Диференциално и интегрално смятане

????Н ??????В ????????
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В И С Ш А М А Т Е М А Т И К А
???? II
-
6
O
1
1 x
y
y=e
x
y=lnx
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???????, 2015

2
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???????? - ??????о
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??????л е ???????? в ???????? ?? ?????????????? ?????? ?? ??????????. ???? е
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Engineers (IEEE) и ???? ?? ???????????? в ???????? (???).
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В И С Ш А М А Т Е М А Т И К ?, ???? II,
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???????? ???????, 94 ???.

3
????????Р
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???????? 2015 ?. ????????

4
??????????
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- ????????и ??????и ?????? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
- ???????. ??????и ??????????и ??????и . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 11
- ??????а ?? ??????я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
- ?????????????? ?? ??????я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
????А 2 - ?????????? ?? ??????я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
- ??????и ????????и и ??????и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 29
- ?????????? ?? ??-????? ??д . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
- ??????????л ?? ??????я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
- ??????и ??????и ?? ??????????????о ??????е . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 40
- ???????????? ?????. ??????и ?? ??????л . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .42
????А 3 - ?????????? ?? ??????я . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
- ??????????т и ????????м . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
- ??????????т и ??????????т . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
- ????????и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
- ?????????? ?? ??????я и ??????е ?? ??????а . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 60
????А 4 - ??????????н ???????? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
- ???????? ????????и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
- ??????????е ???? ??????е ??д ????а ?? ???????????? . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .78
- ??????????е ???? ????а ?? ???????????? . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 79
- ??????????е ?? ????и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
- ??????????е ?? ?????????? ??????и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 82
- ??????????е ?? ??????????и ??????и . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 86
- ??????????е ?? ??????????????и ??????и . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 88
- ???????? ????????и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

????а 1
???????. ??????а ?? ??????я
????а ?? ???? ????а е ?? ???????? ???????? с ??????и ??????я
в ?????????????? ??????, ???? ????????а ??????а ??????, ??????а
?? ????????а ??????а ??????, ???????, ??????а ?? ???????, н????-
????????т ?? ???????.
I. ????????и ??????и ??????
????????я 1.1 ????а ??, ?? е ?????????? ????????а??????а ??????
a1, a2, a3, . . . , an, . . . ,
??о ?? ????о ?????????? ????оn?? ?????????? ??????о е ??????????о ????оan.
??????аa1, a2, . . .?? ??????т??????е ?? ????????;an?? ????????щ ????
?? ????????.
?? ??????а ?????? ?? ?????????? ??????????о{an}.
????????{an}е??????????,??о ?????????? ????н и ???????? ????????[m, M],
???????? ?????? ??????е ?? ????????, ?.?. ?????, ?? ?? ????оn?? ???? ?????-
????m < an< M.
???????? ?, ?? ????у ???????? ????а и ??????е ?? ???????? ??а?? ??а ???????-
?????????? ????????????. ?????? ???? ??????а ?? ????????в????е ???????a“ с
???????a.
????????я 1.2 ?????????? ??????аa???????? ????и ??????н ????????,
???????? ???? ?????. ?????????? (a−ε , a+ε)????????ε−??????????
??????аa.
????????оan∈(a−ε , a+ε)???? ?? ?? ?????? ?? ??????о ??????:
a−ε < an< a+ε() −ε < an−a < ε() |an−a|< ε.
????????я 1.3 ??????оa?? ????????????а ?? ???????? {an},??о ??
????оε >0?????????? ?????? ????оN,?? ?? ????оn > Nе ????????о
|an−a|< ε.
???? ?? ???????? сliman=a??иlimn!1an=a??иan→a.
??????, ????о ??а ???????, ?? ?????????????.??????, ????о ?? е ???????, ??
???????????????.
5

6 ????А 1. ???????. ??????А ?? ??????Я
??????а 1.1????а ??????а ??????а ?????? е ??????????.
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??????????а ?????? ????оN,?? ?????? ??????е ?? ????????{an}с ??????
(?????)n??-????? ??N, ?.?. ?????? ?? ???????? ????о ???????, ?? ??????т в
ε−???????? ?? ??????аa.???????????? ????н ???? ???????? ??????т ????н ????
???????. ???? ????????, ?? ????м ?? ??????м ????аmиM??????, ??m < an< M
?? ????оn. 
??????а 1.2??оliman=a,limbn=bи ??о ?? ????оn????еan≤bn,??
a≤b.
????????????о: ?? ????????, ??a > bи ?? ??????мε=
a−b
2
>0.
?????? ?????????? ????оN1,?????? ?? ??иn > N1е ????????о
a−ε < an< a+ε.
?????????? ?????????? ????оN2,?????? ?? ??иn > N2е ????????о
b−ε < bn< b+ε.
?? ????????
b+ε=a−ε=
a+b
2
???????????? ??n > max(N1, N2)е ????????о
bn< b+ε=a−ε < an,
????????????. ????????????a≤b. 
?????????? ??????а е ???????? ???? ??????а (????) ?? ??????а ???????.
??????а 1.3??оliman= limbn=lиan≤cn≤bn?? ????оn,??limcn=l.
????????????о: ????ε >0.?????? ?????????? ????оN1,?????? ?? ??иn > N1е
????????о
l−ε < an< l+ε.
?????????? ?????????? ????оN2,?????? ?? ??иn > N2е ????????о
l−ε < bn< l+ε.
?????? ??n > max(N1, N2)е ????????о
l−ε < an≤cn≤bn< l+ε,
?.?.limcn=l. 
??????а 1.4??оliman=aиlimbn=b,??:
1.lim(an±bn) = liman±limbn=a±b
2.lim(an.bn) = liman.limbn=a.b
3. ??оbn6= 0?? ????оnиb6= 0,??lim
an
bn
=
a
b
.

7
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????????{an}е????????о ??????????, ??о ?? ????оnе ????????о
an≥an+1.
????????{an}е?????????? ??????,??о ?????????? ?????? ????оM,?? ??
????оnе ????????оan< M.
????????{an}е?????????? ??????,??о ?????????? ?????? ????оm,?? ??
????оnе ????????оm < an.
??????а 1.5????а ????????а и ?????????? ??????а ?????? е ???????.
????????а ????м ?? ???????? ?? ??е ?????????:
1. ????а ????????о ??????а и ?????????? ?????? ?????? е ???????.
2. ????а ????????о ?????????? и ?????????? ?????? ?????? е с??????.
????????я 1.4 ???????, ?? ????????{an}????и (?????????) ??м ???? ????-
??????т (an→+∞), ??о ?? ????о ??????????о ????оM?????????? ??????
????оN,?? ??n > N?? ??????an> M.
???????, ?? ????????{an}????и (?????????) ??м ????с ??????????т
(an→ ∞ ), ??о ?? ????о ??????????о ????оM?????????? ?????? ????о
N,?? ??n > N?? ??????an< M.
??????а 1.6??оliman=1,??lim
1
an
= 0и ???????, ??оliman= 0,??
lim
1
an
=1.
??????и ??????и
1.limn
k
=



+∞, k >0,
0, k <0,
1, k= 0.
2.limq
n
=



+∞, q >1,
0,|q|<1,
1, q= 1.
3. ??оliman=a >0,??lim
n
√
an= 1.
4.lim
n
√
n= 1.
5.lim

1 +
1
n

n
=e,?????? ??????оe≈2,7182?? ??????
???????? ????о.

8 ????А 1. ???????. ??????А ?? ??????Я
???????? ????????
??оliman=∞,??lim

1 +
1
an

an
=e.
????????:lim

1 +
1
n
2
−3

n
2
−3
=e.
??????
1.1???????? ????????аlim
n
3
−3n
2
+ 1
2n
3
−5n
2
+ 4n−3
.
??????е:
lim
n
3
−3n
2
+ 1
2n
3
−5n
2
+ 4n−3
= lim
n
3

1−
3
n
+
1
n
3

n
3

2−
5
n
+
4
n
2
−
3
n
3
=
= lim
1−
3
n
+
1
n
3
2−
5
n
+
4
n
2
−
3
n
3
=
1−0 + 0
2−0 + 0−0
=
1
2
.
1.2???????? ????????аlim
n
4
−3n+ 5
2n
2
−n−3
.
??????е:
lim
n
4
−3n+ 5
2n
2
−n−3
= lim
n
4

1−
3
n
3
+
5
n
4

n
2

2−
1
n
−
3
n
2
= lim
n
2

1−
3
n
3
+
5
n
4


2−
1
n
−
3
n
2
= +∞
1.3???????? ????????аlim
n
4
−2n+ 4
2n
5
−2n−3
.
??????е:
lim
n
4
−2n+ 4
2n
5
−2n−3
= lim
n
4

1−
2
n
3
+
4
n
4

n
5

2−
2
n
4
−
3
n
5
= lim

1−
2
n
3
+
4
n
4

n

2−
2
n
4
−
3
n
5
= 0

9
1.4???????? ????????аlim
√
n+ 1 +
√
n−1
√
n+ 1−
√
n−1
.
??????е:
lim
√
n+ 1 +
√
n−1
√
n+ 1−
√
n−1
= lim
`√
n+ 1 +
√
n−1

�√
n+ 1 +
√
n−1
∆
`√
n+ 1−
√
n−1

�√
n+ 1 +
√
n−1
∆=
= lim
`
n+ 1 + 2
√
n+ 1.
√
n−1 +n−1
∆
(n+ 1)−(n−1)
= lim
`
2n+ 2
√
n
2
−1
∆
2
=
= lim
“
n+
√
n
2
−1

= +∞
1.5???????? ????????аlim
`√
n−
√
n−1
∆
.
??????е:
lim
`√
n−
√
n−1
∆
= lim
`√
n−
√
n−1

�√
n+
√
n−1
∆
√
n+
√
n−1
=
= lim
n−(n−1)
√
n+
√
n−1
= lim
1
√
n+
√
n−1
= 0.
1.6???????? ????????аlim

1−
1
n

n
.
??????е:
lim

1−
1
n

n
= lim

n−1
n

n
= lim
1

n
n−1

n= lim
1

n−1 + 1
n−1

n=
= lim
1

1 +
1
n−1

n−1
1 +
1
n−1
=
1
e
=e
−1
,
??????lim

1 +
1
n−1

n−1
=eиlim

1 +
1
n−1

= 1.

10 ????А 1. ???????. ??????А ?? ??????Я
?????? ?? ????????????а ??????:
?? ?? ??????т ????????е ?? ???????? с ??щ ????:
1.7an=
15n−1
11 + 3n
???. 5.
1.8an=
(n−1)
2
2n
3
???. 0.
1.9an=
5n
3
−n
2
+n+ 3
n
3
+ 5n−1
???. 5.
1.10an=
2n
4
−n
3
+ 7n+ 15
n
5
−2n
3
+ 5n
2
−4
???. 0.
1.11an=
2n−1
5n+ 7
−
2n
3
+ 1
5n
3
+ 2
???. 0.
1.12an=
3
√
n
4
+ 5n−2
n−1
???.+∞.
1.13an=
√
n+ 3−
√
n ???. 0.
1.14an=
√
3n+ 5−
√
n−1 ???.+∞.
1.15an=
√
n
2
+ 1−
√
n−1
4
√
n
3
+n−
√
n+n
???. 1.
1.16an=
n!(n+ 3)
(n+ 2)!−(n+ 1)!
???. 0.
Сn!(????????? ??n ????????л) ?? ???????? ?????????????? ?? ????????????
????а ?? 1 ??n, ?.?.n! = 1.2.3. . . n. ?? ????????я0! = 1.

11
II. ??????я
????????о ???????????? ?????????? е ???? ?? ????????е ??????я в ????????????
и ????е ?????? ???? в ??????е ??????????.
????????я 1.5 ????Dе ??????о ????????о и ???? ?? ?????????? ??????о
?? ????о ????оx∈Dе ??????????о ?? ???? ?????? ????оf(x).?????? ?? ?????,
?? в ??????????оDе ???????? ???????.
???-????о ????????а ?????????? сy=f(x),??????xе??????????и????-
?????? ??????????, аyе?????????? ??????????.
??????????оD?? ?????????????????? ????????о ??и????????????
??????.??????????о ?? ?????? ????????иy=f(x), x∈D,?? ????????????
?? ????????и?? ????????а ??и????з?? ??????????оD.
??о в ????????а ????е ??????????а ??????????а ??????аOxy, ??????????о ??
????и с ??????????(x, f(x)),x∈D,?? ????????????а?? ????????аy=f(x)
??и????ас ????????еy=f(x).
????????аy=f(x)?? ???????????,??оf(−x) =f(x).????????а ?? ??????
??????я е?????????? ??????о ??????????а ?? .

12 ????А 1. ???????. ??????А ?? ??????Я
????????аy=f(x)?? ?????????????,??оf(−