числени методи

Пловдивски университет „Паисий Хилендарски“
Факултет по математика и информатика


Дойчин Бояджиев
Снежана Гочева-Илиева
Люба Попова





РЪКОВОДСТВО
ПО
ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ


(II част)




Първо издание








2012

Ръководството по числени методи (II част) е предназначено за студентите от
Факултета по математика и информатика на Пловдивския университет „Паисий
Хилендарски“. То отговаря на учебните планове и може да се използва за
подготовката на студентите от следните специалности за образователна степен
„бакалавър“: „Приложна математика“, „Математика и информатика “,
„Информатика“, „Математика“, както и от специалностите „Физика и математика“,
„Инженерна физика“ и др. от други факултети на ПУ. В него се съдържа кратко
описание на теоретичните основи на методите, решени примери, както и задачи за
самостоятелна работа. Реализацията на методите при решаване на примерите на
компютър е с използване на системата Wolfram Mathematica. Ръководството включва
методи за решаване на нелинейни системи, решаване на начални и гранични задачи
за обикновени диференциални уравнения (ОДУ), диференчни уравнения и
приближени методи за частни диференциални уравнения (ЧДУ) от ІІ ред.
Преподаватели от катедра „Приложна математика и моделиране“ на ФМИ при
ПУ са автори на Ръководството по ЧМ (II част), както следва:
доц. д-р Дойчин Бояджиев реализацията с Wolfram Mathematica;
проф. д-р Снежана Гочева-Илиева II.1, II.2, III;
доц. д-р Люба Попова I., II.2, IV., V.

Рецензенти:
проф. дмн Христо Ил. Семерджиев
проф. д-р Николай В. Кюркчиев























© Дойчин Бояджиев – автор, 2012
© Снежана Гочева-Илиева – автор, 2012
© Люба Попова – автор, 2012
© Издателство „ЕКС-ПРЕС“ – Габрово, 2012

3
СЪДЪРЖАНИЕ

ГЛАВА I. Числени методи за решаване
на нелинейни системи уравнения......................................5

1. Mетод на Нютон......................................................................................5
2. Метод на проста итерация за система нелинейни уравнения.........15
3. Модификация на Зайдел за система нелинейни уравнения............16

ГЛАВА II. Числено интегриране на обикновени
диференциални уравнения................................................28

1. Методи на Ойлер..................................................................................30
1.1. Явен метод на Ойлер.......................................................................30
1.2. Метод на Ойлер за системи
обикновени диференциални уравнения..........................................34
1.3. Модифициран метод на Ойлер........................................................37
1.4. Модифициран метод на Ойлер за системи
обикновени диференциални уравнения..........................................39
1.5. Метод на Ойлер–Коши
(подобрен метод на Ойлер, метод на Хойн)....................................41
2. Методи на Рунге–Кута.........................................................................44
2.1. Методи на Рунге–Кута от втори ред...............................................45
2.2. Методи на Рунге–Кута от четвърти ред..........................................48
2.3. Метод на Рунге–Кута за системи ОДУ...........................................51
2.4. Теорема за глобалната грешка
при едностъпковите явни методи за ОДУ.......................................57
2.5. Едно приложение на едностъпковите явни методи за ОДУ...........58
3. Методи на Адамс...................................................................................60

ГЛАВА III. Диференчни уравнения.....................................................67

1. Определения и свойства на диференчните уравнения....................67
2. Диференчни уравнения – примери.....................................................71

4
ГЛАВА IV. Решаване на гранични задачи
за линейни обикновени диференциални
уравнения (ОДУ) от II ред.................................................81

1. Вариационни (аналитични) методи:
метод на Гальoркин и метод на Риц...................................................82
1.1. Метод на Гальоркин........................................................................83
1.2. Метод на Риц (енергетичен метод).................................................84
2. Мрежови (числени) методи.................................................................92

ГЛАВА V. Приближени методи за решаване на частни
диференциални уравнения от II ред................................98

1. Параболични ЧДУ – уравнение на топлопроводността................101
2. Елиптични ЧДУ – уравнение на Пoасон.........................................114
3. Хиперболични ЧДУ – вълново уравнение.......................................129

ЛИТЕРАТУРА.........................................................................................138

5
ГЛАВА I
ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ
НА НЕЛИНЕЙНИ СИСТЕМИ УРАВНЕНИЯ

Постановка на задачата и идея на методите
Разглеждаме нелинейната система
(1)  
i 1 n
ƒ x ,...,x =0, i=1,n,
i
 – функции на реалните променливи
1 2 n
x ,x ,...,x.
Записана във векторен вид:
(2) F x 0
  

където F – n

-мерен вектор-функция, x – n

-мерен вектор:
   
T T
1 2 n 1 2 n
F , ,..., , x x ,x ,...,x    


.
Идеята на методите е да обобщи за случая на n измерения използваните
итерационни процеси при решаване на едно нелинейно уравнение.

1. Метод на Нютон

Ако е възможно да се изчислят всички частни прои зводни
i
j
, i 1,n, j 1,n
x

 

, може да се използва методът на Нютон.
Нека  
( k )( k ) ( k )
n1
x x ,...,x

е намерено k-то приближение на изолиран
корен x

на векторното уравнение (2) (горният индекс k със скоби или без,
по-нататък ще означава итерация, а не степен).
Като се представи точният корен във вида:
(3)
 k k
x x 
 
,
където

 
k ( k )( k )
n1
,...,  

– грешка, от (3), заместено в (2), получаваме:
(4)  
( k ) ( k )
F x 0  


.

6
Предполага се, че F x


е диференцируема и с непрекъснати частни
производни в изпъкнала област, съдържаща x

и
( k )
x

. Тогава ще разложим (4)
по степените на
k


в ред на Тейлор само до линейния член:
(5)  
( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k )
F x F x F ' x 0    
  
   
.
Приближеното равенство (5) може да се разпише по компонентите на F


и x

като система с матрица F'

:
(6) 
1 1 1
1 2 n
2 2 2
1 2 n
n n n
1 2 n
, ,...,
x x x
, ,...,
x x xF ' x W x
, ,...,
x x x
   
 
  
 
   
 
   
 
 
 
   
 
  
 
 
  
.
Матрицата в (6) е известна като матрица на Якоби.
Системата (5) е линейна относно
( k )


с матрица W x

. Така получаваме
метод на Нютон за нелинейни системи:
(7)  
( k ) ( k ) ( k )
W x F x 
 
,
където
( k ) ( k 1 ) ( k )
x x , k 0,1,...

  
 

Системата (7) има единствено решение, ако  
( k )
det W x 0

.
Може да се докаже, че ако са изпълнени условията:
I. 

е такова решение на F 0

, за което W

е неособена матрица,
II. вторите частни производни
2
i
j i
, i 1,n, j 1,n
x x
 
 
 
са непрекъснати в
околност на 

,
III.
( 0 )
x

(достатъчно близко до търсения корен),
то итерационният процес (7) на Нютон е сходящ и сходимостта е от II ред
(
( k 1 )
2
( k )




при k , е ограничена, като
( k ) ( k 1 ) ( k )
x x

 
 
. Тук  някоя
векторна норма).

7
Проблемите при реализиране на (7) са свързани с избора на началното
приближение
( 0 )
x

и изчисляване на 
( k )
W x

на всяка стъпка.
( k 1 )
x

е
приближено решение с точност
( k )
i
i
max  .

Частен случай
Система от две уравнения:
(8)


x, y 0
g x, y 0
 


С помощта на (7) системата (8) се записва във вида:
(9)
   
 
( k ) ( k ) ( k ) ( k )
( k ) ( k ) ( k ) ( k )
x y
x , y x , y
x , y
x y
 
 
  
 

   
 
( k ) ( k ) ( k ) ( k )
( k ) ( k ) ( k ) ( k )
x y
g x , y g x , y
g x , y
x y
 
 
  
 
, k 0,1,...
     
( k ) ( k 1 ) ( k ) ( k ) ( k 1 ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k )
x y x yx x , y y ,    
 
      .
(10)  
  
  
( k ) ( k ) ( k ) ( k )
( k ) ( k )
( k ) ( k ) ( k ) ( k )
x , y x , y
x y
W x , y
g x , y g x , y
x y
  
 
  
 
  
 
 
  

Решението на (9) може да се изрази чрез (формули на Крамер):
 
y
x
yk k x
x y
x y x y
x y x y
'
'
g g' g' g
,
' ' ' '
g' g' g' g'
 
 
 
 
 
   
,
където в дясната част функциите и производните им се изчисляват в точката

 
k k
x , y, т.е.

 

 
k k k k
f x , y , g g x , y   и т.н.
От това следва:
(11)
( k 1 ) ( k ) ( k )
x
( k 1 ) ( k ) ( k )
y
x x
y y




 
 
.

8
Алгоритъм
I. Началното приближение  
( 0 ) ( 0 )
x , y по някакъв начин се задава от нас
 k 0, както и желаната точност  за конкретната задача.
II. След това се пресмятат
' ' ' '
x y x y
, g, , , g , g   в точката 
( 0 ) ( 0 )
x , y.
III. Решава се системата (9) (при  k 0 и се намират
( 0 )
x
 и
( 0 )
y
.
IV. Чрез равенствата (11) намираме първото приближение  
( 1 ) ( 1 )
x , y към
търсения корен:
( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 )
x y
x x , y y     .
Горната процедура отново се повтаря за k 1,2... и (11), докато
постигнем желаната точност  едновременно при неравенствата:
V.
( k 1 ) ( k )
x x 

  и
( k 1 ) ( k )
y y 

 
VI. За приближено решение (при зададената точност ) се приемат
стойностите
k 1
x

и
k 1
y

.
Изборът на начално приближение

 
0 0
x , y към решението на
системата, което с помощта на метода на Нютон ще се уточнява, можем да
направим:
1) като разрешим едното уравнение спрямо едната променлива и я
заместим в другото. Така свеждаме задачата до едно нелинейно уравнение;
2) като графически представим кривите, определени от уравненията на
(8), и определим (приблизително) пресечните им точки – това са решенията
на системата.

Пример. Да се намери решението на системата
2 2
2 2
x y 1
x y 4
 
 
за x 0, y 0 с
метода на Нютон и точност 0,0001.


2 2
2 2
x, y x y 1
g x, y x y 4
   
  

9


Фиг. 1.

За начално приближение към корена (*) от Фиг. 1, избираме например:
( 0 ) ( 0 ) g g
x 2, y 2, 2x, 2y, 2x, 2y
x y x y
   
      
   


2x 2y
W x, y
2x 2y
 

 
 
. Означаваме
( k ) ( k 1 ) ( k ) ( k ) ( k 1 ) ( k )
x y
x x , y y 
 
    и
на всяка стъпка (k) решаваме линейната система:
  



  



2 2
k k k k k k
x y
2 2
k k k k k k
x y
2x 2y x y 1
2x 2y x y 4, k 0,1,...
 
 
    
     
.
Резултатите записваме в таблицата:

k

k
x
k
y

 
k k
x , y


 
k k
g x , y

k
x



k
y



k
g
x



k
g
y



k
x
k
y
0
1
2
3
1,41421
1,59099
1,58117
1,58113
1,41421
1,23744
1,22481
1,22476
–1
–0,8.10
–7

–0,6.10
–5
0
0,06251
0,00026
2,82843
3,18198
3,16234
–2,82843
–2,47488
–2,44962
2,82843
3,18198
3,16234
2,82843
2,47488
2,44962
0,17678
–0,00982
–0,00004
–0,17678
–0,01263
–0,00005

На I стъпка решаваме системата:

10
 
 
0 0
x y
0 0
x y
2,82843 2,82843 1
2,82843 2,82843 0
 
 
 
 

 0 0
x y
0,17678, 0,17678     

  
  
1 0 0
x
1 0 0
y
x x 1,59099
y y 1,23744


  
  

На II стъпка системата е:
 
 
1 1
x y
1 1
x y
3,18198 2,47488 0
3,18198 2,47488 0,06251
 
 
 
  

 1 1
x y
0,00982, 0,01263     
На III стъпка:
 
 
2 2 5
x y
2 2
x y
3,16234 2,44962 0,6.10
3,16234 2,44962 0,00026
 
 

 
  

Намираме:
 2 2
x y
0,00004, 0,00005    
Процесът продължава, докато
 k k
x y
, ,      – зададената точност.
Или:

 
k k
x y
max ,  
В случая на трета итерация получаваме:
 3 3
x x 1,5811, y y 1,2248   
с точност 0,0001.