Учебник

КАРТОГРАФСКИ ПРОЕКЦИИ 5.1. ОБЩИ ПОЛОЖЕНИЯ Картографията е наука за съставяне, произвеждане и използване на карти и планове. Планът е подобно умалено изображение на част от земната повърхност. Картата е условно умалено генерализирано изображение в определена картографска проекция на цялата Земя или на част от нея. Математическата картография е дял от картографията, който се занимава с математическата основа (мащаб, деформации, опорна геодезична мрежа, разграфка, рамка, компановка) на картите и с теорията на картографските проекции, които също спадат към нея. Като основни линии върху елипсоида (сферата), които трябва да се изобразят върху картната равнина, се приемат паралелите =const и меридианите =const, където () и () са географската ширина и дължина. Тези линии образуват така наречената основна мрежа. Математическата картография се занимава с начините за изобразяване на тази мрежа върху картната равнина, т.е. с получаването на образите на паралелите и меридианите върху нея, след което се внася и картното съдържание от извършената геодезическа снимка. Изборът на начина за изобразяване на основната мрежа, т.е. изборът на картографска проекция, представлява важна практическа и теоретическа задача. Тя няма идеално решение. Всяка проекция неизменно носи отклонения от различен тип и величина. Изборът на една или друга проекция зависи от специфичните ползи, получавани за определени качества. Практически е невъзможно да се получи универсално решение по отношение на избора на проекция. Предпочитан вариант за проекция е този, осигуряващ запазване на истинската форма на диференциално малките площи при проектирането (конформност) и във всяка една точка мащабът да е еднакъв във всички посоки. При изобразяване на Земята върху картната равнина, тя се приема за ротационен елипсоид или кълбо (сфера) с определени размери. Представянето на Земята като сфера с подходящ радиус (R) се използва при дребномащабните карти. Повърхнините на елипсоида и сферата са неразвиваеми в равнина и всяко тяхно изобразяване върху равнина е свързано с деформации в дължини, ъгли и площи. Поради тези деформации възниква въпросът да се намери съобразно конкретните изисквания най-подходящият начин на изобразяването им. Наред с това възниква и въпросът за пълното използване на възможностите на дадената карта. Картографските проекции се основават на математически закони, изразяват се с геометрично изображение и определят точното съответствие между повърхността на ротационния елипсоид, сферата и картната равнина. Като определение за картографска проекция може да се даде следното: Това е математически способ за изобразяване на земната повърхност или на Дачев, Ю. Геодезия. Е-ЛИТЕРА СОФТ, 2011, ISBN 978-954-2912-15-6 55 част от нея върху равнина, приемайки повърхността й за сфера или ротационен елипсоид, при което на всяка точка (М) от изобразяваната повърхност съответства еднозначна точка (М’) в проекционната равнина. Това съответствие може да се изрази чрез уравненията х=f1(,) и у=f2(,), известни като уравнения на картографските проекции. Координатите (х,у) са равнинни правоъгълни координати. Най-голямата тежест при избора на проекция пада върху деформациите. Картографските проекции се прилагат както при едромащабните географски карти (мащаби от 1:2000 до 1:1000000), които се наричат топографски, така и при дребномащабните географски карти (мащаби, по-дребни от 1:1000000) и астрономическите карти. При едромащабните географски карти се прилагат ограничен брой проекции, които съвпадат с геодезичната проекция, която се използва в дадена държава, която от своя страна е свързана с използваната координатна система. Изобразяваната територия се представя върху отделни картни листове, чиито рамки са образите на меридиани и паралели. Картните листове се съставят по извършената по различни начини геодезическа снимка. Въвежда се и система на разграфяването и обозначаването им (номенклатура). При дребномащабните географски карти, които са многообразни по съдържание, назначение и териториален обхват, съществува голямо многообразие от проекции, които могат да се използват. Тези карти се съставят върху ограничен брой картни листове, а най-често само върху един, чиито рамки не са образи на меридиани и паралели. Има тясна връзка между проекциите, използвани при едромащабните и дребномащабните карти. 5.2. КЛАСИФИКАЦИЯ НА КАРТОГРАФСКИТЕ ПРОЕКЦИИ При много случаи на проектиране се изобразява не основната мрежа от самите географски меридиани и паралели, а една изместена мрежа от общи географски паралели (’=const) и меридиани (’=const). С тях се свързват общата географска ширина (’) и общата географска дължина (’). Получената изместена мрежа се нарича нормална мрежа. Тя се използва като помощна при изчисляването на картографската проекция. Трите главни класификации на картографските проекции са според положението на нормалната мрежа, характера (качествата) на изображението и според вида на образите на нормалната мрежа. Според положението на нормалната мрежа проекциите се разделят на: - нормални (директни, полярни, прави) - когато нормалната и основната мрежа съвпадат. Ако (0) и (0) са географски координати на полюсите на нормалната мрежа, то при тези проекции 0=900 . Поради това условие те още са известни като прави или полярни проекции. Дачев, Ю. Геодезия. Е-ЛИТЕРА СОФТ, 2011, ISBN 978-954-2912-15-6 56 - трансверзални (напречни) - когато полюсите на нормалната мрежа лежат в Екватора на основната мрежа, т.е. 0=00 ; - наклонени (коси) - когато полюсите на нормалната мрежа заемат общо положение в основната мрежа, т.е. 00 <0< 1800 (2 > 1) + Северно полукълбо К < 1800 (2 > 1) - А > 1800 (2 < 1) - К > 1800 (2 < 1) + Южно полукълбо А < 1800 (2 > 1) - Южно полукълбо К < 1800 (2 > 1) + А > 1800 (2 < 1) + К > 1800 (2 < 1) - По елементите на движението на кораба и по координатите на изходната точка могат да се определят текущите му координати за определен момент от време. По координатите на две точки от курса на кораба могат да се определят азимута и дължината на локсодромата. По координатите на изходната точка и на точките от маршрута, до които трябва да достигне кораба, могат да се определят азимутите и дължините на отсечките (локсодромите) до крайния пункт. Всички тези задачи се използват за откриване на груби грешки при корабоводенето и за повишаване на точността при работа с дребномащабни карти. Изчисляването на текущите координати на кораба, предизвикано от неговото движение, по същество е решаване на права геодезическа задача. Постановката на задачата е следната: По географските координати (1,1) на изходната точка В1, по курса (К) на кораба и изминатото от него Дачев, Ю. Геодезия. Е-ЛИТЕРА СОФТ, 2011, ISBN 978-954-2912-15-6 72 разстояние (S), да се определят координатните нараствания (12), (12) и географските координати (2,2) на точка В2 (фиг. 5.16.). Разглежда се елементарният триъгълник (ОВ1В2). Точка В1 е изходна, а т. В2 - текуща от маршрута на кораба. Страната (В1В2) е изминатото разстояние (локсодромата) (S), а (К) е курса на кораба. Страната (В1О), съвпадаща с меридиана, преминаващ през т. В1, е равна на елементарното нарастване (12) на географската ширина, а страната (ОВ2) - на елементарното нарастване (w12) по паралела (фиг. 5.16.). Величината (w12) е преместването на кораба по паралела и в навигацията се нарича отшествие. Фиг. 5.16. Задачи, свързани с локсодромата Координатните нараствания (12) и (12) се изчисляват по формулите: 12 = S . cos K (5.16.) 12 = D . tg K където D е разлика на меридианните части за т. В1 и В2. Географските координати на т. В2 се изчисляват по формулите: 2 = 1 + 12 (5.17.) 2 = 1 + 12 Дачев, Ю. Геодезия. Е-ЛИТЕРА СОФТ, 2011, ISBN 978-954-2912-15-6 73 Пример: От точка В1 с географски координати 1=420 15,2’ N и 1=270 42,6’ E кораб, плаващ на курс К = 148,40 , е изминал разстоянието S = 43,9 мили. Да се определят географските координати (2,2) на крайната точка В2. Решение: 1. Изчислява се първи ексцентрицитет (е) на елипсоида на Красовски по формулата е2 = 2 - 2 . За (е) се получава е = 0, 081 813 336. 2. По формули (5.16.) се изчислява нарастването 12 = - 00 37,4’ и по формули (5.17.) се определя координатата 2 = 410 37,8’ N. 3. Определят се меридианните части D1 = 2786,7 и D2 = 2736,6 по формула (5.2.) или чрез Мореходните таблици и разликата на меридианните части D = D2 – D1 = - 50,1. 4. Изчислява се нарастването (12) по формули (5.16.) - 12 = 00 30,8’. Определя се координатата 2 = 280 13,4’ E по формули (5.17.). Знаците на координатните нараствания (12) и (12) се определят по фиг. 5.17. Правата геодезическа задача се използва и за определяне на координатите на кораба за зададено време при условие, че плава с точно определена скорост и зададени курсове на отделните участъци от маршрута. Постановката на задачата изисква последователно решаване на прави геодезически задачи за всеки участък, което е друга геодезическа задача, наречена полигон. Пример: В 13,00 часа корабът се е намирал в точка В1 с географски координати 1 = 430 25,4’N и 1 = 280 47,5’E и в отделните участъци от маршрута ще плава на курсове (К), посочени в таблица 5.3. със скорост 18 възела (kn). Да се определят координатите му за 16,00 часа. Решаване на полигон Таблица 5.3. Време, в (ч., мин.) Kурс (К), в ( 0 ) Разстояние (S), в мили (D) Координати на точките Точка от маршрута () () 13,00 430 25,4’ N 280 47,5’ E В1 13,40 30 12 14,3 430 35,8’ N 280 55,7’ E В2 14,45 142 19,5 -21,1 430 20,4’ N 290 12,2’ E В3 15,20 208 10,5 -12,7 430 11,1’ N 290 05,5’ E В4 16,00 286 12 4,5 430 14,4’ N 280 49,7’ E В5 Решение: 1. По скоростта на плаване на кораба 18 възела (kn) и времето за плаване в отделните участъци, се определят техните разстояния (S). 2. Определят се меридианните части (D) и разликите (D). 3. По формули (5.16.) и (5.17.) чрез последователно решаване на прави геодезически задачи се определят координатите на междинните точки и на точката, в която кораба ще се намира в 16,00 часа. Дачев, Ю. Геодезия. Е-ЛИТЕРА СОФТ, 2011, ISBN 978-954-2912-15-6 74 Определянето на азимута (курса К) и дължината (S) на локсодромата по географските координати на две точки от маршрута на кораба (фиг. 5.16.) е решаване на обратна геодезическа задача. Формулите за изчисляването на (К) и (S) са: Ksin ' cos K cos ' S cos D ' K tg 12СP12 12 I 12СP12 (5.18.) където 12 = 2 - 1, 12 = 2 - 1, СР = 2 1 2 . Стойността на курса (К’) при изчисленията се определя в първи квадрант, т.е. в границите от 00 до 900 (фиг. 5.17.). Реалната стойност на (К) зависи от знаците на координатните разлики () и () и се определя по формулите в таблица 5.4. N 00 (г.с.) Привеждане на курса (К) в съответния квадрант IV квадрант I квадрант Таблица 5.4. (+) (-) (+) (+) 2700 900 W E III квадрант II квадрант (-) (-) (-) (+) S 1800 Фиг.5.17. Квадранти за курса (К) и знаци на () и (). Пример: Да се определят локсодромичните посока (курс К) и разстояние (S) между точките В1 и В2 с географски координати 1 =430 57,5’N, 1 = 280 46,5’ E и 2 = 420 12,5’ N, 2 = 280 35,4’ E. Решение: 1. Изчисляват се стойностите на (12), (12) и (СР). 2. Изчисляват се меридианните части ( D1) и (D2) и разликата (D). D1 = 2926,4 , D2 = 2783,1 , D = -143,3. 3. Изчислява се курсът (К’) в първи квадрант по формула (5.18.). К’=4,40 . Координатни разлики (+) (-) (+) (-) К = К’ К = 1800 - К’ К = 3600 - К’ К = 1800 +К’ Дачев, Ю. Геодезия. Е-ЛИТЕРА СОФТ, 2011, ISBN 978-954-2912-15-6 75 4. Привежда се курсът (К’) в съответния квадрант. По знаците на (12) и (12)- съответно (-) и (-), по формулата от таблица 5.4. се определя К=184,40 . 5. Изчислява се разстоянието (S) по формула (5.18.), S = 105,3 мили. Обратната геодезическа задача се използва и за предварително определяне на данните за курсовете (К) и разстоянията (S) на отделните участъци от маршрута на кораба, ако са известни географските координати на началната, междинните и крайната точка. Създадени са специализирани софтуерни продукти, извършващи такива изчисления по време на плаването на кораба, известни под общото наименован