Събиране на хармонични трептения в две взаимно перпендикулярни направления

Събиране на хармонични трептения в две взаимно перпендикулярни направления.
Частни случаи. Фигури на Лисажу
Събиране на хармонични трептения в две взаимно перпендикулярни направления
Ако трептенията, в които участва материалната точка, са във взаимно перпендикулярни направления,
движенито ѝ в общия случай не е хармонично трептене. Материалната точка се движи по някаква
криволинейна траектория, в зависимост от честотите, амплитудите и началните фази на двете трептения.
Получените траектории при различни съотношения на честотите на двете трептения се наричат фигури
на Лисажу. В този случай е по-лесно вместо да използваме векторни диаграми да определим
уравнението на траекторията на движение. Ние ще разгледаме пак най-простият случай – когато
честотите на двете трептения са равни. Нека уравненията на движение на двете трептения са:
(4)  
cos
cos
x A t
y B t

    .
Това е параметричното уравнение на кривата в равнината XY. За да получим зависимостта y(x) в
явен вид, трябва да изключим времето t от двете уравнения (4):  
22
2
22
cos
sin 1 cos 1 cos 1 sin
cos cos cos sin sin
x
t
A
x x x y
tt
A A A B
y
t t t
B





          


        


. 2
2
2 2 2
2 2 2
cos 1 sin
2 cos cos sin sin
y x x
B A A
y y x x x
B B A A A
     
     
     
     
     
.
(5) 22
2
2 cos sin
y y x x
B B A A
   
   
   
   
Това е уравнение на елипса, чиято голяма полуос сключва някакъв ъгъл с оста X. Следователно
траекторията на движение на материалната точка е елипса, параметрите на която зависят от разликата 
в началните фази на двете трептения и техните амплитуди.
Частни случаи. Фигури на Лисажу
Ще разгледаме няколко частни случая.
1. Разликата в началните фази на двете трептения =0. В този случай (5) ще бъде: 22
20
0
y y x x
B B A A
yx
BA
B
yx
A
   
  
   
   


.
Това е уравнение на права в І и ІІІ квадрант, която минава през началото на координатната система и
сключва ъгъл arctan
B
A с оста X. Това е хармонично трептене по тази права с амплитуда 22
AB с
уравнение: 22
cosr A B t  
.
2. Разликата в началните фази на двете трептения =. Този случай се отличава от предишния
само по положението на правата – тя ще бъде във ІІ и ІV квадрант:

22
20
0
y y x x
B B A A
yx
BA
B
yx
A
   
  
   
   

 .
Уравнението на движение ще има същия вид, но началното положение ще бъде друго.
3. Разликата в началните фази на двете трептения =/2. От (5) следва, че движението ще бъде
по елипса, чиито главни оси съвпадат с координатните оси: 22
1
yx
BA
   

   
   
.
Двата случая се различават само по посоката на движение на точката по елипсата – при  = /2
движението е по часовниковата стрелка, а при  = –/2 е в обратна посока. Ако амплитудите на двете
трептения са равни, A=B=R, резултантното движение ще бъде по окръжност с радиус R.
При плавна промяна на фазовата разлика от 0 до 2, траекторията се променя и преминава от права в
І и ІІІ квадрант през наклонена елипса, елипса по координатните оси, права в ІІ и ІV квадрант пак
наклонена елипса и т.н. до права в І и ІІІ квадрант при =2.
Случаят, който разгледахме (при равни кръгови честоти на двете трептения), е най-простият случай
на фигурите на Лисажу, които се получават при наслагване на взаимно перпендикулярни трептения. В
общия случай фигурите на Лисажу са криви, които са решение на системата параметрични уравнения:  
1
2
cos
cos
x A t
y B t

   

при различни съотношения на кръговите честоти 1/2.
Когато съотношението на честотите е рационално число, напр. 1:2, 3:2, 3:4 и т.н. се получават по-
сложни затворени криви, които също могат да се наблюдават на осцилоскоп.