Определен интеграл, функция на две променливи, обикновени диференциални уравнени

????Н ??????В ????????
????А ????????А ????????А
В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А
???? III
-
6
O
x
y
y=y2(x)
y=y1(x)
a b
D
SD=
Z
b
a
(y2(x)−y1(x))dx
????????н ????????, ??????я ?? ??е
??????????, ?????????? ????????????и
????????я
???????, 2015

2
??????:???????? ?? ????????????и в ??????а ?????????? ?? ?????????? ???-
???????? - ??????о
????. ??н ????н ??????в ???????? е ???????? ??И ?? ?? ??. ??.????????.
??????л е ???????? в ???????? ?? ?????????????? ?????? ?? ??????????. ???? е
?? American Mathematical Society (AMS), The Institute of Electrical and Electronics
Engineers (IEEE) и ???? ?? ???????????? в ???????? (???).
???. ?-р ????а ????????а ????????а е ????????a ??И ?? ?? ??.??. ??????-
??. ???????? е ???????? в ???????? ?? ?????????????? ????ия ?? ??????????.
В И С Ш А М А Т Е М А Т И К ?, ???? III,
??????к ?? ???????? ?? ?????????-?????????? ????????????.
????о ???????, 96 ???.

3
????????Р
????????т ????? ??????????, ???? III, е ???????????? ?? с??????и ?? ????????-
?? ??????????т - ??????о с ?????????????-??????????????а?????? ?????????.
??????а ??л ?? ???????? е ???? ?? ?? ?????? ??????????я ????нс ????у ???????-
?????????, ????????о ?????????? ?? ??????????????е ????т?? и ??????????о ??
?? ???????? ???????? ???? ??????н ?????? ?? ????????е ?? ??щ?-???????????? и
????????и ?????????? и ???????????? ?? в ???????? и ?????? и??????????. В
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???? ??????????о е ?????????? с ????????о ??????и и ??????но ?????? ??????.
?????????? ?? ???????? ???????: ????????н ???????? и ????в??е ??????????, ???-
???? ?? ??е ??????????, ????????м ?? ??????я ?? ??е ??????????; ??????????
????????????и ?????????. ???? е ????????а ???? ?? ?????????, ????о ?? ??????а
?? ?????????? ?? ?????? ???????????? ???? ????и ????????.
????а ????а ??????а ?????????? ?????????? ????????, ????е??, ????м ???? ??-
???? ?????? и ?????? ?? ????????????а ??????????. ?????? ?????? ???? ????????,
????о ?? ?????? ?????????? ??и ??????????????а ?? ??????.
????????т ?? ???? ??????о ??????н ?? ???????? ??????о и ???????????? ????????.
??????и 2015 ?. ????????

4
??????????
????А 1 - ????????н ????????. ?????????? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
- ????????я и ???????? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
- ??????а ?? ???????-?????. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
- ??????????е ???? ????а ?? ???????????? . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
- ??????????е ?? ????и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
- ?????????? ?? ????????н ???????? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
- ??????????и ????????и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
- ????????, ??????щ ?? ????????р . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
????А 2 - ??????я ?? ??е ??????????. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
- ??????и ??????я и ?????????. ???????. ?????????????? . . .. . . . . . . . . . . . . 29
- ?????? ?????????? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
- ????????????????. ??????????л . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
- ?????????? ?? ?????? ??????я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
- ???????? и ?????????? ?? ?????? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
- ??????а ?? ?????? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
- ????????м ?? ??????я ?? ??е ?????????? . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .45
????А 3 - ?????????? ????????????и ????????я (???) . . . . . . . . . . . . . .57
- ??????и ??????я и ????????и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
- ????????я с ????????и и ????????и ?? ?????????? . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .59
- ????????и ????????я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
- ??????и ????????я и ????????я ?? ??????и . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 64
- ????и ????????я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
- ??????и ????????и ?? ?? n-?? ???. ????????а ?? ????????о . .. . . . . . . . . . 73
- ??????и ????????и ?? ?? n-?? ??д с ????????и ??????????и . .. . . . . . . . . . 76
- ??????и ??????????и ?? ?? n-?? ??д с ????????и ??????????ии
????????а ????а ???? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
- ??????и ??????????и ?? ?? n-?? ??д . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 90

????а 1
????????н ????????. ??????????
????а ?? ???? ????а е ?? ???????? ???????? с ????????о ????????н ??-
??????, ????????е ?????? ?? ?????????? ?? ????????н ???????? и ????и
??????????.
????????о ????????н ???????? е ???? ?? ????????е ??????я в м????????????я
??????. ????а ??, ?? е ???? ???????? в ???????????? в ??????т???? ??д ???? XVII
??к ?? ??????а ????????и ?? ??????????????о и ?????????? ??????е - ??????ц
и ?????, ????о ?? ???????? ?????? ???????? ?? ????. ????????т ????н ????????
?? ?????? в ????, ?? ?? ?????????? ??????а ??????, ????о ?????????? ????у ??е
???????, ?? ???? ?????? ?????? ????ч ???? ?? ?????, ???? ????????о ????????н
???????? и ????????о ?????????? ?? ???????.
???? ?? ????????, ????о ?? ????????н ??т ????т ?? ??????????о ?? ????????о
????????н ????????, е ???????? ?? ?????????? ?????? ?? ????????, ????????а ??
????????а ?? ???? ????????????а и ?????????? в ????????а [a, b] ??????яf(x),
?????????? ?? и ??????е с ????????яx=aиx=b.
???? е ?????? ????????аy=f(x), ?????????? и ???????????? в ??????????
???????? [a, b]. ????????е ?? ?????????? ????н ????????а [a, b] ?? ????????????
с ??????е
a=x0, x1, x2, . . . , xi−1, xi, . . . , xn−1, xn=b
????????а ?? i-?? ???????? ??????м с
∆xi=xi−xi−1(i= 1, . . . , n)
??в ????и ??????????л ???????? ?????????? ????а
ξi∈[xi−1, xi] (i= 1, . . . , n)
и ?????????? ?????????? ?? ????????а в ???? ?????, ?.?.f(ξi).???? ???? ????-
?????? ???? ???????? ?? ????????а ?? ????????????, ?.?. ??л??????е
f(ξi)∆xi(i= 1, . . . , n),
????о е ?????? ?? ????????????а с ?????? ?????????, ??????л??а ?? ??????еxi−1и
xi, и ???????? ????????а с ??????аf(ξi)(??? ??????а ?? ?????????? ????????).
?????? ?? ???? ????????и ?? ????????n????????????
n
X
i=1
f(ξi)∆xi
5

6 ????А 1. ????????Н ????????. ??????????
?? ?????????????? ?????????? ???? ?? ????????аf(x), ????????????а ??
???????? ????????е ?? ????????а [a, b] ?? ???????????? и ??б??а ?? ??????еξi.
-
6
O x
y
xi−1 xiξi
y=f(x)
a=x0 xn=b
f(ξi)
b bb bb
?? ??????м сλ???????????? ??????а ?? ??????????????, ?.?.
λ=max∆xi(1≤i≤n)
??о ?????????? ????????а
lim
λ→0
n
X
i=1
f(ξi)∆xi=S
?????????? ?? ?????? ?? ????????е ?? ????????а [a, b] ?? ???????????? и ??????
?? ??????еξi, ?? ????????аf(x)?? ?????????????????? в ??????в ?????? ,
а ????????аS?? ??????????????н ?????????? ????????аf(x)в ????????а
[a,b] и ?? ???????? с
Z
b
a
f(x)dx,?.?.
Z
b
a
f(x)dx= lim
λ→0
n
X
i=1
f(ξi)∆xi
??????оa?? ??????????а ??????а, а ??????оb-????а ??????а?? ??????-
????я ????????.

7
????????:
1.
Z
a
b
f(x)dx=−
Z
b
a
f(x)dx (?о ?????????)
2.
Z
b
a
M dx=M(b−a) M-????????а
3.
Z
b
a
Mf(x)dx=M
Z
b
a
f(x)dx M-????????а
4.
Z
b
a
f(x)dx=
Z
c
a
f(x)dx+
Z
b
c
f(x)dx
5.
Z
b
a
(f(x) +g(x) )dx=
Z
b
a
f(x)dx+
Z
b
a
g(x)dx
6.??оf(x)≤g(x)??иx∈[a, b], ??
Z
b
a
f(x)dx≤
Z
b
a
g(x)dx
7.??оm≤f(x)≤M, x∈[a, b], ??m(b−a)≤
Z
b
a
f(x)dx≤M(b−a)
8.??оf(x)е ???????????? в ????????а [a, b], ?? ??????????c∈(a, b), ?????? ??
Z
b
a
f(x)dx=f(c)(b−a)
?????????? ???????? е ???????? ??????????а ?? ???????? ?????????.
??????а 1.1??о ???? ??????я е ???????????? в ????????а[a, b], ?? ?? ?? е
???????????? в ??????в ??????.
??????а 1.21. ????а ???????????? в ????????а[a, b]??????я е ????????????
в ??????в ??????.
2. ????а ????????а и ?????????? в ????????а[a, b]??????я е ???????????? в
??????в ??????.

8 ????А 1. ????????Н ????????. ??????????
?????????? ???? ??????я ?? ??????а ?? ??????а
??????а ?? ???????-????н
?? ?????????? ????????а
F(x) =
Z
x
a
f(u)du, x ∈(a, b)
В ?????????? ??????а ?? ???????, ?? ???? ??????я е ????????на ?? ????????а
f(x).
??????а 1.3??о ????????аf(x)е ???????????? в ????????а[a, b], ??
F(x) =
Z
x
a
f(u)du
е ?????????????? и
F
′
(x) =f(x)
?????????????:
F
′
(x) = lim
∆x→0
F(x+ ∆x)−F(x)
∆x
= lim
∆x→0
1
∆x
Z
x+∆x
a
f(u)du−
Z
x
a
f(u)du

=
lim
∆x→0
1
∆x
Z
x
a
f(u)du+
Z
x+∆x
x
f(u)du−
Z
x
a
f(u)du

=
lim
∆x→0
1
∆x
Z
x+∆x
x
f(u)du= lim
∆x→0
1
∆x
f(c)(x+ ∆x−x) = lim
∆x→0
f(c) =f(x)
??и ??????????????о ??????????е ????????а ?? ???????? ??о?????? и ?????, ??
??????∆x→0, ??c→x. 
????Φ(x)е ?????????? ?????????? ??f(x).??й ????F(x)???? е ??????????
??f(x), ?? ????о ????мΦ(x) =F(x) +C.
??????????
Φ(b)−Φ(a) = (F(b) +C)−(F(a) +C) = (F(b) +C−C) =F(b) =
Z
b
a
f(x)dx,?.?.
Z
b
a
f(x)dx= Φ(b)−Φ(a)
?????????? ????????о ?? ????????????а ?? ???????-????н .
????????е ??????????о Φ(x)




b
a
= Φ(b)−Φ(a).
??????
Z
b
a
f(x)dx= Φ(x)




b
a
= Φ(b)−Φ(a)

9
????????а ?? ???????-????н ?? ?????, ?? ?? ?? ?????????? ??ин ????????н ??-
??????, ????о ?????? ?? ??????м ??????а ?????????? ??????я?? ???????????-
???? ??????я (?.?. ?? ?????????? ?????????? ??????????н ????????). ???? ????
?? ?????????? ?? ???? ?????????? в ??????а ??????а ?? ????????а ?? ??????м
?????????? и в ??????а ??????а ?? ?????????.
1.1
Z
1
0
(x
4
+ 4x
3
−3x+ 1)dx=
Z
1
0
x
4
dx+ 4
Z
1
0
x
3
dx−3
Z
1
0
x dx+
Z
1
0
1dx=
=

x
5
5




1
0
!
+
“
x
4
|
1
0
η
−

3
x
2
2




1
0
!
+
“
x|
1
0
η
=
1
5
+ 1−
3
2
+ 1 =
7
10
1.2
Z
2
1
(3x
2
+ 4e
2x
)dx= 3
Z
2
1
x
2
dx+ 4
Z
2
1
e
2x
dx=
“
x
3
|
2
1
η
+ 2
Z
2
1
e
2x
d(2x) =
= 7 + 2
“
e
2x
|
2
1
η
= 7 + 2(e
4
−e
2
) = 7 + 2e
2
(e
2
−1)
1.3
Zπ
2
0
(2 cos 2x+ sinx)dx= 2
Zπ
2
0
cos 2x dx+
Zπ
2
0
sinx dx=
Zπ
2
0
cos 2x d(2x)−
“
cosx|
π
2
0
η
=
“
sin(2x)|
π
2
0
η
−(0−1) = 1
??????????е ???? ????а ?? ????????????
???? ????????аf(x)е ???????????? в ????????а [a, b] , аx=ϕ(t)??а
???????????? ?????????? в ????????а [α, β] и ??????????е и ??????????т ??
????????а [a, b]. ????н ???? ????
ϕ(α) =aиϕ(β) =b.
??????
Z
b
a
f(x)dx=
Z
β
α
f(ϕ(t))ϕ
′
(t)dt
?????????????:????
Z
f(x)dx=F(x).
??????
Z
β
α
f(ϕ(t))ϕ
′
(t)dt=F(ϕ(t))




β
α
=F(ϕ(β))−F(ϕ(α)) =F(b)−F(a) =
Z
b
a
f(x)dx.


10 ????А 1. ????????Н ????????. ??????????
1.4 I=
Z
2
0
√
4−x
2
dx
??о ???????? ????????????аx= 2 sint, ??dx= 2 costdtи
√
4−x
2
=
q
2
2
(1−sin
2
t) = 2|cost|.
??????е ????????е ?? ????????а в ???????????? с ????????а
xt
2
π
2
00
???? ?????????? ?????? ????
I= 4
Zπ
2
0
|cost|cost dt= 4
Zπ
2
0
cos
2
t dt= 4
Zπ
2
0
1 + cos 2t
2
dt= 2
Zπ
2
0
(1 + cos 2t)dt=
2

Zπ
2
0
1dt+
Zπ
2
0
cos 2t dt
!
= 2

Zπ
2
0
1dt+
1
2
Zπ
2
0
cos 2t d2t
!
= 2t|
π
2
0
+ sin 2t|
π
2
0
=π
??????????е ?? ????и
????u=u(x)иv=v(x).??????
Z
b
a
udv=uv




b
a
−
Z
b
a
v du
?????????????:?? ????????а ?? ??????????е ?? ????и ??и ??????????н ?????-
??л ????е
Z
(u(x)v
′
(x) +v(x)u
′
(x))dx=u(x)v(x)
????????????
Z
b
a
(u(x)v
′
(x) +v(x)u
′
(x))dx=u(x)v(x)




b
a
Z
b
a
(u(x)v
′
(x)dx+
Z
b
a
v(x)u
′
(x))dx=u(x)v(x)




b
a
Z
b
a
(u(x)v
′
(x)dx=u(x)v(x)




b
a
−
Z
b
a
v(x)u
′
(x))dx,
????о ????????е ??-?????о ?? ??????я ????н
Z
b
a
udv=uv




b
a
−
Z
b
a
v du


11
1.54
Z
2
1
x
3
lnx dx=
Z
2
1
lnx dx
4
=x
4
lnx|
2
1
−
Z
2
1
x
4
dlnx= 16 ln 2−
Z
2
1
x
4
1
x
dx=
16 ln 2−
Z
2
1
x
3
dx= 16 ln 2−
x
4
4




2
1
= 16 ln 2−

4−
1
4

= 16 ln 2−
15
4
1.6
Z
1
0
x
2
e
x
dx=
Z
1
0
x
2
de
x
=x
2
e
x
|
1
0
−
Z
1
0
e
x
dx
2
=e−