Топлопроводност в неограничена среда

къ
дето T0
(r) e ще
считаме за известна
ф
ун
кция
. Търсим разпределението на температурата, T (r,t), във всеки следващ мо
мент време като решение на уравнението на топлопроводността,
EMBED Equation.3 

За да сведем частното диференциално уравн
е
н
ие 5.2 до обикновен
о

д
и
фере
н
циал
но уравнение
,
ще изп
о
Като заместим ур. 5.9 в ур. 5.4, намираме разпределението на температурата T (r,t):
5.14)
П
о нататък
, от ур. 5.12 замест
в
ам
е 
EMBED Equation.3 
 в ур. 5.14:
Ура
внение 5.15 може да се представи във вида:
където
сме въвели интегр EMBED Equation.3 
 (5.14)
П
о
нататък, от ур. 5.
1
2

з
амес
т
ваме
 EMBED Equ
a
tion.3

Tук r2 = r(r, и температурата зависи само от радиалната координата, r.

Както се вижда от Фиг. 5.1., Tук r2 = r(r, и температурата зависи само от радиалната координата, r.

Както се вижда от Фиг. 5.1., амп
л
ит
удата в
средата,
при r = 0, спада с
в
ре
мето
, а от ур. 5.22 следва, че това става по закона:
При r2 << 4(t, eкспонентата в ур. 5.22

ККакто се ви
жда от Фиг. 5.1., амплитудата в средата, при r = 0, с
п
а
да с времето, а от
у
р
.

5.22

след
ва, че това
с
тава по

Като приравним на нула израза в скобите, за квадрата на разстоянието, на което се разпространява топлината с времето, получаваме:
а
н
а разст
оянието,
на което се разпрост
р
ан
ява
топлината с времето, получаваме:
За тримерен топлопренос получаваме:
ion.3 
 (5.26)

T(r,t)

r

Фиг. 5.1. Фо
р
м
а
т
а на

зави
симостта на
Т
от r (
з

TT(r,t)

r

Фиг. 5.1.
rr

ФФиг. 5.1. Формата на зависимостта на Т от r (зададена от ур. 5.22) в три последователни момента време, t1, t2 и t3.