Самоиндукция и взаимна индукция

Самоиндукция и взаимна индукция. Енергия на магнитното поле
Самоиндукция и взаимна индукция
Видяхме, че при всяка промяна на магнитния поток през дадена площ се индуцира ЕДН и ако там се
намира затворен контур, по него ще протече ток. Нека да разгледаме един затворен контур C, по който
тече ток I (фиг. 1). В пространството около контура се създава магнитно поле.
Ако променим големината на тока, ще се промени и магнитната индукция на
полето около проводника, а оттам и магнитният поток през площта S на контура.
В такъв случай (1) в контура трябва да се индуцира ЕДН ℰi, което ще доведе до
протичане на допълнителен ток в проводника, посоката на който е съобразена с
правилото на Ленц. Това явление, при което в затворен контур се индуцира ЕДН
вследствие на промяната на тока в самия контур, се нарича самоиндукция. Нека
да определим от какво зависи това ЕДН. Първо ще изразим магнитния поток
през площта S като функция на протичащия ток I в най-простия случай, когато
имаме равнинен контур. В този случай магнитните индукции dB на всички елементи dl от контура са
еднопосочни (можем просто да сумираме големините им) и общата индукция B е перпендикулярна на
площта на контура (, cos 1B dS   за всеки елемент dS от площта). От закона на Био – Савар можем
да запишем: 0
2
sin
4
r
CC
B dB I dl
r
 



,
тъй като токът I е еднакъв през всички елементи dl от контура C, можем да го изнесем пред интеграла.
През площта S на контура преминава магнитен поток:
(1) 00
22
sin sin
. cos
44
rr
B
S S S S C S C
B
B dS B dS BdS I dl dS dl dS I
rr
LI
       
          
  

 
       ,
където с L сме означили величината:
(2) 0
2
sin
4
r
SC
L dl dS
r
 
 


 ,
която се нарича индуктивност на контура. Както се вижда от (2), индуктивността L на даден контур
зависи само от размерите и формата на контура (разстоянието от елемента от контура dl до елемента от
площта dS – r и ъгълът между векторите dl и r – ) и магнитната проницаемост r на средата. Ако
контурът не изменя геометричните си характеристики, индуктивността му е константа и е една от
основните му характеристики (също както напр. електричното съпротивление или електричният
капацитет). Тогава от закона на Фарадей и (1) за индуцираното в контура ЕДН получаваме (ако
контурът не се деформира, L=const):
(3) B
i
d
dt
dI
L
dt
  

 ,
т.е. индуцираното ЕДН зависи само от скоростта на промяна на тока в контура. От (3) можем да
определим и мерната единица за индуктивност – [V.s/A], която е наречена хенри [H] на името на
американския физик Дж. Хенри.
От зависимостта (3) могат да се направят няколко извода. Ако индуктивността L на контура е голяма
(напр. намотка), дори и малки промени на тока могат да предизвикат индуциране на големи ЕДН,
съответно протичане на големи индуцирани токове през контура. Ако индуктивността на контура е
малка, големи ЕДН могат да възникнат при бърза промяна на големината на тока – напр. при включване
или изключване на електрическа верига – индуцираните токове, които протичат в този случай, се
наричат съответно екстраток на включване и изключване. Те могат да бъдат причина за повредата на
електроуреди, особено екстратокът на изключване, който, по правилото на Ленц, е в същата посока,
както токът във веригата и следователно общият ток, който протича, може да бъде много по-голям от
допустимия за съответния уред (напр. електрическа крушка). Затова, вместо обикновени ключ-
прекъсвачи, понякога се използват потенциометрични ключове – така напрежението и токът във
веригата се увеличават и намаляват плавно и се намаляват екстратоковете на включване и изключване.
фиг. 1 dl

C r

 B
dS


dS
I
S

Ще разгледаме по-подробно още един случай, в който възниква индуцирано ЕДН – това е
последният експеримент на Фарадей с двете намотки, като пак ще разгледаме опростен вариант, с два
контура C1 и C2 вместо намотки, разположени близо един до друг (фиг. 2). Нека по контура C1 тече ток
I1. Около проводника се създава магнитно поле и неговите силови линии ще пронизват площта на
контура C2. Ако променим големината на тока I1, магнитният поток 12 през площта на C2 също ще се
промени – в контура C2 ще възникне индуцирано ЕДН, пропорционално на промяната на потока 12, и
ще протече ток. Точно това е
наблюдавал Фарадей в последната
серия експерименти. ЕДН ℰi2, което
се индуцира в контура C2 при
промяна на тока I1 в контура C1,
можем да определим аналогично на
самоиндуцираното ЕДН (3):
(4) 12 1
2 12i
d dI
M
dt dt

    .
Явлението, при което в единия от два токови контура, разположени на близко разстояние един от
друг, възниква ЕДН вследствие изменението на големината на тока в другия контур наричаме взаимна
индукция. Коефициентът M12 се нарича индуктивност на контура C2 спрямо контура C1 и зависи от
формата и размерите на двата контура, взаимното им разположение и магнитната проницаемост  на
средата. Ако по контура C2 тече ток I2, промяната на този ток ще предизвика промяна на магнитния
поток 21 през контура C1 и също както в горния случай ще се индуцира ЕДН ℰi1 в контура C1:
(5) 21 2
1 21i
d dI
M
dt dt

    .
Може да се покаже, че ако средата не е феромагнитна, коефициентите M21 и M12 в (4) и (5) са равни
M21=M12=M. Коефициентът M се нарича взаимна индуктивност на двата контура и зависи само от
геометричните им характеристики и взаимното им разположение, както и от магнитната проницаемост
на средата. От (5) се вижда, че мерната ѝ единица е същата както за L – хенри [H].
Явлението взаимна индукция също намира голямо приложение в техниката. На този принцип
работят много машини и апарати, напр. трансформаторите.
Енергия на магнитното поле
Около всеки проводник, по който протича електричен ток, се създава магнитно поле. Опитът
показва, че това поле се появява и изчезва едновременно с включването и изключването на източника
на ЕДН, който осигурява протичането на електричен ток във веригата. Следователно част от работата,
която извършват страничните сили в източника на ЕДН, трябва да се превръща в енергия на магнитното
поле (друга част се превръща в топлина според закона на Джаул – Ленц). Тази енергия трябва да е равна
на работата, която може да извърши магнитното поле напр. за преместване на проводника от силата на
Ампер (dA Id ). Ако разгледаме един токов контур с индуктивност L и вземем предвид (1), ще
получим:
(6) dA Id ILdI   .
Магнитното поле се създава за времето, за което токът I нараства от 0 до максималната си стойност
I. Затова, за да получим цялата извършена работа за създаване на магнитното поле около контура, която
се е превърнала в енергия на магнитното поле W, трябва да интегрираме (6) в граници от 0 до
максималния ток I: 2
00
2
0
1
2
1
2
I It
A dA LW L IdI I LI   
.
фиг. 2
C1 C2
I1 I2