Интезитет на електростатично поле

Интезитет на електростатично поле. Примери – поле на точков заряд и електричен
дипол. Поток на вектора на интензитета на електростатично поле. Закон на Гаус за
потока на вектора на интензитета
Интезитет на електростатично поле. Примери – поле на точков заряд и електричен дипол
Въвеждането на величините линейна, повърхнинна и обемна плътност на зарядите донякъде
опростява определянета на силата на взаимодействие между заряди, които не са точкови (както ще се
убедим от примерите по-нататък), но пак не ни дава възможност да ползваме закона на Кулон. Ако
използваме принципа на суперпозицията и разделим зареденото тяло на елементарни точкови заряди,
можем да определим силите, с които всеки елементарен заряд действа на пробния заряд по закона на
Кулон и след това да ги сумираме векторно. Това обаче в много случаи е доста трудно математически и
не е оправдано да го правим за всеки пробен заряд, който внасяме в полето. Най-добре е да се опитаме
да намерим някаква характеристика на полето около заряда и да я използваме за определяне на силата,
действаща на всеки заряд, поставен в това поле. Ще направим това в най-простия случай, когато полето
се създава от точков заряд и ще обобщим резултата.
Нека да разгледаме точков заряд Q, в чието електростатично поле сме
внесли пробен заряд q (фиг. 1, на фигурата сме избрали Q>0). Пробният
заряд трябва да бъде много по малък от Q, за да не внася съществени
изменения в полето. Най-често пробният заряд се избира да е
положителен. Големината на силата на взаимодействие между двата
заряда ще бъде: 2q
Qq
Fk
r

.
Ако на същото разстояние r от Q внесем заряд с големина 2q, силата на взаимодействие ще бъде 2
пъти по голяма: 2 2
2
2
qq
Qq
F k F
r

.
Ако обаче вземем отношението на силата на взаимодействие към големината на пробния заряд,
виждаме, че то е еднакво и в двата случая:
(1) 2
2
2
qq
FF Q
kE
q q r
  
и не зависи от пробния заряд. Следователно това отношение E е характеристика на полето около заряда
Q и не зависи от това, дали на даденото място има друг заряд или не. Тъй като силата е векторна
величина, а зарядът – скаларна, E също трябва да е вектор. Тъй като сме избрали зарядът q да е
положителен, посоката на този вектор E съвпада с посоката на силата – ако зарядът Q>0, както е на фиг.
1, силата е на отблъскване (посоката на E е от заряда Q към безкрайност), а ако Q<0 – силата е на
привличане т.е. посоката на E е към заряда Q и следователно можем да запишем:
(2) F
E
q

Ако зарядът q е единичен (q=1 C), тогава силата по големина ще е равна на E. Така дефинираната
величина (2) E се нарича интензитет на електростатичното поле в дадена точка и се определя от силата,
която действа на единичен положителен заряд, поставен в тази точка. От (2) може да се определи и
мерната ѝ единица – [N/C]. Тъй като интензитетът на полето се дефинира чрез силата, той се нарича
още силова характеристика на полето. Получената формула (2) е валидна за полето на произволен заряд
(не само точков). Следователно като преобразуваме тази формула можем да пресмятаме силата, която
действа на заряд q, поставен в поле с интензитет E , независимо от това, какъв заряд създава това поле:
(3) F qE .
От (3) се вижда, че ако зарядът q<0, силата ще е противопосочна на интензитета на полето.
За онагледяване на електростатичното поле обикновено се използват силови линии на интензитета.
Те се чертаят по такъв начин, че векторът на интензитета да е насочен по допирателната на силовата
линия във всяка точка, а гъстотата им е пропорционална на големината на E . Видяхме, че интензитета
на полето на точков заряд е насочен винаги от заряда към безкрайност (при Q>0) или от безкрайност
към заряда (ако Q<0).
Q
q
фиг. 1 F
E

r
Comment [WU1]: Интензитет на
електростатично поле – формула
Comment [WU2]: Интензитет на
електростатично поле – определение

Следователно, силовите линии на полето на точков
заряд (фиг. 2) са радиални прави, започващи от заряда
към безкрайност (Q>0) или завършващи върху заряда
от безкрайност (Q<0). Често срещана конфигурация от
заряди е т.нар. електричен дипол (фиг. 3). Това са два
равни по големина и противоположни по знак заряда,
разположени близо един до друг. За да получим
силовите линии на полето на дипол ще използваме
принципа на суперпозицията (E също е векторна
величина) – във всяка точка векторната сума от двата интензитета E
 и E
 трябва да е по
допирателната към силова линия (фиг. 3). По подобен начин, като се използва принципа на
суперпозицията, може да се построят силовите линии на полето
за произволна комбинация от точкови заряди.
Поток на вектора на интензитета на електростатично поле.
Закон на Гаус за потока на вектора на интензитета
Видяхме, че за да намерим силата, действаща на заряд в
електростатично поле, е достатъчно да определим интензитета E
на полето. За електричен дипол (фиг. 3) пресмятането не е
трудно, но за пресмятане интензитета на електростатичното
поле, създадено от по-голяма система точкови електрични
заряди в пространството, е необходимо да се извърши сумиране
на интензитетите на електростатичните полета от всеки заряд. В
някои случаи такова сумиране се оказва доста сложно, като
имаме предвид, че ако имаме повече заряди, те може да не са в
една равнина. Задачата се опростява с въвеждането на
величината поток на вектора на интензитета (или просто поток
на интензитета) Е, която е пропорционална на броя на
силовите линии, пресичащи перпендикулярно дадена площ S.
Потокът на интензитета dЕ през физически малката площ dS (фиг. 4) се
определя от скаларното произведение на векторите E и dS :
(4) . s. o. c
nE
E dS E ndS E ddE SdS     .
Векторът n е единичен вектор, перпендикулярен на площта, а векторът на
площта dS е вектор с големина равна на площта dS и посока – по посока на
нормалата n т.е. .dS n dS . En е проекцията на вектора на интензитета E върху
нормалата n (En=Ecos). От (4) можем да определим мерната единица за поток на интензитета –
[N.m
2
/C]. За да получим потока на интензитета през произволна площ S, трябва да интегрираме (4) по
цялата площ:
(5) cos .
En
SS
E
S
d E dS E dS   .
Потокът на интензитета Е през затворена повърхност се пресмята лесно като се използва законът
на Гаус, който гласи, че потокът на интензитета Е през произволна затворена повърхност S е равен на
алгебричната сума на зарядите, заградени от тази повърхност, разделена на електричната константа 0
(ако заградения обем не е вакуум – 0):
(6) 1
00
cos ..
n
n
i
S
E
S S
i
E dS E
q
Q
E dS dS

    
   

 .
Като пример ще пресметнем интензитета на полето на точков заряд Q на разстояние r от заряда. Тъй
като можем да си избираме произволно повърхността, през която ще пресмятаме потока, в случая е
удобно да изберем сфера с център в заряда Q и радиус r. Показахме (фиг. 2), че векторът на интензитета
за положителен (отрицателен) заряд е насочен по правата излизаща от (влизаща в) заряда т.е. по радиуса
на избраната от нас сфера. Следователно проекцията En ще бъде равна на E (–E) и не зависи от мястото
фиг. 4

Фиг. 7.5

Фиг. 7.5

Фиг. 7.5 nE


nE


nE


nE

n


n


n


n

dS

dS

dS

dS







 E


E


E


E


+ –
фиг. 2
фиг. 3 E

E

EE E



Comment [WU3]: Силови линии на
интензитета на електростатично поле на
точков заряд
Comment [WU4]: Силови линии на
интензитета на електростатично поле на
електричен дипол
Comment [WU5]: Закон на Гаус –
формулировка
Comment [WU6]: Закон на Гаус –
формула

върху сферата. Тогава, като приложим закона на Гаус (6) и определението за поток на интензитета (5),
получаваме: 0
E
Q


– от закона на Гаус и 2
4π
En
S S S
E dS EdS E dS E r      
– от определението за поток на интензитета.
Като приравним и десните страни на двете равенства получаваме: 2
0
22
0
4π
1
4π
Q
Er
QQ
Ek
rr




,
т.е. получаваме (1). За отрицателен заряд проекцията на интензитета ще бъде със знак минус, но и
зарядът ще бъде със знак минус, така че големината на интензитета ще бъде същата.
Някои други важни приложения на закона на Гаус при получаване на интензитета на полето на по-
сложни конфигурации от заряди ще разгледаме в следващия въпрос.