Тангенциално и нормално ускорение

Тангенциално и нормално ускорение. Видове движения на материална точка в
зависимост от ускорението. Праволинейно движение с постоянно ускорение –
основни закони
Тангенциално и нормално ускорение
Предвид важността на величината ускорение, от една страна характеризираща типа движение, а от
друга – даваща връзка между кинематиката и динамиката, ще я разгледаме малко по-подробно. Видяхме,
че ускорението може да се разложи на компоненти по координатните оси във всяка координатна
система, също както скоростта или радиус-вектора. При двумерно движение обаче (движение в
равнина), каквито са по-голямата част от реалните движения, е по-удобно да се използва друг вид
разлагане на вектора на ускорението. Нека да разгледаме едно произволно криволинейно движение на
тяло в равнина (фиг. 1). За да определим ускорението на тялото, ние трябва да намерим разликата
между скоростите 1
v и 2
v в точките 1 и 2. Тази разлика е векторът v , а ускорението (чиято посока е в
посока на v ) е насочено към вдлъбнатата част на кривата. Ако намаляваме интервала от време, т. 2 ще
се приближава до т. 1 и в граничния случай ще получим моментното ускорение в т. 1. Виждаме, че
ускорението в общият случай не е насочено по посока на
скоростта. В такъв случай можем да разложим ускорението a
на две компоненти – едната от тях, наречена тангенциално
ускорение t
a , е насочена по направление на скоростта, т.е. по
допирателната (тангентата) към кривата в дадената точка
(скоростта винаги е насочена по допирателната към
траекторията); другата компонента наричаме нормално
ускорение n
a и тя е насочена по перпендикуляра (нормалата)
към траекторията в тази точка. Следователно пълното
ускорение може да се представи като векторна сума от двете си
компоненти: nt
a a a
,
а големината му ще се дава от израза: 22
nt
a a a
.
По такъв начин ние получаваме две компоненти на ускорението, всяка от които характеризира
различни качества на скоростта. Тангенциалното ускорение е насочено винаги по направление на
скоростта – следователно то не може да променя скоростта по посока. Ако то е насочено по посока на
скоростта ще я увеличава по големина, а ако е насочено в противоположна посока – ще я намалява.
Следователно тангенциалното ускорение t
a е отговорно само за промяната на големината на скоростта,
но не и на посоката ѝ. Нормалното ускорение е насочено винаги перпендикулярно на скоростта.
Неговата проекция върху направлението на скоростта е нула. То не може да влияе на големината на
скоростта, а само върху посоката на вектора v . Следователно нормалното ускорение n
a е отговорно
само за промяната на посоката на движение, но не и на големината на скоростта.
От тези разсъждение произтича и ролята на ускорението (и по-точно двете му компоненти n
a и t
a )
като характеристика на типа движение. Ако тангенциалното ускорение е нула, скоростта не се променя
по големина, т.е. имаме равномерно движение. Ако нормалното ускорение е нула, скоростта (а
следователно и преместването) не се променя по посока – имаме праволинейно движение.
Видове движения на материална точка в зависимост от ускорението
Ще разгледаме малко по-подробно как, чрез двете компоненти на ускорението n
a и t
a , можем да
характеризираме практически всички видове движения.
1. Ускорението 0
n
a – скоростта не се изменя по посока. В този случай движението е праволинейно.
Тези движения от своя страна се разделят на няколко вида в зависимост от вида на тангенциалното
ускорение:
– 0
t
a , скоростта е постоянна по големина: движението е праволинейно равномерно;
n
t
Y
X 1
v
2
v
v
2
v
v
a
t
a
n
a

1
2
фиг. 1
Comment [I1]: Тангенциално
ускорение - определение
Comment [I2]: Нормално ускорение -
определение

– const 0
t
a , скоростта се изменя по големина с постоянна стойност: движението е
праволинейно равнопроменливо (ако 0
t
a , то е равноускорително; ако 0
t
a –
равнозакъснително);
– 
t
a f t (t
a се изменя непрекъснато с времето): движението е праволинейно
неравнопроменливо;
2. Ускорението 0
n
a – скоростта се изменя по посока. В този случай движението е криволинейно.
Тези движения от своя страна се разделят на няколко вида в зависимост от вида на t
a :
– 0
t
a , скоростта се запазва постоянна по големина: движението е криволинейно равномерно
(частен случай на криволинейното равномерно движение е равномерното движение по
окръжност);
– const 0
t
a , скоростта се изменя по големина с постоянна стойност: движението е
криволинейно равнопроменливо;
– 
t
a f t (t
a се изменя непрекъснато с времето): движението е криволинейно
неравнопроменливо.
Праволинейно движение с постоянно ускорение
Ако едно тяло се движи праволинейно, от казаното по-горе следва, че нормалното ускорение 0
n
a .
Следователно пълното ускорение е равно на тангенциалнато – t
aa . При такова движение, ако
ускорението е постоянно (const
t
aa ), имаме два възможни случая:
1. 0
t
aa – движението е равномерно.
В този случай скоростта е постоянна, защото: 0
dv
a
dt
   constv
.
Тъй като скоростта не се променя (по големина и посока) и движението е праволинейно
еднопосочно (напр. по оста X), можем да запишем: 0
dr dx x
v
dt dt t
x
xx s
v
t t t

  



  
  
.
От последното уравнение можем да получим и закона за движение при равномерно праволинейно
движение: 0
s x x v t   
; 
0 0 0
x x v t x v t t     
.
Тук x0 е координатата на тялото в началния
момент t0. Ако изберем този момент да е нула,
ще стигнем до познатия вид на закона:
(1) 0
x x vt ; 0
s x x vt   .
Законите за движение и скоростта (x(t) и
v(t)) могат да се представят и графично (фиг. 2). От графиката на закона за скоростта (фиг. 2б) се вижда,
че изминатият път s е числено равен на площта S под кривата (в случая права) между моментите от
време 0 и t.
Можем да получим закона за движение и по друг начин – от определението за скорост, като
интегрираме уравнението при v=const (както на практика получихме закона за скоростта): 0
0
000
00
, , , , ,
x t t
xt
x
x
dx
v dx vdt dx vdt v dt x vt x x vt x x vt
dt
          
.
2. const 0
t
aa   – движението е равнопроменливо. В този случай ускорението е постоянно, а
движението пак е праволинейно еднопосочно (по оста X). Ако ускорението е в посоката на движение,
фиг. 2
а) б)
0 t t 0 t t
x v
x0 S
v
Comment [I3]: Видове движения
Comment [И4]: Закон за скоростта
при равномерно праволинейно движение
Comment [И5]: Закон за движение
при равномерно праволинейно движение

ще имаме равноускорително движение, а ако е в обратна посока – равнозакъснително. Първо ще
разгледаме случая на равноускорително движение – тогава скоростта и ускорението са еднопосочни.
Можем да получим закона за скоростта по същия начин, по който
получихме закона за пътя при равномерно движение: 

00
00
,
v
a v v v a t t
t
v v a t t

     

  
,
а ако изберем момента t0=0, ще го получим в познатия вид: 0
v v at
.
Законът за движение можем да получим като построим графиката на
скоростта v от времето – изминатият път s=x–x0 пак трябва да е числено
равен на площта S=S1+S2 под графиката (фиг. 3).  
10
2
20
2
1 2 0
11
22
1
2
S v t
S v v t at
S S S v t at

  
   
.
Следователно: 2
00
1
2
s x x S v t at    
;
(2) 2
00
1
2
x x v t at   .
И тук x0 е началната координата, както в (1), а v0 е
началната скорост (скоростта в избрания от нас начален
момент за отчитане на времето). Законът за движение (2) също може да се представи графично – това е
парабола с връх в точката x0 (фиг. 4).
Ако движението е равнозакъснително ще получим: 

00
00
,
v
a v v v a t t
t
v v a t t

     

  

и ако изберем момента t0=0: 0
v v at
,
а графиката ще има обратен наклон (фиг. 5). Тогава S=S1–S2 и законът за
движение ще бъде: 2
00
1
2
s x x S v t at    
; 2
00
1
2
x x v t at  
.
Законите за движение и скоростта при равнопроменливи движения (равноускори телно и
равнозакъснително) могат да се запишат и с общи формули: 0
v v at
2
00
1
2
x x v t at  
,
като знакът „+” се отнася за равноускорително движение, а „–” – за равнозакъснително.
При равнопроменливите движения също можем да получим законите за скоростта и движението
като интегрираме уравненията (определенията за скорост и ускорение): 0
0
00
0
0
, , , ,
vt
vt
v
v
dv
a dv adt dv a dt v at v v at
dt
v v at
          


,
фиг. 3
0 t t
v
v0
v
S1
S2
x
0
фиг. 4
t0
x
фиг. 5
0 t t
v
v0
v
S1 S2
Comment [И6]: Закон за скоростта
при равноускорително праволинейно
движение
Comment [И7]: Закон за движение
при равноускорително праволинейно
движение
Comment [И8]: Закон за скоростта
при равнозакъснително праволинейно
движение
Comment [И9]: Закон за движение
при равнозакъснително праволинейно
движение
Comment [I10]: Закон за скоростта -
формула
Comment [I11]: Закон за движение -
формула

като знакът е „+” ако скоростта расте и „–” ако намалява (aa е големината на ускорението и трябва
да е положителна величина).  
0
0
00
0 0 0 0
22
0 0 00 0
2
00
,,
11
,
22
1
2
x t t t t
x
txt
x
dx
v dx vdt dx vdt v at dt v dt a tdt
dt
x v t at x x v t at
x x v t at
      
    
  
    