Ръководство за решаване на задачи по ДИС

Âàñèë Ãðîçäàíîâ
Êðàñèìèð Éîðäæåâ
Àíêà Ìàðêîâñêà
ÐÚÊÎÂÎÄÑÒÂÎ
ÇÀ ÐÅØÀÂÀÍÅ ÍÀ ÇÀÄÀ×È
ÏÎ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈ ÀÍÀËÈÇ
ÏÚÐÂÀ ×ÀÑÒ
Áëàãîåâãðàä
2012

Ñúäúðæàíèå
1. Åëåìåíòè îò òåîðèÿ íà ìíîæåñòâàòà: : : : : : : : : : : : : : : :8
1.1 Åëåìåíòè îò òåîðèÿ íà ìàòåìàòè÷åñêàòà ëîãèêà . . . . . . 8
1.2 Îñíîâíè ôîðìóëè â ëîãèêàòà íà ñúæäåíèÿòà . . . . . . . . 11
1.3 Ðàâíîçíà÷íîñò è èìïëèöèðàíå . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Çíàöèòå çà îáùíîñò è ñúùåñòâóâàíå (êâàíòîðè) . . . . . . 15
1.5 Ìíîæåñòâà è îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå íà ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . 22
2. Ìàòåìàòè÷åñêà èíäóêöèÿ: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :24
2.1 Ìàòåìàòè÷åñêà èíäóêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Ñóìèðàíå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Íþòîíîâ áèíîì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. Áåçêðàéíè ÷èñëîâè ðåäèöè: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :48
3.1 ×èñëîâà ðåäèöà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.1 Ïîíÿòèå çà ÷èñëîâà ðåäèöà . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.2 Îãðàíè÷åíè è íåîãðàíè÷åíè ðåäèöè . . . . . . . . . 49
3.2 Ãðàíèöà íà ÷èñëîâà ðåäèöà. Ñâîéñòâà è äåéñòâèÿ ñúñ ñõî-
äÿùè ðåäèöè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Ãðàíèöà íà ÷èñëîâà ðåäèöà. . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Áåçêðàéíî ìàëêè è áåçêðàéíî ãîëåìè ðåäèöè . . . . 54
3.2.3 Íåîïðåäåëåíè èçðàçè . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.4 Ãðàíèöè íà ðàöèîíàëíè ôóíêöèè íàn. . . . . . . . 57
3.2.5 Ãðàíèöè íà ðàöèîíàëíè ôóíêöèè íàan. . . . . . . 60
3.2.6 Ãðàíèöè íà èðàöèîíàëíè ôóíêöèè íàn. . . . . . . 61
3.2.7 Ãðàíèöè ñq
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Ñõîäèìîñò è íåðàâåíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Ìîíîòîííè ðåäèöè. ×èñëîòîe. . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 Ôóíäàìåíòàëíè ðåäèöè. Êðèòåðèè íà Êîøè . . . . . . . . . 76
3.6 Îáùè çàäà÷è îò ÷èñëîâè ðåäèöè . . . . . . . . . . . . . . . 79

4 Ñúäúðæàíèå
4. ×èñëîâè ðåäîâå: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :85
4.1 Ñõîäèìîñò íà ÷èñëîâ ðåä è íåãîâàòà ñóìà . . . . . . . . . . 85
4.2 Íåîáõîäèìî óñëîâèå çà ñõîäèìîñò íà ÷èñëîâ ðåä. . . . . . . 94
4.3 Ðåäîâå ñ êîìïëåêñíè ÷ëåíîâå . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Êðèòåðèé íà Êîøè çà ñõîäèìîñò íà ÷èñëîâ ðåä . . . . . . . 99
4.5 Ðåäîâå ñ íåîòðèöàòåëíè ÷ëåíîâå . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5.1 Ïðèçíàê çà ñðàâíÿâàíå íà ðåäîâå . . . . . . . . . . . 104
4.5.2 Ìåòîä íà îòäåëÿíå íà ãëàâíà ÷àñò . . . . . . . . . . 109
4.5.3 Ïðèçíàê íà Äàëàìáåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.5.4 Ïðèçíàê íà Êîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.5 Ïðèçíàê íà Ðààáå-Äþàìåë . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.5.6 Ïðèçíàöè íà Äèðèõëå è Àáåë . . . . . . . . . . . . . 124
4.6 Àáñîëþòíî è íåàáñîëþòíî ñõîäÿùè ðåäîâå . . . . . . . . . . 127
4.6.1 Àáñîëþòíî ñõîäÿùè ðåäîâå . . . . . . . . . . . . . . 127
4.6.2 Çíàêîïðîìåíëèâè ðåäîâå-ïðèçíàê íà Ëàéáíèö . . . 129
4.6.3 Óñëîâíî ñõîäÿùè ðåäîâå . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.7 Îáùè çàäà÷è îò ñõîäèìîñò ðåäîâåòå: . . . . . . . . . . . . . 135
5. Ôóíêöèè íà åäíà íåçàâèñèìà ïðîìåíëèâà: : : : : : : : : : : : :140
5.1 Ôóíêöèÿ. Îñíîâíè ïîíÿòèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.1.1 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2 Ãðàíèöà íà ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.2.1 Ãðàíèöà íà ôóíêöèÿ ïðè íåîãðàíè÷åíî íàðàñòâàíå
íà àðãóìåíòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.2 Ãðàíèöè íà íÿêîè àëãåáðè÷íè ôóíêöèè, êîãàòî àð-
ãóìåíòúò êëîíè êúì êðàéíà ãðàíèöà . . . . . . . . . 153
5.2.3 Íÿêîè ïðèëîæåíèÿ íà ðàâåíñòâîòîlim
x!0
sinx
x
= 1. . 155
5.2.4 Ñðàâíÿâàíå ðàñòåíåòî íà ôóíêöèèòåa
x
; x

;lnx. . 158
5.2.5 Íÿêîè ïðèëîæåíèÿ íà ðàâåíñòâîòî
lim
x!1

1 +
1
x

x
=e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2.6 Íÿêîè ïðèëîæåíèÿ íà ðàâåíñòâîòîlim
x!0
a
x
�1
x
= lna166
5.2.7 Íÿêîè ïðèëîæåíèÿ íà ðàâåíñòâîòîlim
x!0
ln(1 +x)
x
= 1168
5.2.8 Íÿêîè ïðèëîæåíèÿ íà ðàâåíñòâîòî
lim
x!0
(1 +x)
a
�1
x
=a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.3 O-ñèìâîëèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.3.1 O-ñèìâîëèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Ñúäúðæàíèå 5
5.3.2 Ìåòîä íà îòäåëÿíå íà ãëàâíè ÷àñòè íà ôóíêöèèòå
çà íàìèðàíå íà ãðàíèöè . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.4 Íåïðåêúñíàòîñò íà ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.5 Ðàâíîìåðíà íåïðåêúñíàòîñò íà ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . 181
6. Äèôåðåíöèàëíî ñìÿòàíå íà ôóíêöèÿ íà åäíà íåçàâèñèìà ïðîìåí-
ëèâà: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :183
6.1 Ïðîèçâîäíà è äèôåðåíöèàë íà ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . 183
6.1.1 Îïðåäåëåíèå çà ïðîèçâîäíà . . . . . . . . . . . . . . 183
6.1.2 Ïðàâèëà çà äèôåðåíöèðàíå . . . . . . . . . . . . . . 184
6.1.3 Ãåîìåòðè÷åí ñìèñúë íà ïðîèçâîäíàòà íà ôóíêöèÿ . 193
6.1.4 Äèôåðåíöèàë íà ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.1.5 Ïðîèçâîäíè è äèôåðåíöèàëè îò ïî-âèñîê ðåä . . . . 196
6.1.6 Îñíîâíè òåîðåìè íà äèôåðåíöèàëíîòî ñìÿòàíå . . . 203
6.1.7 Ôîðìóëà íà Òåéëîð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.1.8 Ðàçêðèâàíå íà íåîïðåäåëåíîñòè (ïðàâèëà íà Ëîïèòàë)215
6.2 Èçñëåäâàíå íà ôóíêöèÿ íà åäíà ðåàëíà ïðîìåíëèâà . . . . 221
6.2.1 Ïðèçíàöè çà ìîíîòîííîñò íà ôóíêöèÿ . . . . . . . . 221
6.2.2 Åêñòðåìóìè íà ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.2.3 Èçïúêíàëîñò è âäëúáíàòîñò íà ãðàôèêàòà íà ôóí-
êöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.2.4 Àñèìïòîòè íà ãðàôèêàòà íà ôóíêöèÿ . . . . . . . . 226
6.2.5 Çàäà÷è îò èçñëåäâàíå íà ôóíêöèè . . . . . . . . . . 226
6.2.6 Èçñëåäâàíå íà êðèâè â ïîëÿðíè êîîðäèíàòè . . . . 232
6.2.7 Èçñëåäâàíå íà êðèâè, çàäàäåíè ïàðàìåòðè÷íî . . . 238
7. Èíòåãðàëíî ñìÿòàíå íà ôóíêöèè íà åäíà íåçàâèñèìà ïðîìåíëèâà245
7.1 Íåîïðåäåëåí èíòåãðàë. Íåïîñðåäñòâåíî èíòåãðèðàíå . . . . 245
7.2 Âíàñÿíå ïîä çíàêà íà äèôåðåíöèàë . . . . . . . . . . . . . . 251
7.3 Ïðåñìÿòàíå íà èíòåãðàëè îò âèäà
R
(Ax+B)dx
ax
2
+bx+c
è
R
(Ax+B)dx
p
ax
2
+bx+c
255
7.4 Èíòåãðèðàíå ïî ÷àñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.5 Ïðåñìÿòàíå íà èíòåãðàëè îò âèäà
R
sin
m
xcos
n
xdx. . . . . 263
7.6 Èíòåãðèðàíå ÷ðåç ñìÿíà íà ïðîìåíëèâàòà . . . . . . . . . . 267
7.7 Èíòåãðèðàíå íà ðàöèîíàëíè ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . 270
7.8 Èíòåãðèðàíå íà íÿêîè èðàöèîíàëíè ôóíêöèè . . . . . . . . 278
7.8.1 Èíòåãðàëè îò ðàöèîíàëíà ôóíêöèÿ íàxè íà ðàäè-
êàëè íà åäíà è ñúùà äðîáíî-ëèíåéíà ôóíêöèÿ íà
x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.8.2 Áèíîìåí äèôåðåíöèàë . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
7.8.3 Ñóáñòèòóöèè íà Îéëåð . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

6 Ñúäúðæàíèå
7.9 Èíòåãðèðàíå íà òðàíñöåäåíòíè ôóíêöèè . . . . . . . . . . . 289
7.9.1 Ïðåñìÿòàíå íà èíòåãðàëè îò âèäà
R
R(sinx;cosx)dx289
7.9.2 Ïðåñìÿòàíå íà èíòåãðàëè îò âèäà
R
sinxsinxdx;
R
cosxcosxdxè
R
sinxcosxdx. . . . . . . . . . 293
7.9.3 Ïðåñìÿòàíå íà èíòåãðàëè îò âèäà
R
R(shx;chx)dx. 294
7.10 Îáùè çàäà÷è îò èíòåãðàëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
8. Ðèìàíîâ èíòåãðàë îò ôóíêöèÿ íà åäíà íåçàâèñèìà ïðîìåíëèâà302
8.1 Èíòåãðóåìîñò â ðèìàíîâ ñìèñúë . . . . . . . . . . . . . . . 302
8.2 Ôîðìóëà íà Ëàéáíèö-Íþòîí . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.3 Èíòåãðèðàíå ïî ÷àñòè ïðè îïðåäåëåíèòå èíòåãðàëè . . . . 306
8.4 Èíòåãðèðàíå ÷ðåç ñóáñòèòóöèÿ ïðè îïðåäåëåíèòå èíòåãðà-
ëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
8.5 Îáùè çàäà÷è îò îïðåäåëåíè èíòåãðàëè . . . . . . . . . . . . 321
8.6 Ëèöà íà ðàâíèííè ôèãóðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
8.7 Äúëæèíà íà ðàâíèííà äúãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
8.8 Îáåì íà ðîòàöèîííè òåëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
8.9 Ëèöà íà ðîòàöèîííè ïîâúðõíèíè . . . . . . . . . . . . . . . 359
8.10 Ïðèëîæåíèå íà îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàë çà ðåøàâàíå íà çà-
äà÷è îò ôèçèêàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
8.10.1 Çàäà÷è, ñâúðçàíè ñ êðèâè ðàâíèííè ëèíèè . . . . . 376
8.10.2 Çàäà÷è, ñâúðçàíè ñ ðàâíèííè ôèãóðè . . . . . . . . 381
8.10.3 Çàäà÷è, ñâúðçàíè ñ òåëà â ïðîñòðàíñòâîòî . . . . . . 389

ÏÐÅÄÃÎÂÎÐ
Íàñòîÿùåòî ðúêîâîäñòâî çà ðåøàâàíå íà çàäà÷è ïî ìàòåìàòè÷åñêè àíà-
ëèç - ïúðâà ÷àñò å íàïèñàíî â ñúîòâåòñòâèå ñ ó÷åáíàòà ïðîãðàìà çà òà-
çè äèñöèïëèíà, ïî êîÿòî ñå ðàáîòè ïðåç ïîñëåäíèòå ãîäèíè â Þãîçà-
ïàäíèÿ óíèâåðñèòåò
"
Íåîôèò Ðèëñêè\- Áëàãîåâãðàä. Ðúêîâîäñòâîòî å
ïðåäíàçíà÷åíî çà ñòóäåíòèòå îò ñïåöèàëíîñòèòå
"
Ôèçèêà\,
"
Ïåäàãîãèêà
íà îáó÷åíèåòî ïî ôèçèêà è ìàòåìàòèêà\,
"
Ïåäàãîãèêà íà îáó÷åíèåòî ïî
ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà\,
"
Èíôîðìàòèêà\è
"
Êîìïþòúðíè ñèñòåìè
è òåõíîëîãèè\â ÞÇÓ
"
Íåîôèò Ðèëñêè\. Íî ðàçáèðà ñå, òî ìîæå äà
ñå ïîëçâà è îò äðóãè ñòóäåíòè îò ÞÇÓ
"
Íåîôèò Ðèëñêè\, êàêòî è îò
ñòóäåíòè îò äðóãè ÂÓÇ-îâå, êîèòî çàäúëáî÷åíî èçó÷àâàò äèñöèïëèíàòà
ìàòåìàòè÷åñêè àíàëèç.
Èçäàâàíåòî íà ðúêîâîäñòâîòî å ïðîäèêòóâàíî îò ñòðåìåæà íà àâòî-
ðèòå äà ïðåäñòàâÿò â ñèñòåìàòèçèðàí âèä ðåøàâàíåòî íà çàäà÷è ïî ìà-
òåìàòè÷åñêè àíàëèç- ïúðâà ÷àñò è îòðàçÿâà îïèòà â òîâà îòíîøåíèå íà
ïðåïîäàâàòåëèòå îò êàòåäðà
"
Ìàòåìàòèêà\íà ÞÇÓ
"
Íåîôèò Ðèëñêè\.
Ðúêîâîäñòâîòî å ðàçðàáîòåíî êàêòî ñëåäâà:
- Äîö. ä-ð Âàñèë Ãðîçäàíîâ- ãëàâè âòîðà, ñåäìà è îñìà;
- Äîö. ä-ð Êðàñèìèð Éîðäæåâ- ãëàâè ïúðâà, òðåòà è ÷åòâúðòà;
- Ãë. àñ. Àíà Ìàðêîâñêà- ãëàâè ïåòà è øåñòà.
Ðúêîâîäñòâîòî èçëèçà ïîä îáùàòà íàó÷íà ðåäàêöèÿ íà äîö. ä-ð Âàñèë
Ãðîçäàíîâ.
Áëàãîäàðèì íà ðåöåíçåíòèòå ïðîô. äìí Êèðèë ×èìåâ è äîö. ä-ð Ìå-
òîäè Àñëàíñêè çà íàïðàâåíèòå ïðåïîðúêè, ñ êîèòî ïîìîãíàõà äà ñå ïî-
äîáðè ðúêîïèñà íà ðúêîâîäñòâîòî.
05. 03. 2012 ã. Àâòîðèòå
Áëàãîåâãðàä

1. ÅËÅÌÅÍÒÈ ÎÒ ÒÅÎÐÈß ÍÀ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀÒÀ
1.1 Åëåìåíòè îò òåîðèÿ íà ìàòåìàòè÷åñêàòà ëîãèêà
Ïîíÿòèåòîñúæäåíèåå ïúðâè÷íî ïîíÿòèå â ëîãèêàòà è çà íåãî íå å
âúçìîæíî äà ñå äàäå ñòðîãà íàó÷íà äåôèíèöèÿ. Ùå ñå çàäîâîëèì ñ ôàê-
òà, äà ïðèåìåì, ÷å ñúæäåíèåòî å ñàìîñòîÿòåëíà ìèñúë, ëîãè÷åñêè èçðàç,
èçêàçàí íà íÿêîé îò ñúùåñòâóâàùèòå åçèöè, è ÷ðåç êîÿòî ñå ïîòâúðæäàâà
èëè îòðè÷à íåùî. Íàïðèìåð ìèñëèòå:
- äíåñ âðåìåòî å äúæäîâíî;
- Cîôèÿ å ñòîëèöà íà Áúëãàðèÿ;
- óðàâíåíèåòîx
2
�5x+ 6 = 0èìà êîðåíè ÷èñëàòà 2 è 3;
- êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòîx
2
+ 1 = 0ñà êîìïëåêñíè ÷èñëà;
ñà ñúæäåíèÿ.
 ìàòåìàòè÷åñêàòà ëîãèêà ïîä ñúæäåíèå ñå ðàçáèðà òâúðäåíèå, êîåòî
ìîæå äà áúäå âÿðíî èëè íåâÿðíî. Ñúæäåíèåòî "òðè ïëþñ ÷åòèðè å ðàâíî
íà ñåäåì" å âÿðíî, à ñúæäåíèåòî "÷èñëîòî 20 íå ñå äåëè íà 2" å íåâÿðíî
ñúæäåíèå.
Çà äà ñå õàðàêòåðèçèðà åäíî ñúæäåíèå êàòî âÿðíî èëè íåâÿðíî, ñå
âúâåæäà òàêà íàðå÷åíàòàâÿðíîñòíà ôóíêöèÿ íà ñúæäåíèåòî. Íåêàpå
ñúæäåíèå. Íà ñúæäåíèåòîpñå ñúïîñòàâÿ â ñúîòâåòñòâèå òî÷íî åäíî îò
äâåòå ÷èñëà 0 èëè 1, êàòî íà íåâÿðíî ñúæäåíèå ñå ïðèïèñâà âÿðíîñòíà
ñòîéíîñò 0, à íà âÿðíî ñúæäåíèå ñå ïðèïèñâà âÿðíîñòíà ñòîéíîñò 1.
Ôóíêöèÿòàf;êîÿòî ïðèåìà ñòîéíîñò 1 èëè 0, â çàâèñèìîñò îò
âåðíîñòòà èëè íåâåðíîñòòà íà ñúæäåíèåòî p;ñå íàðè÷à âÿðíîñòíà
ôóíêöèÿ íà ñúæäåíèåòî, ò. å.
f(p) =

1;àêî p å âÿðíî ñúæäåíèå
0;àêî p å íåâÿðíî ñúæäåíèå.
Ñúæäåíèÿòà ìîãàò äà áúäàò åëåìåíòàðíè èëè ñëîæíè. Åëåìåíòàðíî
å òîâà ñúæäåíèå, íèêîÿ ÷àñò íà êîåòî íå å ñúæäåíèå, ò. å. îò íåãî íå ìîæå
äà ñå îòäåëè äðóãî ñúæäåíèå. Íàïðèìåð "äâå å ÷åòíî ÷èñëî". Ñëîæíî
ñúæäåíèå å òîâà ñúæäåíèå, íÿêîè ÷àñòè íà êîåòî ïðåäñòàâëÿâàò ñúùî
òàêà ñúæäåíèå. Íàïðèìåð "÷èñëîòî 20 ñå äåëè íà 4 è ÷èñëîòî 20 ñå äåëè

1.1. Åëåìåíòè îò òåîðèÿ íà ìàòåìàòè÷åñêàòà ëîãèêà 9
íà 5" å ñëîæíî, òúé êàòî ÷àñòèòå ìó "÷èñëîòî 20 ñå äåëè íà 4" è
"÷èñëîòî 20 ñå äåëè íà 5" ñà åëåìåíòàðíè ñúæäåíèÿ.
Îò åëåìåíòàðíèòå ñúæäåíèÿ, ñ ïîìîùòà íà òúé íàðå÷åíèòå ëîãè÷åñêè
âðúçêè, êúì êîèòî ñå îòíàñÿò ÷àñòèöàòàíå, ñúþçèòåè,èëè, äóìèòåàêî
: : : ;òî: : : ;òîãàâà è ñàìî òîãàâà êîãàòî, ñå ïîëó÷àâàò ñëîæíè òâúð-
äåíèÿ. Îïåðàöèèòå, ÷ðåç êîèòî îò íÿêîëêî åëåìåíòàðíè ñúæäåíèÿ, ñå
ñúçäàâàò ñëîæíè ñúæäåíèÿ, ñå íàðè÷àòëîãè÷åñêè îïåðàöèè. Ùå ðàçãëå-
äàìå ñëåäíèòå ëîãè÷åñêè îïåðàöèè:
Îòðèöàíèå íà ñúæäåíèå:Îòðèöàíèåòî íà äàäåíî ñúæäåíèåpñå îç-
íà÷àâà ñp(÷åòå ñå íåp), è å ñúæäåíèå, êîåòî å