Топлопренос

о
,
която л
ежи в рав
ни
ната yz. При тез
и
усовия, топлина се р
а
зп
ро
ст
ран
я
в
а
с
а
мо
п
о

напр
авление на оста х и температур
ат
а е функция на
две променливи: T = T(x,t).

(А) Гранична задача от I-ви р
од. Върху границ
ата на тялото (при х =
0) е зададена температурата
като известна функция на времето, T0(t):

Toзи тип
гранично
ус
ло
вие съответствува на случая, когато границата на тялото е в контакт с т
при граничната задача от I-ви род върху границата е зададена температурата, Т;
при граничната задача от II-ри род върху границата е зададена производната на температурата, (Т/(х;
при граничната задача от III-ти род върху границата е зададена линейна връзка между т
е
мп
ература
та, Т, и
не
йната производна
,
(Т/(х.
(Г) Грпри гр
а
ни
чн
ат
а з
а
д
а
ча

от
I
I
-
ри р
од върху границата е зададена
пр
оизводната на
температурата, (Т/(х;
при граничната задача от III-ти род върху гр
аницата е зададе
на линейна връзка межд
у температурата, Т, и нейната
производна, (Т/(х.
(Г) Гранична задача от IV-ти род. Топлообмен между дв
е
твърди тела в контак
т, граница
та
м
ежду които е разположена при х = 0; виж Фиг. 6.2.

В този случ
Лапласовите образи на граничното условие, ур. 6.2, и на диференциалното уравнение 6.6 са, съответно:
o
n.
3 

6.
9)
io
n.3 
 (6.
1
0)
В
у
р.
6
.
1
0
и
зпо
л
з
в
ахме
началното условие, ур. 6.5. У
ра
внение 6.10 е
обикновено диференциално уравнение от втори ред. Неговото решение,
което е регуляр
но при х((, има вида:
Интеграционнат EMBED Equation.3 
 (6.9)
i
on.3 
 (6.
10)
В ур.
6.
10
използвахме началното условие, ур. 6.5. Уравнение 6.10 е обикн EMBED
.
В
този с
лучай, ра
зг
леждаме две тела
с
формата на полубезк
р
ай
ни
п
риз
м
и
,
к
о
ито

с
а
в к
онтакт при х = 0, виж Фиг. 6.2
.
Ще означим кое
фициентите на топлопроводност и температуропроводност за дясното т
яло с (1 и (1, а
за лявото тяло – с (2
и (2. Температурата във всяк
о от тези тела удовлетворява уравнението на топлопроводността, т.е. имаме:
2
)
Тук индексите 1 и 2 се отнасят, съответно, за дясното и ля
От ур. 6.34 и 6.33 получаваме:
Така, изразите за лапласовите образи на температурата  EMBED Equation.3 
 (6.35)
Така, изразите за лапласовите образи на температурата в двете тела, ур. 6.27 и 6.28, добиват вида:

Eq
Така, и
зразите з
а
лапласовите обра
зи
на температурата в
д
ве
те
т
ела
,

у
р.

6.2
7

и
6.2
8, добиват вида:
io
n.3 

(6.36)
От таблиците за ла
пласовите преобр
азувания на функции на
мираме:
където, както обикновено, L(1 символизира обратнот
о
преобразувание на Ла
плас. Тук,
е
rf
c(x) e допълнителната ф EMBED Equation.3 
 (6.36)
Фиг. 6.3. Графика на решението на граничната задача от IV-ти род за изравняване не температурата на две полубезкрайни тела в контакт, границата между които се намира при х = 0; виж Фиг. 6.2 и ур. 6.40 и 6.41.

пр
оизволн
а форма в
т
ермостат. В този
с
лучай, разглеждаме т
я
ло
с
п
роз
в
о
л
на

фор
м
а
,
кое
то е поставено в термостат с т
ем
пература Т0. К
ато пример може да служи тяло, което е потопено във вода, чиято те
мпература се под
държа постоянна. Удобн
о е да въведем помощната функ
ция
която удовлетворява хомогенно
г
ранично условие:
MBED Equat
io
n.
3 
 (6.44)
Тук S е повърхността на тялото. Освен това, разпр
наречени собствени стойности, на които съответствуват решения на ур. 6.48, наречени собствени функции:
E
qu
ation.3


Всяка о
т
тези функции удовлет
в
ор
яв
а
ур.

6
.
48

и г
р
а
н
ично
то условие 6.49:
io
n.3 

В математическата
физика се доказ
ва, че собствените фун
кции задават пълен базис, кое
то означава, че всяка друга функция EMBED Equation.3 
 (6.51)
В
с
яка от тези функции у
довлетворя
ва
у
р. 6.48 и граничното условие 6.49:

Фиг. 6

Фиг. 6.2. Топлообмен между дв

ФФиг. 6.2. Топлообмен между две полу-безкрайни тела с формата на призма, чиято околна повърхност е топлинно изолирана, а границата между тях е разположена при х = 0. Технит
е
к
оефицие
нти на то
пл
опроводност са (
1
и (2.

(2

(1

Ф
иг
.
6.1
.

П
ол
у
-бе
з
к
р
айно
тяло с формата на призма, чия
то
околна повърх
ност е топлинно изолирана. Гранични условия ще задаваме върху гран
ицата, която леж
и в равнината yz.

((2

(1

((1

ФФиг. 6.1. Полу-безкрайно тяло с формата на призма, чиято окол
н
а повърхност е топлин
но изолира
на
.
Гранични условия ще задаваме върху границата, която лежи в равнината yz