Интерференция на вълни

1

Интерференция на вълни. Стоящи вълни
Интерференция на вълни
Досега разглеждахме случаи, когато в дадена среда се разпространява само една вълна (от един
източник). Ако в средата се намират два или повече източника, в някои точки от пространството около
тях вълните се пресичат, т.е. тези точки ще участват едновременно в няколко трептения. Като имаме
предвид векторното представяне на трептенията, можем да използваме принципа на суперпозицията за
получаване на резултантните трептения на частиците в тези точки, т.е. за вълните също е валиден
принципът на суперпозицията. След точките на наслагването всяка от вълните продължава
разпространението си в своята посока независимо от другите. Опитът показва, че при пресичането на
две или повече вълни те не взаимодействат помежду си и поведението на всяка от тях е такова, каквото
би било и в отсъствие на другите (това се отнася само за среди, които не променят свойствата си от
разпространяващите се в тях вълнови процеси).
Ще разгледаме най-простия случай – когато в дадена точка се наслагват трептения, породени от две
плоски хармонични вълни  
 
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
cos cos
cos cos
y A A t k x
y A A t k x
      
      
,
разпространяващи се в еднородна среда, т.е. в тази точка трябва да съберем две хармонични трептения.
Ако тези трептенията са в една посока, можем лесно да получим амплитудата на резултантното
трептене:
(1) 22
1 2 1 2
2 cosA A A A A    .
Виждаме, че амплитудата A на резултантното трептене зависи от фазовата разлика на двете вълни в
тази точка:
(2)    
1 2 1 2 2 2 1 1 1 2
t k x k x            .
Ако фазовата разлика  зависи от времето t, във всеки момент от време и във всяка точка от
средата cos ще се изменя непрекъснато от минималната си стойност –1 до максималната 1 и
средното му значение за всеки краен интервал от време ще бъде 0. Тогава A
2
(а следователно и
енергията на вълната в единица обем w~A
2
) ще има една и съща стойност във всички точки от средата – 2 2 2
12
A A A
(съответно за интензитета I на вълната ще получим – I=I1+I2). Ако тази фазова разлика (2)
не зависи от времето, вълните се наричат кохерентни. Виждаме от (2), че това е възможно само ако
двете вълни имат еднакви честоти (1=2=, =2f). Тъй като средата е еднородна, скоростите на
разпространение на двете вълни (фазовите скорости) също трябва да са равни – v1=v2=v. Но в такъв
случай и вълновите числа на двете вълни трябва да са равни – k1=k2=k. Тогава (2) ще придобие вида:
(3)   
2 1 1 2
k x x      ,
т.е. фазовата разлика на двете кохерентни вълни зависи само разликата в пътищата на вълните до
дадената точка =x2–x1. Двете константи 1 и 2 зависят само от началния момент на двете трептениия,
породили вълните y1 и y2 (това са началните фази на тези трептения), и са едни и същи за всички точки
от средата. Ако можем да синхронизираме двата източника така, че да започнат трептенията си в един и
същ момент, началните им фази 1 и 2 ще бъдат равни и (3) ще се опрости:
(4)  
21
2
k x x k

      

Ако за дадена точка от средата  има такава стойност, че =2m, cos=1 и амплитудата A на
резултантното трептене (1) и интензитетът I на вълната в тази точка във всеки момент от време ще
бъдат: 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2
2
A A A A A A A A A
I I I I I I I
      
    
,
т.е. в тази точка се наблюдава усилване на трептенията (и следователно увеличаване на енергията в тази
област) в сравнение с наслагването на некохерентни вълни. В точките, в които  има такава стойност,
че =(2m+1), cos=–1, амплитудата на резултантното трептене (1) и интензитетът I на вълната във
всеки момент от време ще бъдат:

2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2
2
A A A A A A A A A
I I I I I I I
      
    

и ще наблюдаваме отслабване на трептенията (намаляване на енергията в тези области) в сравнение с
наслагването на некохерентни вълни. Явлението, при което се наблюдава преразпределение на
енергията на вълните в средата, вследствие наслагването на две или повече кохерентни вълни се нарича
интерференция. Точките, в които се наблюдава усилване на трептенията (увеличаване на енергията и
интензитета на вълната), се наричат интерференчни максимуми, а тези, в които се наблюдава
отслабване на трептенията (намаляване на енергията и интензитета на вълната) – интерференчни
минимуми. Местоположението на тези точки се определя само от разликата  в пътищата на двете (или
повече) вълни от източника до съответната точка. Лесно можем да получим условията за минимум и
максимум от (4). Интерференчен максимум се наблюдава в тези точки, за които =2m: 2
2m
2m m
2

    


   
,
т.е. в тези точки, за които разликата в пътищата на вълните е четно число полувълни. В точките, за
които =(2m+1), ще наблюдаваме интерференчен минимум:  
 
2
2m+1
2m+1
2

    



,
т.е. точките, за които разликата в пътищата на вълните е нечетно число полувълни.
Стоящи вълни
Ще разгледаме един интересен в практическо отношение случай на интерференция – когато се
наслагват две плоски кохерентни бягащи вълни с еднакви амплитуди, които се разпространяват в
противоположни посоки. Явлението се наблюдава при отражение на вълна от преграда, която е
перпендикулярна на посоката на разпространение на вълната, и се нарича стояща вълна. Нека да
определим резултата от интерференцията на две такива вълни – y1 и отразената вълна y2,
разпространяващи се в двете противоположни посоки на оста Х (допускаме, че в средата, в която се
разпространяват вълните, няма загуба на енергия):  
 
1
2
sin
sin
y A t kx
y A t kx
  
  
,
като в случая сме избрали за начален момент на трептенето моментът, в който източникът на
трептенията (с координата x=0) преминава през равновесното си положение (при t=0y1=0).
Резултантното трептене в произволна точка с координата x съгласно принципа на суперпозицията е:
(5) 12
2 cos sin *siny y y A kx t A t       ,
откъдето следва, че в резултат на интерференцията на двете вълни във всяка точка от средата с
фиксирана координата x ще се извършва хармонично трептене със същата честота , но с друга
амплитуда 2
* 2 cos 2 cos
x
A A kx A



,
която зависи само от координатата x. В точките от средата, в които cos(2x/)=0, y=0, т.е. в тях няма
трептения (A*=0). В точките, където cos(2x/)=1, амплитудата на трептенията е максимална, т.е.
А*=2A. Точките от средата, за които е изпълнено условието:
(6)  
2
2m 1
2
x
  

се наричат възли на стоящата вълна (A*=0), а тези, за които

3

(7) 2
2m
2
x
m

    

 върхове на стоящата вълна (А*=2A). От (6) и (7) непосредствено следва, че за всеки връх е изпълнено
x=m/2, а за всеки възел x=(m+1/2)/2. Лесно може да се покаже, че разстоянието между съседните
възли или върхове е равно на /2, а между всеки възел и връх  /4.
Характерните особености на стоящата вълна в сравнение с бягащата са няколко:
– В стоящата вълна амплитудите на трептене са различни в различните точки (А*=f(x)). Съществуват
възли и върхове на трептенията. В бягащата вълна всички амплитуди са еднакви (А не зависи от х);
– В областта, заключена между два съседни възела, всички точки от средата трептят с еднаква фаза;
при преход към съседната такава област фазите на трептенията се изменят с  (знакът пред sint се
променя съгласно (5) от „+” на „” или обратно: от „” на „+”, –sint=sin(t)). Следователно
точките от двете страни на даден възел трептят с противоположни фази. В бягащата вълна фазите на
трептене зависят от координатата x на точката ((t)=(tkx));
– При стоящата вълна не се пренася енергия, тъй като двете наслагващи се вълни пренасят еднаква
енергия в две противоположни посоки (амплитудите на двете вълни са еднакви); при бягащата вълна
се пренася енергия в посока на разпространението ѝ.