Енергия на еластична вълна

1

Енергия на еластична вълна. Интензитет на вълна. Диференциално вълново
уравнение
Енергия на еластична вълна. Интензитет на вълна
Източникът на трептения в една хомогенна еластична среда притежава определена енергия. В
процеса на разпространение на вълната тази енергия се пренася от една частица в пространството до
друга. При плоските еластичните вълни (тези, които се разпространяват в еластична среда) тя може да
се определи просто. Ако в разглежданата среда няма загуба на енергия, амплитудите на трептящите
частици са еднакви. Извършвайки хармонично трептене около равновесното си положение, всяка
частица от средата притежава пълна механична енергия: 221
2
ii
E m A

където mi е масата на частицата,   кръговата ѝ честота, а А  амплитудата на трептенето ѝ. Ако в обем
V от средата броят на трептящите частици е N, енергията на единица обем (плътността на енергията на
вълната) ще бъде:
(1) 2 2 2 211
22
ii
NE NmE
w A A
V V V
     
където  е плътността на средата.
Интензитетът на вълната е величина, която определя средната енергия, пренасяна от вълната за
единица време през единица площ, разположена перпендикулярно на посоката ѝ на разпространение:
(2) E
I
St
 .
Мерната единица за интензитет на вълна е ват на квадратен метър [W/m
2
]. Можем да изразим
интензитета на дадена вълна и чрез амплитудата ѝ, като използваме получената зависимост на
енергията в единица обем w от амплитудата A на вълната (1). Ако вълната се разпространява със
скорост v в цилиндричен слой от средата със сечение S, за време t ще се разпространи на разстояние
h=vt. Енергията, която се пренася през площта S за това време, ще бъде енергията на вълната в обема V
на цилиндъра с основа S и височина h: 221
2
E wV wSh A Svt   
,
а интензитетът на вълната в този обем от средата съгласно (2) ще бъде: 22
2211
22
v A St
I v A
St

   
.
Виждаме, че интензитетът на еластичната вълна е пропорционален на квадрата на амплитудата на
вълната. Такава зависимост е валидна за всички вълни (вкл. и за светлинните).
Диференциално вълново уравнение
Когато разглеждахме трептенията видяхме, че уравнението на трептенето е решение на някакво
обикновено диференциално уравнение от втори ред за x(t). Тук също можем да получим диференциално
уравнение от втори ред за y(x,t), чието решение е   , siny x t A t kx    , но тъй като имаме функция
на две променливи x и t, то ще бъде частно диференциално уравнение. Нека да намерим вторите
производни на   , siny x t A t kx    по променливите x и t:    
2
2
2
cos sin
yy
A t kx A t kx
tt

         


(3) 2
2
2
y
y
t

 
    
2
2
2
cos sin
yy
kA t kx k A t kx
xx

         


(4) 2
2
2
y
ky
x


 .

2

От (3) и (4) следва: 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
11
;
y y y k y
k x t x t
   
   
     

(5) 22
2 2 2
1yy
x v t


 ,
където сме заместили /k с фазовата скорост v. Уравнение (5) е частно диференциално уравнение от
втори ред и се нарича диференциално вълново уравнение на плоска вълна, която се разпространява по
оста Х. Решенията на (5) са функции от вида   , siny x t A t kx    , т.е. уравнения на плоска
хармонична вълна. Възможно е обаче да се направи и обратното заключение: ако една величина y(x,t)
зависи от времето и координатите така, че нейните частни производни удовлетворяват уравнение (5),
тази величина съответства на разпространяваща се плоска хармонична вълна по оста Х (такава вълна се
нарича още бягаща вълна).
В общия случай, когато една плоска хармонична вълна (x,y,z,t) се разпространява в произволна
посока в тримерното пространство, уравнение (5) се записва най-често по следния начин: 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
x y z v t
       
    
   
,
където  е отклонението от равновесното положение, а 2 2 2
2 2 2
x y z
  
   
  

се нарича оператор на Лаплас.