Ръководство за решаване на задачи по математическо оптимиране

Ðúêîâîäñòâî
çàðåøàâàíå
íàçàäà÷è
ïîìàòåìàòè÷åñêî
îïòèìèðàíå
Ñîôèÿ1989

Ðúêîâîäñòâîòî ñúäúðæà çàäà÷è îò îñíîâíèòå äÿëîâå íà
ìàòåìàòè÷åñêîòî îïòèìèðàíå, êàêòî è ìàòåìàòè÷åñêè ìîäåëè
íà èêîíîìèêî-ïðîèçâîäñòâåíè è äðóãè çàäà÷è.  íà÷àëîòî íà
âñåêè äÿë ñà èçëîæåíè íåîáõîäèìèòå çà ðåøàâàíåòî íà çà-
äà÷èòå îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìè è ïîäðîáíî ðåøåíè ïðèìåðè.
Äàäåíè ñà îòãîâîðè, óïúòâàíèÿ èëè ðåøåíèÿ íà ïî÷òè âñè÷êè
çàäà÷è.
Ïðåäíàçíà÷åíî å çà ñòóäåíòèòå îò Ôàêóëòåòà ïî ìàòåìà-
òèêà è èíôîðìàòèêà ïðè Ñîôèéñêèÿ óíèâåðñèòåò, íî ìîæå
äà ñå ïîëçâà è çà ñàìîñòîÿòåëíà ðàáîòà îò ñòóäåíòè îò äðóãè
ôàêóëòåòè, àñïèðàíòè, èêîíîìèñòè, èíæåíåðè è äðóãè ñïåöè-
àëèñòè, êîèòî ðàáîòÿò â îáëàñòòà íà ìàòåìàòè÷åñêîòî îïòè-
ìèðàíå.
Îäîáðåíî çà ïå÷àò îò Ìèíèñòåðñòâîòî íà íàóêàòà, êóëòóðàòà è ïðîñâåòà-
òà ñ ðåøåíèå  13100194 îò 1.ÕII.1988 ã.
©
Ãåîðãè Õðèñòîâ Èâàíîâ
Âëàäà Õðèñòîâà Êþ÷óêîâà
Ðóìåíà Íèêîëîâà Êàëòèíñêà
Çäðàâêà Êîñòàäèíîâà Êàðàìèòåâà
Àñåí Ëþáîìèðîâ Äîí÷åâ
Éîðäàí Ãåîðãèåâ Ìèòåâ
Ïåòúð Áîðèñîâ Ìèëàíîâ
Íèêîëàé Êèðîâ Êèðîâ
Îãíÿí Èâàíîâ Êóí÷åâ
1989
c/o Jusauthor, Soa
51

Ñúäúðæàíèå
Ïðåäãîâîð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Íåëèíåéíî îïòèìèðàíå 7
Îòãîâîðè è ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Èçïúêíàëî îïòèìèðàíå 16
Îòãîâîðè è ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Ëèíåéíî îïòèìèðàíå 32
1 Çàäà÷à íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå. Ñâîéñòâà . . . . . . . . . .
2 Äâóìåðíà çàäà÷à íà ËÎ. Ãåîìåòðè÷åí ìåòîä çà ðåøàâàíå . . .
3 Êàíîíè÷íà çàäà÷à íà ËÎ. Îïîðíè ïëàíîâå íà ÊÇ . . . . . . .
4 Ñâîéñòâà íà îïîðíèòå ïëàíîâå íà ÊÇ . . . . . . . . . . . . . .
5 Ñèìïëåêñ-ìåòîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Ðåøàâàíå íà ÊÇ ïðè íåèçâåñòåí íà÷àëåí áàçèñ . . . . . . . . .
7 Äâîéíñòâåíîñò â ËÎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Äâîéíñòâåí ñèìïëåêñ-ìåòîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Îòãîâîðè è ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Ñïåöèàëíè êëàñîâå çàäà÷è íà ëèíåéíîòî îïòèìèðàíå 129
1 Êëàñè÷åñêà òðàíñïîðòíà çàäà÷à . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Ëèíåéíè îïòèìèçàöèîííè çàäà÷è âúðõó ïîëèìàòðîèäè . . . .
Îòãîâîðè è ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Ìàòðè÷íè èãðè 156
1 Ïðèìåðè çà ìàòðè÷íè èãðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Ñåäëîâè òî÷êè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Ñìåñåíè ñòðàòåãèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Ãåîìåòðè÷íî ðåøàâàíå íà èãðè2m(n2) . . . . . . . . . .
5 Ìàòðè÷íè èãðè è ëèíåéíî îïòèìèðàíå . . . . . . . . . . . . .
3

Ñúäúðæàíèå
Îòãîâîðè è ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Öåëî÷èñëåíî îïòèìèðàíå 183
1 Îáùà ôîðìóëèðîâêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Ìåòîäè çà ðåøàâàíå íà îáùàòà çàäà÷à íà ÖËÎ . . . . . . . . .
Îòãîâîðè è ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Õèïåðáîëè÷íî (äðîáíî-ëèíåéíî) îïòèìèðàíå 198
1 Çàäà÷à íà õèïåðáîëè÷íîòî îïòèìèðàíå. Ñâîéñòâà . . . . . . .
2 Ãåîìåòðè÷íî ðåøàâàíå íà çàäà÷àòà íà õèïåðáîëè÷íîòî îïòè-
ìèðàíå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 ×èñëåíî ðåøàâàíå íà çàäà÷àòà íà õèïåðáîëè÷íîòî îïòèìèðàíå
Îòãîâîðè è ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Êâàäðàòè÷íî îïòèìèðàíå 219
1 Êðàòêè ïðåäâàðèòåëíè ñâåäåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Ôîðìóëèðîâêà è ñâîéñòâà íà çàäà÷àòà íà êâàäðàòè÷íîòî îïòè-
ìèðàíå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Ìåòîäè çà ðåøàâàíå íà çàäà÷àòà íà êâàäðàòè÷íîòî îïòèìèðàíå
Îòãîâîðè è ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Íÿêîè ïî-òåñíè êëàñîâå îïòèìèçàöèîííè çàäà÷è. Àëãîðèòìè 248
Îòãîâîðè è ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Ìàòåìàòè÷åñêè ìîäåëè íà îïòèìèçàöèîííè çàäà÷è 259
1 Ìàòåìàòè÷åñêè ìîäåëè íà èêîíîìèêî-ïðîèçâîäñòâåíè çàäà÷è
2 Ìàòåìàòè÷åñêè ìîäåëè íà äðóãè îïòèìèçàöèîííè çàäà÷è . . .
Îòãîâîðè è ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Áèáëèîãðàôèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 18 þëè 2010 ã.

Ïðåäãîâîð
Ðúêîâîäñòâîòî çà ðåøàâàíå íà çàäà÷è ïî ìàòåìàòè÷åñêî îïòèìèðàíå å
íàïèñàíî âúç îñíîâà íà ïðîãðàìàòà çà êóðñà ïî ìàòåìàòè÷åñêî îïòèìèðàíå
çà ñòóäåíòèòå îò Ôàêóëòåòà ïî ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà ïðè Ñîôèéñêèÿ
óíèâåðñèòåò è îáîáùàâà äúëãîãîäèøíèÿ îïèò íà ëåêòîðèòå è ðúêîâîäèòåëè-
òå íà óïðàæíåíèÿ ïî òàçè äèñöèïëèíà. Çàñòúïåíè ñà îñíîâíèòå äÿëîâå íà
ìàòåìàòè÷åñêîòî îïòèìèðàíå: ëèíåéíî (ãë. 3), êâàäðàòè÷íî (ãë. 8), õèïåðáî-
ëè÷íî (ãë. 7), öåëî÷èñëåíî (ãë. 6), ìàòðè÷íè èãðè (ãë. 5). Ðàçãëåäàíè ñà íÿêîè
ñïåöèàëíè êëàñîâå îïòèìèçàöèîííè çàäà÷è (ãë. 9), âúçíèêíàëè â ñåêòîðÈç-
ñëåäâàíå íà îïåðàöèèòåêúìÈíñòèòóòà ïî ìàòåìàòèêà ñ Èç÷èñëèòåëåí
öåíòúð ïðè ÁÀÍïðè ìîäåëèðàíåòî íà êîíêðåòíè ïðàêòè÷åñêè ïðîáëåìè. Çà
òÿõíîòî ðåøàâàíå ñà ïðåäëîæåíè îðèãèíàëíè, åôåêòèâíè àëãîðèòìè.
Âñÿêà ãëàâà íà ðúêîâîäñòâîòî çàïî÷âà ñ îñíîâíèòå îïðåäåëåíèÿ è òåîðå-
ìè, íåîáõîäèìè çà ðåøàâàíåòî íà çàäà÷èòå â íåÿ, è âêëþ÷âà ãîëÿì áðîé ïîä-
ðîáíî ðåøåíè ïðèìåðè. Òîâà äàâà âúçìîæíîñò òî äà áúäå èçïîëçâàíî è çà ñà-
ìîñòîÿòåëíà ïîäãîòîâêà. Ìàòåìàòè÷åñêèòå ìîäåëè íà èêîíîìèêî-ïðîèçâîä-
ñòâåíè è äðóãè ñèñòåìè îò ïîñëåäíàòà ãëàâà ùå äîïðèíåñàò çà èçÿñíÿâàíå
ãîëÿìîòî çíà÷åíèå íà îïòèìèçàöèîííèòå çàäà÷è çà ïðàêòèêàòà (îòòóê è çà
îñìèñëÿíå èíòåðåñà íà ñïåöèàëèñòèòå êúì ìàòåìàòè÷åñêîòî îïòèìèðàíå).
Ïðèëîæåíèåòî
1
êúì òðåòà ãëàâà ïðåäñòàâëÿâà êðàòêî ðúêîâîäñòâî çà èçïîëç-
âàíå íà íàé-ðàçïðîñòðàíåíèÿ ó íàñ ïðîãðàìåí ïðîäóêò (çà ìàøèíèòå îò ÅÑ)
çà ðåøàâàíå íà ëèíåéíè îïòèìèçàöèîííè çàäà÷è è ùå ïîìîãíå íà èíòåðå-
ñóâàùèòå ñå îò ðåøàâàíåòî íà êîíêðåòíè ïðàêòè÷åñêè çàäà÷è íà ëèíåéíîòî
îïòèìèðàíå.
Ïîðàäè îãðàíè÷åíèÿ îáåì íà ðúêîâîäñòâîòî íå ñà çàñòúïåíè ÷èñëåíè
ìåòîäè çà ðåøàâàíå íà ïî-îáùè íåëèíåéíè çàäà÷è çà áåçóñëîâíà è óñëîâ-
íà îïòèìèçàöèÿ. Ïðîáëåìèòå, ñâúðçàíè ñ òåçè ìåòîäè, ñà ãëàâíî òåîðåòè÷íè
(ñõîäèìîñò, ñêîðîñò íà ñõîäèìîñò è äð.) è ñå ðàçãëåæäàò â êóðñîâåòå ïî
ìàòåìàòè÷åñêî îïòèìèðàíå. Ïî ñúùàòà ïðè÷èíà íå ñà ïîìåñòåíè ìàòåðèà-
ëè çà çàïîçíàâàíå íà ÷èòàòåëÿ ñ âúçìîæíîñòè çà èçïîëçâàíå íà ñúâðåìåííà
èç÷èñëèòåëíà òåõíèêà çà ðåøàâàíå íà äðóãè îïòèìèçàöèîííè çàäà÷è îñâåí
ëèíåéíèòå (â ïðèëîæåíèåòî êúì òðåòà ãëàâà). Òîçè ïðîïóñê ìîæå äà áúäå
ïîïúëíåí â ñëåäâàùî èçäàíèå íà ðúêîâîäñòâîòî.
Çà óäîáñòâî ïðè ñúñòàâÿíåòî íà ðúêîâîäñòâîòî å âúçïðèåòî: íîìåðàöèÿòà
íà îïðåäåëåíèÿ, òåîðåìè ôîðìóëè (öèòèðàíè â òåêñòà), ïðèìåðè è òàáëèöè å
ñàìîñòîÿòåëíà ïî ãëàâè, íîìåðàöèÿòà íà çàäà÷èòå å ñàìîñòîÿòåëíà çà âñåêè
ïàðàãðàô, à òàçè íà ôèãóðèòå å îáùà çà öÿëîòî ðúêîâîäñòâî. Çà îçíà÷àâàíå íà
1
Íå å äèãèòèçèðàíî.
5

Ïðåäãîâîð
âåêòîðè (êàêòî è íà êîìïîíåíòèòå èì, ñíàáäåíè ñ äîëíè èíäåêñè) ñà èçïîë-
çâàíè ìàëêè ëàòèíñêè áóêâè, à íà ñêàëàðè  ìàëêè ãðúöêè áóêâè. Íóëåâèÿò
âåêòîð å îçíà÷åí ñ ÷èñëîòî íóëà
2
, êàòî îò êîíòåêñòà ñå ïîäðàçáèðà çà êîé îò
äâàòà îáåêòà ñòàâà äóìà. Çà ïðàçíîòî ìíîæåñòâî å èçïîëçâàí ñèìâîëúò;.
Îòäåëíèòå ãëàâè ïîäãîòâèõà, êàêòî ñëåäâà:ïúðâà ãëàâà Àñåí Äîí÷åâ è
Îãíÿí Êóí÷åâ,âòîðà ãëàâà Âëàäà Êþ÷óêîâà,òðåòà ãëàâà Ðóìåíà Êàë-
òèíñêà,÷åòâúðòà ãëàâà Ïåòúð Ìèëàíîâ è Âëàäà Êþ÷óêîâà,ïåòà ãëàâà
Çäðàâêà Êàðàìèòåâà,øåñòà ãëàâà Éîðäàí Ìèòåâ,ñåäìà ãëàâà Çäðàâêà
Êàðàìèòåâà,îñìà ãëàâà Âëàäà Êþ÷óêîâà,äåâåòà ãëàâà Ãåîðãè Õðèñòîâ,
äåñåòà ãëàâà Âëàäà Êþ÷óêîâà.Ïðèëîæåíèåòîïîäãîòâè Íèêîëàé Êèðîâ.
Èçêàçâàìå èñêðåíà áëàãîäàðíîñò íà âñè÷êè ñâîè êîëåãè, êîèòî ïîìîã-
íàõà ïðè ñúñòàâÿíåòî íà ðúêîâîäñòâîòî. Îñîáåíî áëàãîäàðíè ñìå íà Åâãåíè
Áåëîãàé è Òàòÿíà Ïàðõîìåíêî, àñïèðàíòè â ñåêòîðÈçñëåäâàíå íà îïåðàöè-
èòåêúìÈíñòèòóòà ïî ìàòåìàòèêà ñ Èç÷èñëèòåëåí öåíòúð ïðè ÁÀÍ, çà
òúðïåíèåòî, ñ êîåòî íàáðàõà òåêñòà è ôîðìóëèòå íà ïåðñîíàëíèÿ êîìïþòúð
Ïðàâåö-16.
Ïðè ïîäãîòîâêàòà íà òåêñòà ñà èçïîëçâàíè òåêñòîôîðìàòèðàùàòà ïðîãðà-
ìà ÔÎÐÌÀÒÅÊÑÒ [1.6], ãðàôè÷íèÿò øðèôòîâ ôèëòúð LETTRIX è ìàòðè÷åí
ïðèíòåð STAR SR-15.
Àâòîðèòå
2
 òîâà èçäàíèå ïîëó÷åðíà, êàêòî è âñè÷êè âåêòîðè.
6 18 þëè 2010 ã.

Ãëàâà 1
Íåëèíåéíîîïòèìèðàíå
Íåêà ñà äàäåíè ïîäìíîæåñòâîXíà åâêëèäîâîòî ïðîñòðàíñòâîR
n
è ôóí-
êöèÿf, äåôèíèðàíà âX, ñúñ ñòîéíîñòè ðåàëíè ÷èñëà. Îáùàòà çàäà÷à íà
ìàòåìàòè÷åñêîòî îïòèìèðàíå ñå ôîðìóëèðà ïî ñëåäíèÿ íà÷èí: Äà ñå íàìå-
ðè òàêàâà òî÷êàx

îò ìíîæåñòâîòîX, ÷å çà âñÿêîx2Xäà å èçïúëíåíî
f(x

)f(x).
Åäíî îò êðàòêèòå çàïèñâàíèÿ íà òàçè ôîðìóëèðîâêà å
(1) f(x)!min;x2X:
Çàäà÷àòà çà ìàêñèìóìf(x)!max,x2X, å åêâèâàëåíòíà íà çàäà÷àòà çà
ìèíèìóì(�f(x))!min,x2X. Çàäà÷èòå çà ìèíèìóì è ìàêñèìóì ñå íàðè÷àò
çàäà÷è çà åêñòðåìóì èëè åêñòðåìàëíè çàäà÷è.
 òàçè ãëàâà ùå ðàçãëåæäàìå çàäà÷è, â êîèòî ìíîæåñòâîòîXñå çàäàâà ñ
êðàåí áðîé ðàâåíñòâà è íåðàâåíñòâà
(2) X=fx2R
n
:gi(x)0;i=1; : : : ;m;hj(x)=0;j=1; : : : ;sg;
êúäåòîgi,i=1; : : : ;m, èhj,j=1; : : : ;s, ñà ôóíêöèè, äåôèíèðàíè âR
n
, ñúñ
ñòîéíîñòè âR. Ùå ïðåäïîëàãàìå, ÷å ôóíêöèèòåf,gièhjèìàò äàäåíè àíàëè-
òè÷íè ñâîéñòâà (íåïðåêúñíàòîñò, äèôåðåíöóåìîñò), íî íå ñà íåïðåìåííî îò
îïðåäåëåí âèä (ëèíåéíè, êâàäðàòè÷íè è ò. í.). Çà äà ðàçëè÷èì òîçè êðúã çàäà-
÷è îò îñòàíàëèòå ïî-ñïåöèôè÷íè êëàñîâå, ãîâîðèì çà çàäà÷è íàíåëèíåéíîòî
îïòèìèðàíå.
Ïî-íàòàòúê â èçëîæåíèåòî ùå èçïîëçâàìå è äðóãè ôîðìè íà çàïèñâàíå
íà çàäà÷à (1), íàïðèìåðminff(x) :x2Xg. ÀêîXå îò âèäà (2), ïîíÿêîãà ùå
èçïîëçâàìå ñëåäíîòî çàïèñâàíå:
(3) f(x)!min
18 þëè 2010 ã. 7

ïðè óñëîâèÿ
gi(x)0;i=1; : : : ;m;
hj(x)=0;j=1; : : : ;s;
x2R
n
:
Ùå ïðèïîìíèì íÿêîè êëàñè÷åñêè òåîðåìè îò àíàëèçà.
Òåîðåìà 1(Âàéåðùðàñ).ÍåêàXå íåïðàçíî êîìïàêòíî ïîäìíîæåñòâî íà
R
n
è ôóíêöèÿòàfå ïîëóíåïðåêúñíàòà îòäîëó âúâ âñÿêà òî÷êàx2X. Òîãàâà
f(x)äîñòèãà ìèíèìóìà ñè âX.
Ñëåäñòâèå 1.ÍåêàXå íåïðàçíî çàòâîðåíî ïîäìíîæåñòâî íàR
n
,få
ïîëóíåïðåêúñíàòà îòäîëó âXôóíêöèÿ è îñâåí òîâà çà âñÿêà ðåäèöàfxkg,
xk2X,k=1;2; : : :, çà êîÿòîlim
k!+1
kxkk= +1, å èçïúëíåíîlim
k!+1
f(xk)= +1.
Òîãàâà çàäà÷àòà (1) èìà ðåøåíèå.
Òåîðåìà 2(Ôåðìà).Íåêàx

å òî÷êà íà ëîêàëåí ìèíèìóì íàfâR
n
è
íåêàfå äèôåðåíöóåìà â òî÷êàòàx

. Òîãàâàf
0
(x

)=0, êúäåòî ñf
0
(x

)=
(f
0
x1
(x

); : : : ;f
0
xn
(x

))îçíà÷àâàìå ïðîèçâîäíàòà (ãðàäèåíòà) íàfâ òî÷êàòàx

.
Òåîðåìàòà íà Ôåðìà åíåîáõîäèìî óñëîâèåçà ëîêàëåí åêñòðåìóì.Äîñ-
òàòú÷íî óñëîâèåñå äàâà îò ñëåäíàòà
Òåîðåìà 3.Íåêàfå äâà ïúòè íåïðåêúñíàòî äèôåðåíöóåìà â îêîëíîñò
íà òî÷êàòàx

è îñâåí òîâà
1.f
0
(x

)=0;
2. f
00
(x

)=

@
2
f(x

)
@xi@xj

(nn)
å ïîëîæèòåë-
íî äåôèíèòíà.
Òîãàâàx

å òî÷êà íà ëîêàëåí ìèíèìóì íàfâR
n
.
Íåîáõîäèìî óñëîâèå çà ëîêàëåí åêñòðåìóì çà çàäà÷àòà ñ îãðàíè÷åíèÿ
ðàâåíñòâà ñå äàâà îò
Òåîðåìà 4(Ëàãðàíæ).Íåêàx

å òî÷êà íà ëîêàëåí ìèíèìóì çà ôóíêöèÿòà
fïðè óñëîâèÿhi(x)=0,i=1; : : : ;s, ôóíêöèèòåfèhiñà äèôåðåíöóåìè â
îêîëíîñò íà òî÷êàòàx

è ïðîèçâîäíèòå èì ñà íåïðåêúñíàòè â òàçè îêîëíîñò.
Òîãàâà ñúùåñòâóâàò ðåàëíè ÷èñëà0,1; : : : ; s, íå åäíîâðåìåííî ðàâíè íà
íóëà, òàêèâà ÷å00,
0f
0
(x

)+
sX
i=1
ih
0
i
(x

)=0:
8 18 þëè 2010 ã.

Ãëàâà 1. Íåëèíåéíî îïòèìèðàíå
×èñëàòà0,i,i=1; : : : ;s, ñå íàðè÷àòìíîæèòåëè íà Ëàãðàíæ, à òåîðå-
ìà 4 å èçâåñòíà êàòîïðèíöèï íà Ëàãðàíæ.
Àêî âåêòîðèòåh
0
i
(x

),i=1; : : : ;s, ñà ëèíåéíî íåçàâèñèìè, òî0,0.
Ùå îòáåëåæèì, ÷å âåêòîðúò(0; 1; : : : ; s)ìîæå äà áúäå èçáðàí ñ ò