Емпирични закони за изопроцеси в газове

Емпирични закони за изопроцеси в газове. Идеален газ. Основно уравнение на
молекулно-кинетичната теория за идеалния газ
Емпирични закони за изопроцеси в газове. Идеален газ
За описание на термодинамичните процеси е удобно да се използва някакъв модел, също както в
механиката (материална точка, идеално твърдо тяло). Оказва се, че по-голямата част от реалните газове
имат почти еднакво поведение в широк температурен интервал. В периода 1719 в. били установени
експериментално няколко закона, описващи поведението на газове с постоянна маса m при нормални
условия (не много високо налягане и не много ниска температура). Някои от тях се отнасят за
изопроцеси (процеси, които протичат при постоянна стойност на един от макроскопичните параметри –
налягане, обем или температура).
За изотермен процес (T = const): произведението от налягането и обема на определена маса газ при
постоянна температура е постоянна величина: constPV .
За изохорен процес (V = const): отношението на налягането към температурата на определена маса газ
при постоянен обем е постоянна величина: const
P
T
 .
За изобарен процес (P = const): отношението на обема към температурата на определена маса газ при
постоянно налягане е постоянна величина: const
V
T
 .
Експериментално е установена и зависимост между основните термодинамични параметри, валидна за
повечето газове:
(1) const
PV
T
 .
Експериментално е установен и фактът, че 1 mol от всеки газ заема един и същ обем и като се запише
(1) за 1 mol газ, с обем V, константата е една и съща за всички газове – наречена е универсална газова
константа R=8.31 J/(mol.K):
(2) PV
R
T
R
PT
V



 ,
т.е. налягането на 1 mol от всеки газ е пропорционално на температурата му (R и V са константи). Тъй
като масата m на газа е свързана с обема V чрез плътността  (m=V), а от друга страна може да се
изрази чрез броя N на молекулите и масата на една молекула mi (m=Nmi), получаваме:
(3) i
m V Nm  .
От същите съображения може да се получи подобна зависимост и за моларната маса (масата на 1 mol
газ) :
(4) Ai
V N m

    ,
тъй като броят на молекулите в 1 mol газ е NA. Ако разделим (3) на (4) можем да изразим моларния обем
V и като го заместим в (2) ще получим зависимостта за произволен обем газ: i
Ai
A
NmV
V N m
N
VV
N






A
R N N
P T kT
N V V


(5) PV NkT ,
където с k сме означили една нова константа, наречена константа на Болцман (k=R/NA=1.3810
-23
J/K).
Следователно, термодинамичните параметри на произволен газ са свързани само чрез броя на
молекулите и константата на Болцман, т.е. действително, всички газове се държат по един и същ начин.
Затова в молекулната физика и термодинамиката се използва моделът на идеалния газ. Това е такъв газ,
за който сме пренебрегнали потенциалната енергия на взаимодействие между молекулите и размерите
на самите молекули. Следователно, едноатомния идеален газ представлява система от материални точки,
Comment [И1]: Закон на Бойл–
Мариот - формулировка
Comment [И2]: Закон на Бойл–
Мариот - формула
Comment [И3]: Закон на Шарл -
формулировка
Comment [И4]: Закон на Шарл -
формула
Comment [И5]: Закон на Гей-Люсак -
формулировка
Comment [И6]: Закон на Гей-Люсак -
формула
Comment [I7]: Основно уравнение на
молекулно-кинетичната теория на
идеалния газ – формула 1
Comment [I8]: Идеален газ –
определение

между които няма сили на взаимотействие т.е. те могат да променят скоростта си само при удар с друга
молекула, а във времето между два удара се движат равномерно и праволинейно.
От основното уравнение на молекулно-кинетичната теория във вида (5) могат да се изведат всички
експериментално установени газови закони. Те са установени за газ с постоянна маса, т.е. с постоянен
брой частици (N=const). За изотермен процес (T=const) получаваме: constPV NkT
.
Това е законът на Бойл – Мариот за изотермен процес.
Ако разглеждаме изохорен процес (V=const), ще получим законът на Шарл: const
PV NkT
P Nk
TV


,
а за изобарен процес (P=const) – законът на Гей-Люсак: const
PV NkT
V Nk
TP


.
Уравнението за състоянието на идеалния газ (законът на Клапейрон – Менделеев) се получава от (5)
като заместим константата на Болцман и използваме (3) и (4): A
N
NkT RT
N
m
PV RT


.
Този закон е всъщност друг израз на основното уравнение за идеалния газ. Отношението m/ ни
дава броят на моловете на газа.
Основно уравнение на молекулно-кинетичната теория за идеалния газ
Експерименталният резултат (5) ни дава връзка между трите основни макроскопични параметъра на
произволен газ (а значи и на идеалния газ). Уравнението (5) е един израз на основното уравнение на
молекулно-кинетичната теория за идеалния газ. Нека да определим връзката между основните
параметри на идеалния газ от общи физични съображения и тяхната връзка с енергията му (в случая
само кинетична). Ще пресметнем налягането, което упражнява определено количество идеален
едноатомен газ върху стените на съда, в който се намира (фиг. 1). За опростяване на пресмятането ще
направим още няколко допускания. Ще предполагаме, че ударите на молекулите със стените на съда са
също идеално еластични, както между молекулите т.е. молекулата не отдава енергия на стената при
удара, а само променя скоростта си. Молекулите се движат хаотично във всички посоки, но ние ще
приемем, че те се движат само по осите X, Y и Z, като по всяка
ос се движат 1/3 от всички молекули, тъй като движението по
всички оси е равновероятно. Поради същата причина в
положителната посока на оста X (фиг. 1) се движат половината
молекули т.е. 1/6 от общия брой. За време t до площта S ще
достигнат молекули със скорост vi, които са се намирали в
цилиндъра с основа S и височина x=vit. Общият брой на
молекулите в този цилиндър NS се определя от произведението
на концентрацията на молекулите n=N/V и обема VS=Sx на
цилиндъра с основа S, т.е. броят на молекулите, които достигат
S за време t е NS/6. Налягането върху стените на съда се определя от нормалната сила Fn върху
единица площ (15 въпрос) и трябва да е едно и също във всяка точка от стените (закон на Паскал), т.е.
няма значение къде ще изберем площта S. Силата, с която всяка молекула с маса mi действа на стената
се определя от промяната на импулса на молекулата pi разделена на интервала от време t (4 въпрос), а
общата сила върху площта S ще получим като сумираме всички тези сили (4 въпрос), т.е. сумата от
промените на импулсите на всички молекули p разделена на t: 2
i i i
S S i
p m v
N nV nSx nSv t

   

Z
Y
x
S
X
фиг. 1
Comment [I9]: Уравнение за
състоянието на идеален газ – формула

2
2
1 1 1
2
6 6 3
1
3
S i i i i i i
n i i
p N p nSv t m v nm v S t
p
F nm v S
t
      



(6) 21
3
n
ii
F
P nm v
S
 .
Скоростта vi в (6) е скоростта на една молекула от газа. Казахме (15 въпрос), че в молекулната физика се
използват средни физични величини, които характеризират поведението на системата като цяло, тъй
като не можем да определим характеристиките на всяка молекула (в случая скоростта vi). Поради това
ще въведем понятието средна квадратична скорост, която се определя от следния израз: 2
1
кв
N
i
i
v
v
N



.
За да обобщим уравнение (6) за системата като цяло, трябва да заменим vi с кв
v : 22
кв кв
1 2 1 2 2
3 3 2 3 3
i i ki ki
N
P nm v n m v n E E
V
   

(7) 2
3
k
PV E ,
където 2
кв
1
2
ki i
E m v е средната кинетична енергия на една молекула, а k ki
E N E е пълната
кинетична енергия на всички молекули на системата. Получената връзка (7) е друг израз на основното
уравнение на молекулно-кинетичната теория за идеалния газ. Ако сравним (7) с (5) ще получим и
връзката между кинетичната енергия на газа (за идеалния газ това е и пълната му енергия E=Ek) и
температурата му: 2
3
3
2
k
k
E NkT
E E NkT


.
Средната кинетична енергия на една молекула можем да получим като разделим на броя на
молекулите N:
(8) 3
2
ki
E kT ,
т.е. средната кинетична енергия на постъпателното движение на една молекула зависи само от
абсолютната (термодинамичната) температура T на газа. Оттук можем да разберем и смисъла на
абсолютната нула (T=0 K) – това е такава температура, при която се прекратява постъпателното
движение на молекулите на газа. От (8) можем да намерим и връзката на средната квадратична скорост
на молекулите с температурата на газа: 2
кв
13
22
ki i
E m v kT
кв
3
i
kT
v
m

.
Коефициентът 3/2 в (8) не е случаен – той е свързан с броя на степените на свобода на молекулите (2
въпрос). Оказва се, че на всяка степен на свобода (възможност за независимо движение) съответства 1
2
kT
енергия. Тъй като разглеждахме едноатомен идеален газ, степените му на свобода са три –
постъпателно движение по трите координатни оси. Ако вземем двуатомен газ, неговите степени на
свобода са пет – такава молекула може и да се върти и коефициентът ще бъде 5/2. Така формула (8)
може да се обобщи за произволен идеален газ: 2
ki
j
E kT
,
където j е броят на степените на свобода на молекулите на газа.
Comment [I10]: Основно уравнение
на молекулно-кинетичната теория на
идеалния газ – формула 2