Учебник по ВМ3

____________0____________

С Ъ Д Ъ Р Ж А Н И Е


I. ВЕКТОРНА ФУНКЦИЯ НА РЕАЛЕН АРГУМЕНТ 1

1. ДЕКАРТОВА КООРДИНАТНА СИСТЕМА 1
2. ВЕКТОРИ. ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРИ 4
3. ВЕКТОРНА ФУНКЦИЯ 12
ДЕФИНИЦИЯ, ДЕФИНИЦИОННА ОБЛАСТ , ГРАФИКА 12
ГРАНИЦА НА ВЕКТОРНА Ф УНКЦИЯ 19
ДИФЕРЕНЦИРАНЕ И ИНТЕГ РИРАНЕ НА ВЕКТОРНИ ФУНКЦИИ 23
4. ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЕКТОРНИ ФУНКЦИИ 32


II. ФУНКЦИИ НА ДВЕ И ПОВЕЧЕ ПРОМЕНЛИВИ 50

1. ДЕФИНИЦИЯ, ДЕФИНИЦИОННА ОБЛАСТ , ГРАФИКА. ЛИНИИ ПО НИВА 50
2. ЧАСТНИ ПРОИЗВОДНИ 64
3. ЛОКАЛНИ ЕКСТРЕМУМИ 90
4. ГЛОБАЛНИ ЕКСТРЕМУМИ Н А ФУНКЦИИ НА ДВЕ ПРОМЕНЛИВИ 106
5. УСЛОВНИ ЕКСТРЕМУМИ 116
6. ДВОЙНИ ИНТЕГРАЛИ В ДЕКАРТОВА КООРДИНА ТНА СИСТЕМА 124
7. ДВОЙНИ ИНТЕГРАЛИ В ПОЛЯРНА КООРДИНАТН А СИСТЕМА 148
8. ПРИЛОЖЕНИЯ НА ДВОЙНИ ИНТЕГРАЛИ 161

____________1____________

I. ВЕКТОРНА ФУНКЦИЯ НА РЕАЛЕН АРГУМЕНТ

1. ДЕКАРТОВА КООРДИНАТНА СИСТЕМА

Едномерна декартова координатна система
Нека върху произволна права е фиксирана точката O ,
определена е положителна посока и е избрана мерна единица.
Тогава е дадена декартова координатна система Ox с начало
точката O .


Фиксираната координатна система определя взаимно
еднозначно съответствие между точките от правата и реалните числа.


Реалното число Px , равно на алгебричната мярка на отсечката OP
се нарича декартова координата на точката P и се записва: 
PxP
.

Двумерна декартова координатна система
Нека в равнината са фиксирани две взаимно перпендикулярни
числови оси с общо начало O .

____________2____________

Тогава е дадена декартова координатна система Oxy с абсцисна
ос Ox , ординатна ос Oy и начало точката O .


Нека правите l и g минават през фиксирана точка P , като Oyl
и Oxg ; l пресича Ox в точката Px и g пресича Oy в
точката Py . Тогава наредената двойка реални числа  
PPyx;
определя еднозначно точката P и Px и Py се наричат декартови
координати на точката P (съответно абсциса и ордината), което се
записва по следния начин:  
PPyxP;



Фиксираната координатна система определя взаимно
еднозначно съответствие между точките от равнината и наредените
двойки реални числа yx; R
2
.

Тримерна декартова координатна система
Нека в пространството са фиксирани три взаимно
перпендикулярни числови оси с общо начало O .
Тогава е дадена декартова координатна система Oxyz с
абсцисна ос Ox , ординатна ос Oy , апликатна ос Oz и начало точката O
.

____________3____________



Нека точката *
P е ортогонална проекция на точката P върху
координатната равнина Oxy ; правите l и g минават през *
P , като Oyl
, Oxg , l пресича Ox в точката Px и g пресича Oy в
точката Py и правата p през *
P , успоредна на координатната
равнина Oxy , пресича Oz в Pz .




Тогава наредената тройка реални числа  
PPP zyx ;; се нарича
декартови координати на точката P и се записва по следния начин:  
PPP zyxP ;;
.

Фиксираната координатна система определя взаимно
еднозначно съответствие между точките от равнината и наредените
тройки реални числа  zyx;; R
3
.

____________4____________


2. ВЕКТОРИ. ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРИ

Отсечка, за която единият край е определен за първи, а другият
– за втори се нарича насочена отсечка. Множеството от всички равни
помежду си насочени отсечки се нарича свободен вектор. Всеки
свободен вектор се определя от произволен негов представител.
Нека p е свободен вектор и pOP . Тогава координатите на
точката P са равни на координатите на вектора p : ixxp
PP

.
в едномерния случай;   jyixyxp
PPPP

..; 
в двумерния случай;   kzjyixzyxp
PPPPPP

...;; 
в тримерния
случай
1
.


ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРИ
Нека  
321;;aaaa
 и  
321;;bbbb
 са два произволни
вектора и  R. Тогава са в сила следните равенства:

(1)  
332211 ;; babababa 
 (събиране);
(2)  
332211 ;; babababa 
 (изваждане);
(3)  
321 .;.;.. aaaa 
 (умножение на вектор с число);
(4) 332211 .... babababa 
 (скаларно произведение);

1 Векторите i
 , j
 и k
 са единичните вектори съответно по осите Ox , Oy и Oz
.

____________5____________

(5) 2
3
2
2
2
1 aaaa 
 (дължина на вектор);
(6) 321
321
bbb
aaa
kji
ba


 (векторно произведение).


ПРИМЕРИ
1. Да се пресметне дължината на вектора x .

1.1.  2,2,2,2x
 .
Решение. Като се приложи формула (5), за дължината на вектора се
получава: 
.4164444
2222
2222

x



MatLab
.m Резултат
x=[2 -2 2 2]
n=norm(x)
x = 2 -2 2 2
n = 4


1.2.  
2
;;1ttx .
Решение.
Прилага се формула (5), откъдето: 42
1 ttx 
.

____________6____________

1.3.  nx ;...;3;2;1 .
Решение.
От формула (5) се получава 2222
...321 nx 
.
Но за сумата на квадратите на първите n естествени числа е в сила
следната формула:  ,)12(1.
6
1
...941...321
22222


nnn
nn

откъдето за дължината на вектора се получава:  )12(1.
6
1
...321
2222
 nnnnx
.


2. Да се пресметне скаларното произведение baba ,. .

2.1.   1;2,2;1  ba .
Решение.
От формула (4) се получава  01.2)2.(1,. baba
,
което показва, че двата вектора са перпендикулярни.

2.2. 






2
1
;1;1a , 4;2;0b . Да се пресметне и векторното
произведение на векторите.
Решение.
Пресмятането на скаларното произведение е аналогично:   04
2
1
2.10.1,. baba
.
За намиране на векторното произведение се използва формула (6):

____________7____________

420
2
1
11
kji
ba

 
kji
jikkji


245
4.1.2.
2
1
.0.1.2.1.0.
2
1
.4.1.




MatLab
.m Резултат
a=[ 1 -1 1/2]
b=[0 2 4]
d =dot(a,b)
c=cross(a,b)
a = 1.0000 -1.0000 0.5000
b = 0 2 4
d = 0
c = -5 -4 2


3. Да се намерят координатите на вектор c
 , равен на линейната
комбинация qpsc 3
2
1
 , където 2;5;3s ,  8;4;2p и 





 2;0;
3
1
q
.
Решение.
Координатите на вектор c
 са съответно 1
3
1
32
2
1
3
1 











c
30.34
2
1
5
2 





c
42.38
2
1
2
3 





c

____________8____________

Окончателно  4;3;13
2
1
 qpsc
.

MatLab
.m Резултат
s=[3 5 2]
p=[2 4 8]
q=[-1/3 0 2]
c=s-1/2*p+3*q
s = 3 5 2
p = 2 4 8
q = -0.3333 0 2.0000
c = 1 3 4


ЗАДАЧИ
Да се пресметнат дължината на векто ра x , скаларното
произведение baba ,. и координатите на вектор c
 , равен на
съответната линейна комбинация.

1. 






12
2
1
;...;
2
1
;
2
1
;1
n
x

2.  1;4;5x
 ;  2;1;3a
 ,  1;1;1b
 ; да се намери и
векторното произведение ba ; qpsc

4
2
1
2  за  1;1;3s

,  2;2;10p
 ,  3;2;5,0 q
 .

3.  0;4;3x
 ; ;ea
 ,  eb ;
 ; qpsc

43 за  1;1;3s

,  2;2;1p
 ,  1;2;5q
 .

____________9____________

4.  3;2;3;3 x
 ;  2;1;3;2 a
 ,   ;8;3;b
 ; qpsc

5,024 
за  1;2;6s
 ,  2;25;1p
 ,  3;2;1q

.

5.  
992
;;;;1 tttx 

 ; 


























222
1
;;
3
1
;
2
1
;1
n
a 
 , 







1
;;
4
3
;
3
2
;
2
1
n
n
b 

; qpsc

43,0 за  2;10;3 s

,  8;4;2p ,  3;2;1q
 .

ОТГОВОРИ
1. 1
4
41
3



n
n
x ;
2. 42x , 0.ba ,  15;9;1c

3. 5x , 0.ba ,  4;5;1ba ;  11;3;20c

4. 5x , 1.ba ,  5,6;41;5,21 c

5. 2
200
1
1
t
t
x


 , 1
.


n
n
ba ,  4,16;2,19;4,0 c
 .

____________10____________




ДОПЪЛНИТЕЛНИ ЗАДАЧИ

Да се изследва за сходимост редицата kx . Да се пресметне k
k
x

lim
, ако съществува.


1. 






kk
xk
1
;
1
Решение. k
k
x

lim
0;0
1
lim;
1
lim
1
;
1
lim 












 kkkk
kkk
и следователно редицата е сходяща с граница вектора 0;0 .


2. 












7
7
2
2
310
21
;
1
12
k
k
kk
kk
xk
Решение. 














7
7
2
2
310
21
;
1
12
limlim
k
k
kk
kk
x
k
k
k




















 3
2
;1
310
21
lim;
1
12
lim
7
7
2
2
k
k
kk
kk
kk

и следователно редицата е сходяща с граница вектора 






3
2
;1 .

____________11____________

3. 








2
1
;
1
cos.
k
k
k
kxk

Решение. 



















2
1
lim;
1
cos.lim
2
1
;
1
cos.limlim
k
k
k
k
k
k
k
kx
kk
k
k
k
1;
1
1lim;
1
cos.lim 





















 kk
k
kk

и следователно редицата е разходяща.

4. 














k
k e
k
x
1
;
2
1
sin

Решение. 
















k
k
k
k
e
k
x
1
;
2
1
sinlimlim

1;1;
2
sinlim;
2
1
sinlim
0
1
































ee
k
k
kk


и следователно редицата е сходяща с граница вектора 1;1 .

____________12____________

3. ВЕКТОРНА ФУНКЦИЯ

ДЕФИНИЦИЯ, ДЕФИНИЦИОННА ОБЛАСТ , ГРАФИКА

Нека t R, tx и ty са реални функции, а i и j са единични
вектори в декартовата координатна система Oxy . Тогава jtyitxtr

..

се нарича векторна функция на реален аргумент и задава изображение
R
2
R. Функциите tx и ty се наричат координатни функции.
Векторната функция tr може да бъде записана и по следния начин:  tytxtr ;
.

Дефиниционната област на векторната функция tr е сечение
на дефиниционните области на координатните функции, т.е. yxr DDD 
.

Графиката на tr е линия в двумерната равнина. В случай, че yx,
са координати на точка и t е изменението на времето, тази
линия е траекторията на движението на тази точка в зависимост от
времето.

ПРИМЕРИ
1. Да се определи rD за векторната функция и да се изобрази
графиката й.
1.1.  jtitttr

.1.2
2

Решение.
Тъй като  ;:tD
x и   ;:tD
y , то

____________13____________
 ;:tD
r

.
Графиката на дадената векторна функция е парабола.

MatLab
.m Резултат

t=-8:.1:10
x=t.^2-2*t;
y=t+1;
plot(x,y)
grid on



1.2.  jtittr

.cos.sin .
Решение.
Аналогично  ;:tD
x и   ;:tD
y и
следователно  ;:tD
r
 . Дадената векторна функция има за
графика окръжност с център началото на координатната система и
радиус 1.
MatLab
.m Резултат

t=-8:.1:8
x=sin(t);
y= cos(t);
plot(x,y)
t=-8:.1:8
x=2*cos(t);
y=sin(t);
plot(x,y)
grid on

____________14____________

1.3.  tttr sin;cos2 .
Решение.
Отново  ;:tD
x и   ;:tD
y и  ;:tD
r

. Дадената векторна функция задава елипса с
полуоси 2 и 1.


MatLab
.m Резултат

t t=-8:.1:8
x=2*cos(t);
y=sin(t);
plot(x,y)
grid on



Аналогично се дефинира изображение R
3 R. В този случай
векторната функция   tztytxktzjtyitxtr ;;... 


има дефиниционна област zyxr DDDD 
,
а графиката й е линия в тримерното пространство.
2
.


2. Да се определи rD за векторната функция и да се изобрази
графиката й.

2.1.  ktjtittr

..sin.cos 

2 Напълно аналогично можe да бъде дефинирано изображение R
n  R, но
разбира се в случая 3n не се опитваме да построяваме графика.

____________15____________



Решение.
Тъй като  ;:tD
x ,   ;:tD
y и  ;:tD
z
то  ;:tD
r
 . Графиката на тази векторна
функция се нарича винтова линия (Helix).


MatLab
.m Резултат

t=-15:.05:15
x=cos(t);
y=sin(t);
z=t;
plot3(x,y,z)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
grid on
axis square







2.2.  ktjtittr

.cos..sin  .

Решение.
Отново  ;:tD
r
 .

____________16____________

MatLab
.m Резултат

t=-10:.05:10
x=sin(t);
y=t;
z=cos(t);
plot3(x,y,z)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
grid on
axis square




2.3.  ttttr cos;; .
Решение.
Отново  ;:tD
x и   ;:tD
y и  ;:tD
r

. Графиката на дадената векторна функция е елипса
с полуоси 2 и 1.

MatLab
.m Резултат

t=-10:.05:10
x=t;
y=t;
z=cos(t);
plot3(x,y,z)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
grid on
axis square