Числени методи - лекционен курс

ËÅÊÖÈÈ
ÏÎ ×ÈÑËÅÍÈ ÌÅÒÎÄÈ
Â. Õàñàíîâ

Ãëàâà 1
Âúâåäåíèå â ÷èñëåíèòå ìåòîäè
Òàçè ãëàâà å ïîñâåòåíà íà âúïðîñèòå: êàêâî å ÷èñëåí ìåòîä; êàêâî
ñå èçó÷àâà â äèñöèïëèíàòà ½×èñëåíè ìåòîäè. Òóê ùå ñå îòãîâîðè ÷àñ-
òè÷íî è íà âúïðîñà çà íåîáõîäèìîñòòà îò èçó÷àâàíå íà äèñöèïëèíàòà
½×èñëåíè ìåòîäè.
2

Ÿ 1. Ïðåäìåò íà ÷èñëåíèòå ìåòîäè 3
Ÿ 1. Ïðåäìåò íà ÷èñëåíèòå ìåòîäè
1.1. Ùî å ÷èñëåí ìåòîä?
×èñëåí ìåòîäå òàêúâ ìåòîä, ïðè êîéòî ìàòåìàòè÷åñêèòå çàäà÷è
ñå ðåøàâàòïðèáëèæåíî, êàòî çà öåëòà ñå èçïîëçâàò ñàìî àðèòìåòè÷íè
îïåðàöèè.
Èç÷èñëèòåëíàòà ìàòåìàòèêà, â êîÿòî ñå èçó÷àâàò ðàçëè÷íè ÷èñ-
ëåíè ìåòîäè è ñðåäñòâà çà èç÷èñëåíèå, ìîæå äà ñå ñ÷èòà êàòî åäèí îò
íàé-ñòàðèòå êëîíîâå íà ìàòåìàòèêàòà. Â íàé-äúëáîêà äðåâíîñò ìàòåìà-
òèêàòà ñå å ñâåæäàëà äî ãîëÿìà ñòåïåí ñàìî äî èç÷èñëåíèÿ è ñúñòàâÿíå
íà òàáëèöè. Íàïðèìåð, ïðåäè ïîâå÷å îò 2000 ãîäèíè Àðõèìåä å óñòàíî-
âèë, ÷å ÷èñëîòî¼å â èíòåðâàëà(3
10
71
;3
1
7
), à Õåðîí-ñòàðøè å èçïîëçâàë
ôîðìóëàòàxn+1=
1
2
(xn+
a
xn
)çà ïðåñìÿòàíå íà
p
a. Äðóãè ëþáîïèòíè
ôàêòè ìîæå äà ñå ïðî÷åòàò â [4].
Âåëèêî îòêðèòèå â èç÷èñëèòåëíàòà ìàòåìàòèêà å ñúçäàâàíåòî íà
ïîçèöèîííèòå áðîéíè ñèñòåìè è ïî-ñïåöèàëíî íà äåñåòè÷íàòà áðîéíà ñèñ-
òåìà, âúçíèêíàëà â Èíäèÿ.
Ñèëåí òëàñúê â ðàçâèòèåòî íà èç÷èñëèòåëíàòà ìàòåìàòèêà è â ÷àñ-
òíîñò íà ÷èñëåíèòå ìåòîäè èìà ñëåä ñúçäàâàíå íà àâòîìàòè÷íèòå ñìåòà÷-
íè ìàøèíè è ïî-êúñíî íà êîìïþòðèòå. Âúçìîæíîñòèòå, êîèòî äàâàò êîì-
ïþòðèòå èçèñêâàò ñúçäàâàíåòî íà íîâè è óñúâúðøåíñòâàíåòî íà ñòàðèòå
÷èñëåíè ìåòîäè, çà äà ìîæå äà ñå èçïîëçâà ïúëíîöåííî íîâàòà òåõíèêà çà
ðåøàâàíå íà ñëîæíè çàäà÷è, ñâúðçàíè ñ ïðèëîæåíèåòî íà ìàòåìàòèêàòà
â ïðàêòèêàòà è äðóãèòå íàóêè.
Äðóãà çàäà÷à íà èç÷èñëèòåëíàòà ìàòåìàòèêà, îñâåí ñúçäàâàíåòî
íà ÷èñëåíè ìåòîäè, å îöåíÿâàíå íà îòêëîíåíèÿòà íà ïîëó÷åíèòå ðåçóëòà-
òè ïðè ïðèëàãàíå íà òåçè ìåòîäè.
Ïîðàäè ãîëÿìîòî ñè çíà÷åíèå çà ïðàêòèêàòà ÷èñëåíèòå ìåòîäè
ñà ñå îáîñîáèëè êàòî ìàòåìàòè÷åñêà äèñöèïëèíà. Äèñöèïëèíàòà ÷èñëåíè
ìåòîäè ñå ñðåùà îùå ñ èìåòî ÷èñëåí àíàëèç.

4 Ãëàâà 1. Âúâåäåíèå â ÷èñëåíèòå ìåòîäè
1.2. Âèäîâå ÷èñëåíè ìåòîäè
×èñëåíèòå ìåòîäè ñå ðàçäåëÿò íà äâå îñíîâíè ãðóïè:
²òî÷íè (äèðåêòíè) òåçè ÷èñëåíè ìåòîäè, ïðè êîèòî àêî íà÷àëíè-
òå äàííè ñà äàäåíè òî÷íî è ìåæäèííèòå ïðåñìÿòàíèÿ ñå èçâúðøàò
òî÷íî, òî è ïîëó÷åíèÿò ðåçóëòàò å òî÷åí;
²èòåðàöèîííè ïðè òåçè ìåòîäè ðåøåíèåòî ñå ïîëó÷àâà êàòî ãðàíèöà
íà ñõîäÿùè ðåäèöè, ÷ëåíîâåòå, íà êîèòî ñå ïðåñìÿòàò ïî åäíîîáðàç-
íè ôîðìóëè.
Ïðèìåð íà òî÷åí ìåòîä å ìåòîäà íà Ãàóñ çà ðåøàâàíå íà ñèñòåìè
ëèíåéíè óðàâíåíèÿ, à çà èòåðàöèîíåí  ôîðìóëàòà ïðåäëîæåíà îò Õåðîí-
ñòàðøè.
1.3. Òðàäèöèîííè âúïðîñè íà ÷èñëåíèòå ìåòîäè
×èñëåíè ìåòîäè ñå ñúçäàâàò çà:
²ïðèáëèæàâàíå íà ôóíêöèè;
²ïðèáëèæàâàíå íà ôóíêöèîíàëè  äèôåðåíöèðàíå è èíòåãðèðàíå;
²ðåøàâàíå íà íåëèíåéíè óðàâíåíèÿ;
²ðåøàâàíå íà çàäà÷è íà ëèíåéíàòà àëãåáðà  ñèñòåìè ëèíåéíè óðàâíå-
íèÿ, ïðåñìÿòàíå íà äåòåðìèíàíòè, ïðåñìÿòàíå íàA
¡1
è ïðåñìÿòàíå
íà ñîáñòâåíè ñòîéíîñòè è âåêòîðè íà ìàòðèöè;
²ðåøàâàíå íà îáèêíîâåíè äèôåðåíöèàëíè óðàâíåíèÿ;
²ðåøàâàíå íà ÷àñòíè äèôåðåíöèàëíè óðàâíåíèÿ;
²ðåøàâàíå íà èíòåãðàëíè óðàâíåíèÿ.
1.4. Ãðåøêè è âèäîâå ãðåøêè
×èñëåíèòå îòãîâîðè íà çàäà÷è èçîáùî ñúäúðæàò ãðåøêè, êîèòî
âúçíèêâàò îò äâå ìåñòà  åäíèòå ñå äúëæàò íà ìàòåìàòè÷åñêàòà ôîðìó-
ëèðîâêà íà çàäà÷àòà, à äðóãèòå ñå ïîÿâÿâàò ïðè ÷èñëåíî íàìèðàíå íà

Ÿ 1. Ïðåäìåò íà ÷èñëåíèòå ìåòîäè 5
ðåøåíèåòî. Ïúðâèÿ âèä ãðåøêè îáèêíîâåíî ñå ïðåíåáðåãâàò, çàùîòî òå
ñàíåèçáåæíè. Àêî òå íå ìîãàò äà ñå ïðåíåáðåãíàò, òî êîëêîòî è òî÷íè
äà ñà ÷èñëåíèòå ïðåñìÿòàíèÿ, âèíàãè ùå èìà ñúùåñòâåíà ãðåøêà â ðå-
çóëòàòà. Èíòåðåñ çà ÷èñëåíèòå ìåòîäè ïðåäñòàâëÿâàò âòîðàòà êàòåãîðèÿ
ãðåøêè.
Èçòî÷íèöèòå íà ãðåøêè ïðè ÷èñëåíîòî íàìèðàíå íà ðåøåíèåòî ñà
äâà âèäà: ïúðâèÿò ïðîèçòè÷à îò òîâà, ÷å çàäà÷àòà íå ñå ðåøàâà, êàêòî
å ôîðìóëèðàíà, à íÿêîå íåéíî ïðèáëèæåíèå. Òîâà îáèêíîâåíî ñòàâà ïðè
çàìåñòâàíå íà äàäåí áåçêðàåí ïðîöåñ (íàïðèìåð ñóìèðàíå èëè èíòåãðè-
ðàíå) ñ êðàåí. Òîçè âèä ãðåøêà ñå íàðè÷àãðåøêà îò ïðåêúñâàíå. Âòîðèÿò
èçòî÷íèê íà ãðåøêè ñå äúëæè íà ôàêòà, ÷å àðèòìåòè÷íèòå ïðåñìÿòàíèÿ
ñ êîìïþòðè ïî÷òè íèêîãà íå ìîãàò äà ñå èçâúðøàò ñ ïúëíà òî÷íîñò. Îñ-
íîâà ïðè÷èíà çà òîâà å, ÷å ïîâå÷åòî îò ðåàëíèòå ÷èñëà èìàò áåçêðàéíè
äåñåòè÷íè ïðåäñòàâÿíèÿ, êîèòî íÿìà êàê äà ñå çàïèøàò â ïàìåòòà íà êîì-
ïþòúðà, ò.ê. âñè÷êè ðåàëíè ÷èñëà â ïàìåòòà íà êîìïþòúðà èìàò êðàéíî
ïðåäñòàâÿíå. Ñëåäîâàòåëíî, íà âñÿêî ðåàëíî ÷èñëî ñå ñúïîñòàâÿ îáèêíî-
âåíî äðóãî ðåàëíî ÷èñëî, êîåòî å â ðåçóëòàò íà çàêðúãëÿíå ïî îïðåäåëåíè
ïðàâèëà. Ãðåøêàòà, êîÿòî ñå äúëæè íà çàêðúãëÿíå ñå íàðè÷àãðåøêà îò
çàêðúãëÿíå. Ïðåäñòàâÿíåòî íà ðåàëíèòå ÷èñëà â ïàìåòòà íà êîìïþòúðà
ñà ðàçãëåäàíè â ñëåäâàùàòà òî÷êà.
Íåêà äà ïðåñìåòíåì ñóìàòà
S= 1;5:1;3 + 2;5:0;7 + 3;5:0;5 + 4;5:0;3¡1;7:1;3
= 1;95 + 1;75 + 1;75 + 1;35¡2;21 = 4;59:
Ñëåä çàêðúãëÿâàíå äî äåñåòèòå ïîëó÷àâàìåS¼4;6´S1. Àêî ñóìèðàíå-
òî â ïîñëåäíàòà ñóìà ñå èçâúðøè ñëåä çàêðúãëÿâàíå íà âñÿêî ñúáèðàåìî,
ïîëó÷àâàìå
S¼2 + 1;8 + 1;8 + 1;4¡2;2 = 4;8´S2:
Òàêà ïîëó÷àâàìå äâåòå ãðåøêè
S¡S1= 0;01èS¡S2=¡0;21:

6 Ãëàâà 1. Âúâåäåíèå â ÷èñëåíèòå ìåòîäè
Çà èçìåðâàíå íà ãðåøêèòå ñå èçïîëçâàò äâå îñíîâíè äåôèíèöèè
çà ãðåøêè.
Îïðåäåëåíèå 1.1.Íåêà~xñå ÿâÿâà ïðèáëèæåíèå íà ÷èñëîòîx. ×èñ-
ëîòî
E~x=jx¡~xj
ñå íàðè÷ààáñîëþòíà ãðåøêàâ ÷èñëîòî~x.
Îáèêíîâåíî àáñîëþòíàòà ãðåøêà íå å èçâåñòíà òî÷íî, à ñå çíàå
íÿêîÿ íåéíà ãîðíà ãðàíèöà, êîÿòî ñå íàðè÷àîöåíêà íà àáñîëþòíàòà
ãðåøêàèëè ñàìîàáñîëþòíà ãðåøêà.
Ïîíÿêîãà àáñîëþòíàòà ãðåøêà íå äàâà äîáðà ïðåäñòàâà çà òî÷-
íîñòòà íà ïðèáëèæåíîòî ÷èñëî. Íàïðèìåð ïðè ìíîãî ìàëêè è ìíîãî ãî-
ëåìè ÷èñëà, àêî òî÷íàòà ñòîéíîñò íà åäíà âåëè÷èíàxå10
¡10
, òî àáñî-
ëþòíàòà ãðåøêà îò ïîðÿäúêà íà10
¡6
å ãîëÿìà èëè àêî âÿðíàòà ñòîéíîñò
íà åäíà âåëè÷èíàxå10
14
, òî àáñîëþòíàòà ãðåøêà îò ïîðÿäúêà íà10
3
å
ìàëêà.
Òî÷íîñòòà íà åäíî ïðèáëèæåíî ÷èñëî ñå õàðàêòåðèçèðà è ñ òàêà
íàðå÷åíàòà îòíîñèòåëíà ãðåøêà.
Îïðåäåëåíèå 1.2.Íåêà ÷èñëîòîx6= 0è~xñå ÿâÿâà íåéíî ïðèáëèæå-
íèå ñ àáñîëþòíà ãðåøêàEx, òîãàâà ÷èñëîòî
R~x=
E~x
jxj
ñå íàðè÷àîòíîñèòåëíà ãðåøêàâ ÷èñëîòî~x.
Îòíîñèòåëíàòà ãðåøêà îáèêíîâåíî ñúùî íå å èçâåñòíà òî÷íî, à ñå
çíàå íÿêîÿ íåéíà ãîðíà ãðàíèöà, êîÿòî ñå íàðè÷àîöåíêà íà îòíîñèòåë-
íàòà ãðåøêàèëè ñàìîîòíîñèòåëíà ãðåøêà. Òúé êàòî ÷èñëîòîxíå å
èçâåñòíî, ïîíÿêîãà â çíàìåíàòåëÿ íà èçðàçà çà îòíîñèòåëíàòà ãðåøêà ñå
èçïîëçâà~xïðè~x6= 0, ò.å.
R~x=
E~x
j~xj
:
Çà îçíà÷àâàíå íà àáñîëþòíàòà è îòíîñèòåëíàòà ãðåøêè â ëèòåðà-
òóðàòà ñå ñðåùàò îùå¢~xè±~x, ñúîòâåòíî.

Ÿ 1. Ïðåäìåò íà ÷èñëåíèòå ìåòîäè 7
1.5. Ïðåäñòàâÿíå íà ÷èñëàòà â ïàìåòòà íà êîìïþòúðà
Êàêòî êàçàõìå ïî-ãîðå, ïîðàäè îãðàíè÷åíèòå âúçìîæíîñòè íà êîì-
ïþòðèòå, íÿìà êàê âñè÷êè ðåàëíè ÷èñëà äà ñå ïðåäñòàâÿò â ïàìåòòà èì.
Ñúùåñòâóâàò äâà îñíîâíè íà÷èíà çà ïðåäñòàâÿíå íà ÷èñëàòà  ñôèêñè-
ðàíà òî÷êàè ñïëàâàùà òî÷êà. Òóê ùå ñå ñïðåì íà ïðåäñòàâÿíåòî íà
÷èñëàòà ñ ïëàâàùà òî÷êà.
Âñÿêî ðåàëíî ÷èñëîxìîæå äà ñå ïðåäñòàâè âúâ âèäà
x= (¡1)
s
mp
c
; (1.1)
êúäåòîsïðèåìà ñòîéíîñò0çà ïîëîæèòåëíî èëè1çà îòðèöàòåëíî ÷èñëî
x, ðåàëíîòî ÷èñëîm¸0ñå íàðè÷àìàíòèñàíàx, åñòåñòâåíîòî ÷èñ-
ëîp >1ñå íàðè÷àîñíîâàíà ïðåäñòàâÿíåòî (áðîéíàòà ñèñòåìà, ñïðÿìî
êîÿòî ñå çàïèñâà ÷èñëîòî, íàïðèìåð: äâóè÷íà, îñìè÷íà, äåñåòè÷íà, øåñ-
òíàäåñåòè÷íà è äð.),cå öÿëî ÷èñëî è ñå íàðè÷àïîðÿäúêíàx. Ïîíåæå
ïðåäñòàâÿíåòî (1.1) íå å åäíîçíà÷íî, ïðèåòî å ìàíòèñàòàmäà óäîâëåò-
âîðÿâà íåðàâåíñòâàòà
p
¡1
·m <1: (1.2)
Ïðåäñòàâÿíåòî (1.1) ïðè óñëîâèåòî (1.2) ñå íàðè÷àíîðìàëèçèðà-
íîïðåäñòàâÿíå íà ðåàëíèòå ÷èñëà ñ ïëàâàùà òî÷êà. Ñúãëàñíî (1.2), çà
ìàíòèñàòà èìàìå
m=
1
X
k=1
dkp
¡k
; (1.3)
êúäåòîdk,k= 1;2;:::ñà öåëè ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿâàùè íåðàâåíñòâàòà
1·d1·p¡1; x6= 0;
0·dk·p¡1; k= 2;3;::::
Ïðèx= 0èìàìåm= 0, ñëåäîâàòåëíî èdk= 0,k= 1;2;:::. Îáèêíîâåíî
÷èñëàòà0;1;:::;p¡1ñå îçíà÷àâàò ñ ðàçëè÷íè ñèìâîëè, êîèòî ñå íàðè÷àò
öèôðè íà ñúîòâåòíàòàp-è÷íà áðîéíà ñèñòåìà. Äà ïðèïîìíèì, ÷å0è1
ñà öèôðèòå íà äâóè÷íàòà áðîéíà ñèñòåìà, à0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,
B,C,D,E,Fñà öèôðèòå íà øåñòíàäåñåòè÷íàòà áðîéíà ñèñòåìà.

8 Ãëàâà 1. Âúâåäåíèå â ÷èñëåíèòå ìåòîäè
 åñòåñòâåíèòå íàóêè âìåñòî óñëîâèåòî (1.2) çà ìàíòèñàòà, ÷åñòî
ñå èçïîëçâà óñëîâèåòî
1·m < p; (1.4)
ïðè êîåòî èìàìå
m=
1
X
k=0
dkp
¡k
; (1.5)
êúäåòîdk,k= 0;1;2;:::ñà öåëè ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿâàùè íåðàâåíñòâàòà
1·d0·p¡1; x6= 0;
0·dk·p¡1; k= 1;2;3;::::
Ïðèx= 0èìàìåm= 0, ñëåäîâàòåëíî èdk= 0,k= 1;2;:::.
Ïðåäñòàâÿíåòî íà ÷èñëàòà â ïàìåòòà íà êîìïþòúðà ñå îñíîâàâà íà
(1.1)  (1.3) èëè (1.1) ñ (1.4) è (1.5), êàòî ïîðÿäúêúò å îãðàíè÷åí îòãîðå è
ñóìàòà â (1.3) èëè (1.5) å êðàéíà, ò.å. ïîðÿäúêúò è ìàíòèñàòà ñå çàïèñâàò
ñ êðàåí áðîé öèôðè â çàâèñèìîñò îò çàäåëåíàòà ïàìåò. Îñâåí òîâà, íàé-
÷åñòî ïðè êîìïþòðèòå ñå èçïîëçâà ïðåäñòàâÿíåòî íà ÷èñëàòà ñ îñíîâà
p= 2, ïðè êîåòî ïî-óäîáíî å äà ñå âúçïðèåìå çà ìàíòèñàòà óñëîâèåòî
(1.5) ñd0= 1. Ñëåäîâàòåëíîm= 1 +f, êúäåòî
f=
T
X
k=1
dkp
¡k
(1.6)
èdkóäîâëåòâîðÿâàò íåðàâåíñòâàòà0·dk·p¡1; k= 1;2;3;:::;T.
Íàïðèìåð, ïðè çàäåëÿíå íà 64 áèòà çà åäíî äâóè÷íî ÷èñëî (âúâ âñåêè áèò
ñå çàïèñâà 0 èëè 1), ñúãëàñíî IEEE 754-1985 (àêòóàëèçàöèÿ 2008 ã. êàòî
IEEE 754-2008) ñòàíäàðò, ïúðâèÿò áèò å çà çíàêà íà ÷èñëîòî, ñëåäâàùèòå
11 áèòà ñà çà ïîðÿäúêà è îñòàâàùèòå 52 áèòà ñà çà ìàíòèñàòà. Òúé êàòî
2
11
= 2048, òî â çàäåëåíîòî ìÿñòî çà ïîðÿäúêà ìîãàò äà ñå çàïèøàò
2048 ÷èñëà. Ïðèåìà ñå ÷èñëàòà äà ñà îò¡1023äî1024. Îòðèöàòåëíèòå
ïîðÿäúöè ñà çà îïèñàíèå íà ìàëêè ÷èñëà, à ïîëîæèòåëíèòå çà ãîëåìè
÷èñëà ïî àáñîëþòíà ñòîéíîñò. Ïðè òîçè ïðèìåð â (1.6)T= 52.

Ÿ 1. Ïðåäìåò íà ÷èñëåíèòå ìåòîäè 9
Îò äîòóê êàçàíîòî çàêëþ÷àâàìå, ÷å: êîìïþòðèòå ðàáîòÿò ñ êðà-
åí áðîé ðåàëíè ÷èñëà, êîèòî ñà ñèìåòðè÷íî ðàçïîëîæåíè ñïðÿìî íóëà-
òà; ïîëîæèòåëíèòå ÷èñëà èìàò íàé-ìàëêî è íàé-ãîëÿìî èçìåæäó òÿõ;
îòíîñèòåëíàòà ðàçëèêà ìåæäó äâå ½êîìïþòúðíè ðåàëíè ÷èñëà å ïðèá-
ëèçèòåëíî ïîñòîÿííî, êîåòî îçíà÷àâà ÷å òå ñà íà ïî-ãúñòî ðàçïîëîæåíè
îêîëî íóëàòà è âñå ïî-íàðÿäêî ïðèáëèæàâàéêè êúì ãîðíàòà èì ãðàíèöà.
Ïîðàäè òàçè ïðè÷èíà å è ñòðåìåæà íà èç÷èñëèòåëèòå ïðè îðãàíèçèðàíå
íà èç÷èñëèòåëíèÿ ïðîöåñ ðåçóëòàòèòå äà ñà ìàëêè ÷èñëà, ïðè êîåòî ñå
íàìàëÿâà àáñîëþòíàòà ãðåøêà ïðè çàêðúãëÿíå.
Ùå äàäåì îùå åäíà äåôèíèöèÿ:
Îïðåäåëåíèå 1.3.Êàçâà ñå, ÷å ÷èñëîòî~xå ïðèáëèæåíèå íàxñk
çíà÷åùè öèôðè, àêîkå íàé-ãîëÿìîòî öÿëî ïîëîæèòåëíî ÷èñëî, çà
êîåòî
R~x·
1
2
p
¡k+1
;
êúäåòîpå îñíîâàòà íà áðîéíàòà ñèñòåìà, íà êîÿòî ñà ïðåäñòàâåíè
÷èñëàòà~xèx.
Ãðåøêèòå, êîèòî ñå ïîëó÷àâàò â ðåøåíèÿòà íà çàäà÷èòå â ðåçóëòàò
íà òîâà, ÷å íå ñå ðàáîòè ñ òî÷íèòå ðåàëíè ÷èñëà, à ñ òåõíè ïðèáëèæå-
íèÿ â çàâèñèìîñò îò âúçìîæíîñòèòå íà ñúîòâåòíàòà êîìïþòúðíà ñèñòåìà
êàêòî êàçàõìå ñå íàðè÷àò ãðåøêè îò çàêðúãëÿíå. Êàêòî êàçàõìå îñâåí
ãðåøêè îò çàêðúãëÿíå èìàìå è ãðåøêè â íà÷àëíèòå äàííè. ßñíî å, ÷å ïðè
íàëè÷èå íà ãðåøêè â íà÷àëíèòå äàííè, êàêâèòî è ìåòîäè äà ñå èçïîëçâàò
ïðè ðåøàâàíå íà äàäåíà èç÷èñëèòåëíà çàäà÷à, ùå èìà ãðåøêà â ïî