Приложение на закона на Гаус

Приложение на закона на Гаус – безкрайна заредена равнина, две безкрайни
заредени равнини, заредена сфера
Ще използваме закона на Гаус за определяне на интензитета на електростатичното поле в няколко
случая, които са много важни от практическа гледна точка.
Първо ще определим интензитета около
безкрайна равнина (фиг. 1), равномерно
заредена с повърхнинна плътност на зарядите 
(dq
dS
 ). За определеност ще приемем, че
зарядът q е положителен и за опростяване на
записа ще приемем, че равнината е във вакуум.
Следователно посоката на интензитета E ще
бъде от равнината към безкрайност. Може да се
покаже, че векторът на интензитета е
перпендикулярен на равнината и еднакъв по
големина във всяка точка около нея. Ще
намерим големината му като използваме закона
на Гаус. Избираме си повърхнината, през която
ще пресмятаме потока на интензитета E, да бъде цилиндър, когото равнината пресича успоредно на
основите (можем да си избираме произволна повърхнина). Потокът на интензитета през цилиндъра
можем да пресметнем по два начина – от определението и от закона на Гаус. От определението следва: 12
12
12
1 2 0
. . . .
cos cos cos
02
l
l
E
S S S S
S S S
SS
E dS E dS E dS E dS
E dS E dS E dS
E dS E dS ES ES ES
     
      
     
   



Интегралът по затворената повърхност S (цялата повърхнина на цилиндъра) може да се раздели на три
части – по основите S1 и S2 и по околната повърхнина Sl. Тъй като векторът E е перпендикулярен на
равнината, той е еднопосочен с вектора на елементарната площ dS за S1 и S2 (cos=1), но е
перпендикулярен на dS за околната повърхнина Sl (cos=0, третият интеграл е 0). Тъй като големината
на E не зависи от мястото, на което се намираме, можем да изнесем E пред интегралите, а площите на
двете основи са равни (S1=S2=S0). Следователно, можем да изразим големината на интензитета:
(1) 0
2
E
E
S

 ,
а потока E ще определим от закона на Гаус:
(2) 10
0 0 0
n
i
i
E
q
Sq


   
  
 ,
тъй като равнината е заредена равномерно и тогава 0
qS е зарядът, който обхваща цилиндричната
повърхност. Като заместим (2) в (1) окончателно получаваме: 0
2
E



.
Виждаме, че големината на интензитета наистина не зависи от мястото около равнината, на което се
намираме, а само от повърхнинната плътност на зарядите, с които е заредена равнината. Ако около
равнината имаме среда с относителна диелектрична проницаемост , интензитета ще бъде: 0
2
E



.
Полето около равнината е еднородно и посоката на интензитета е от нея към безкрайност. Ако
равнината е заредена с отрицателен заряд, посоката на вектора на интензитета ще бъде в обратна посока
S1
S0
S2 E

Sl
 dS
dS
dS
фиг. 1

– от безкрайност към равнината, със същата големина, ако повърхнинната плътност  е със същата
стойност.
По-интересен в практическо отношение е случаят, когато имаме две равнини, заредени с еднаква
повърхнинна плътност  но с противоположни знаци (фиг. 2). Това е принципното устройство на
плоския кондензатор. За да получим големината на интензитета на полето в областите 1, 2 и 3 ще
използваме принципа на суперпозицията: 2
0
13
0
0
2
2
EE
EEE








,
тъй като големините на
интензитетите на двете
полета са равни, в
областите 1 и 3 интен-
зитетите на полетата на
двете равнини са с
противоположни посо-
ки и векторната им
сума е 0, а в област 2 са
еднопосочни и големи-
ните се събират. Следо-
вателно електростатич-
но поле има само
между двете равнини и
неговата големина е два
пъти по-голяма, откол-
кото около една равни-
на. Посоката на полето
между равнините е от
положително към отри-
цателно заредената рав-
нина. Ако между двете
равнини имаме диелек-
трик с относителна ди-
електрична проницае-
мост , интензитетът на
полето ще бъде: 2
0
E



.
Друг интересен слу-
чай е този, в който заря-
дът q е разпределен рав-
номерно по
повърхността на сфера
с радиус R0 (фиг. 3).
Пак ще предположим за
определеност, че
зарядът, разпределен
върху сферата е
положителен и сферата
се намира във вакуум.
Ще определим
интензитета на полето в
точка, която се намира
извън сферата на
разстояние R>R0 от
фиг. 3
S
R
r
R0 dS
R
E
E



фиг. 2 E

E

E


1 2 3

центъра ѝ и в точка, намираща се вътре в сферата на разстояние r<R0 от центъра. Пак ще използваме
потока на интензитета, като го пресметнем чрез закона на Гаус и определението за поток на интензитета.
Първо ще определим интензитета на полето на разстояние R от центъра на сферата (извън сферата).
Може да се покаже, че силовите линии на полето са прави линии, перпендикулярни на повърхността ѝ,
започващи от сферата и продължаващи до безкрайност. Следователно, интензитетът на полето R
E е
насочен по радиуса и е еднакъв по големина във всяка точка на разстояние R. В такъв случай е удобно
да изберем затворената повърхност, през която ще пресмятаме потока на интензитета, да бъде сфера с
радиус R. Тя обхваща цялата сфера с радиус R0 и следователно, целият заряд q. Тогава от определението
за потока на интензитета E получаваме: 2
. cos 4 π
R
E R R R R
S S S
E dS E dS E dS E R       
,
тъй като векторът на площта dS също е перпендикулярен на повърхността на сферата (cos=1) и ER не
зависи от R и може да се изнесе пред интеграла. Стойността на интеграла по цялата затворена
повърхност S е точно площта на сферата (S=4R
2
). Оттук можем да определим големината на
интензитета чрез потока:
(1) 2
4π
R
E
R
E
R

 .
Потокът на интензитета ще определим от закона на Гаус:
(2) 1
00
R
n
i
i
E
q
q

  

 .
Като заместим (2) в (1) получаваме за големината на интензитета:
(3) 2 2 2
00
1
4π 4π
R
q q q
Ek
R R R
  
 .
Виждаме, че (3) има същия вид, както формулата за интензитет на точков заряд, разположен в
центъра на сферата. Следователно, електростатичното поле на равномерно заредена сфера извън
сферата е идентично с това на точков заряд, разположен в центъра на сферата. Т.е. в този случай можем
да заменим сферата с точков заряд и да прилагаме закона на Кулон.
В случая, когато търсим интензитета на полето на разстояние r (вътре в сферата), можем по същия
начин да си изберем затворената повърхност да бъде сфера с радиус r и да пресметнем потока на
интензитета E през тази повърхност: 1
0
0
r
n
i
i
E
q

  


,
тъй като в този случай сферата не обхваща никакви заряди (те са на повърхността на сферата с радиус
R0>r), т.е. интензитета на полето Er също ще е нула. Този факт се използва при т.нар. електростатична
защита на помещения, машини и съоръжения от външни електростатични полета (Фарадеев кафез).