очаква температурата да търпи скок върху границата между двете фази, S, ако тя е топлопроницаема. Затова, едно от

граничните условия е за непрекъснатост на температу
ра
та:
.
1)

Пак от
ф
и
з
ически съобра
ж
ения
с
ледва, че ко
л
и
чеството топлина, което излиза от фаза 1 през междуфазовата границата, трябва да е равно на кол
ППак от физически съображения следва, че количеството топлина, което излиза от фаза 1 през междуфазовата границата, трябва да е равно на количеството топлина, което влиза във фаза 2. С други думи, трябва да имаме равенство на топлинните потоци върху границата S:
EMBED Equation.3 
 (4.2)
Където q1 и q2 са плътностите
на
топ
линните потоци в съответните ф
а
зи. От закона на Фурие, ур. 3.1
3
,
имаме
където (1 и (2 са коефициентите на топлопроводност на двете фази. Заместването на ур. 4.3 в ур.

4.2 дава:
Чести пъти се използва означението
което се нарича „производна

по направление на вектора n”. С помощта на това озн
ач
ение, ур. 4.4. добива вида:
u
at
i
on.3 
 (4.
6
)
Уравнение 4.4

(или
4
.6) предствл
я
в
а второ гранично условие за уравнението на топлопроводността, което изразява равенство на топли
където k е болцмановата константа; Т е абсолютната температура; Еа е активиращата енергия; за екзотермична реакция А > 0, докато за ендотермична реакция А < 0. При не много голямо загряване на средата, можем да използваме развитие в ред:
.
11)
където Т0 е външната температура.Например, ако при реакцията
те
мпер
атурата на средата се повишава

с Т ( Т0 = 20 (К и външната тем
п
ер
атура е Т0 = 298 (К (т.е. 25 (С), то относителната грешка в развитието 4.11 е от порядъка на
Като з
а
местим ур. 4.11 в ур. 4.10, получаваме:
Последната формула ще представим във вида
където сме въвели озна
ч
енията:
Ст
ационарна екзотермична ре EMBED Equat
i
on
.
3 
 (4.11)
къде
т
о

Т0 е външната

темпе
р
атура.Наприм
е
р
, ако при реакцията температурата на средата се повишкъдето Т0 е външната температура.Например,
Удобно е да въведем следните безразмерни променливи:
Тогава ур. 4.16 и граничното условие 4.17 добиват вида:
Тогава ур. 4.16 и

граничното условие 4.17 добиват вида:
(з
а ек
зотермична реакция) (4Тогава
у
р. 4.16 и граничното условие 4.
1
7
добиват вида:
Умножаваме ур. 4.19 по
d
(/dz и интегрираме:
Умножаваме ур. 4.19 по d(/dz и ин
т
егрираме:
EM
BED Equation.3 
 (4.22)
къд
е
то

С е интеграци EMBE
D

E
quation.3 


Ум
н
о
жаваме ур. 4.19 по d(/dz и интегрираме:
където сме използвали обстоятелсвото, че Arch(
1
) = 0, виж ур. 4.28. От ур. 4.30 получаваме връзка между материал
ни
я па
раметър ( и безразмерната темп
е
ратура (0 в средата на слоя:

EM
BED Equation.3 
 (4.31)
Зависимостта (((0), кято е показана на Фиг. 4.3, се изчислява в явен вид и от нея се намира стойността
н
а безразмерната температура (0 съответстваща на дадена стойност на материалния параметър (.

На Фиг. 4.3 се вижда, че при ( < (cr ( 0.8785, на всяка стойност на

( съот EMBED Equation.3 
 (4.30)
където
см
е използвали обстоятелсвото, че Arch(1
)
=

0, виж ур. 4.28. От

у
р
. 4.30 получа
в
аме в
р
ъзка между м
а
т
ериалкъдето сме използвали обстоятелсвото, че Arch(1) = 0, виж ур. 4.28. От ур. 4.30 получаваме
Таблица 4.1. Стойности на параметрите (cr и (0,cr за три различни геометрии
Геометрия(cr(0,crПлосък слой с дебелина 2l0.8781.19Цилиндър с диаметър 2l2.001.36Сфера с диаметър 2l3.321.47
Лекция № 5: Топлопроводност в неограничена среда
н
а задачата с помощта на интегралнотоГеометрия(cr(0,crПлосък с
ло
й с
деб(cr(0,crПло(0,crПлосък

слой с дППлосък слой с дебелин
а
2
l0.8781.19Цилиндър с диаметър 2l2.001.36Сфера с диаметър 2l3.321.47
0.8781.19Цилиндър с1.19Цилиндър с дЦЦилиндър с диаметър 2l2.001.36Сфера с диаметър 2l3.321.47
Лекция № 5: Топлопроводн2.001.36Сфера с1.36Сфера с диам
Лекция № 5: Топлопроводност в неограничена сре3.321.47
Лекция1.47
Лекция № 5:

ЛЛекция № 5: Топлопроводност в неограничена среда

на Фурие. Тук ще разгледаме топлопренос в неограничена неподвижна
с
реда
. В началния момент време е за
д
адено разпределението на темпер
а
ту
рата в средата:
където T0(r) e ще считаме за известна функция. Търсим разпределението на те
м
пературата, T (r,t), във всеки следващ момент време като решение на уравнението на топлопроводността,
За да сведем частното диференциалн
о
уравнение 5.2 до обикновено диференциално уравнени
е,
ще използваме интегралното преобразув
а
ни
е
на Фурие (Ландау &

Л
и
фшиц, 1953):
E
D Equation.3


където V( символизира интегриране по цялото тримерно простра
За да сведем частното диференциално уравнение 5.2 до обикновено диференциално уравнение, ще използваме интегралнЗа да сведем частното диференциално уравнение 5.2 до обикновено диференциално уравнение, ще използваме интегралното

преобразувание на Фурие (Ландау & Лифшиц, 1953):
n.
3 
.
3)
където V( символизира интегр
и
ра
не по цялото тримерно пространство;  EMBED Equation.3 
; k e вектор с компоненти kx, ky и kz;  EMBED Equation.3 
 e скаларното пр
о
изведение на векторите k и r. Съответното обратно преобразувание на Фурие има вида:
където dk ( dkxdkydkz. Ще смятаме,

че на безкрайност функцията  EMBED Equation.3 

к
лони достатъчно бързо към нула, така ч
е
д
а
 EMBED Equation.3


е
образ
у
вание) (5.3
)
където V( символизира интегриране по цялото тримерно пространство;  EMBED Equation.3 
; k e
Уравнение 5.15 може да се представи във вида:
където сме въвели иУравнение 5.15 може да се представи във вида:
където сме въвели интеграла:
o
n.3 
 (5.17)
Последният интеграл може да се  EMBED Equ
at
ion.
3 
 (5.16)
където см
е
въвели интеграла:
t
io
n.3 
 (5.17)
Последният интеграл може да се представи катокъдето сме въвели интеграла:
По
с
ледният интеграл може да се представи като п EMBED Equation.3 
 (5.17)
Последният интеграл може да се представи като произведение от три интеграла:
.
3 
 (5.17)
ПосПоследният интеграл може да се пр
ед
стави като произведение от три интегра
л
а:

 (5.17)
Пос
р
едств
о
м субституци
и
т
е ( = (t и ( =  EMBED Equation.3 
, първият интеграл в ур. 5.17 се свежда до известен табли

ККакто се вижда от Фиг. 5.1., амплитудата в средата, при r = 0, спада с времето, а от ур. 5.22 следва, че това става по закона:
При r2 << 4(t, eкспонентата в ур. 5.22 е приблизително равна на 1, и на това с
е
дължи платото в централната част на кривите от Фиг. 5.1.
Подоб
ни
рез
ултати се получават, ако топли
н
ата се разпространява еднопосоч
н
о,
по направление на оста xi , i = 1, 2, 3 (x1 = x; x2 = y; x3 = z). При едномерен топлопренос, вместо ур. 5.22 се получава:
a
tion.3 
 (5.23)
При r2 << 4(t, eкспонентата в ур. 5.22 е приблизително равна на 1, и на това се дължи платото в централната частПри r2 << 4(t, eкспонентата в ур. 5.2
2
е приблизително равна на 1, и на това се дължи пла
то
то в централната част на кривите от Фи
г
.
5
.1.
Подобни рез