Учебно помагало по Приложна Математика

Ó÷åáíî ïîìàãàëî
ïî Ïðèëîæíà Ìàòåìàòèêà
çà ñïåö. ÕÑ
Ëåêòîð: ãë. àñ. ä-ð Ä. Ñòîåâà
çèìåí ñåìåñòúð 2011-2012ã.
Óñëîâèÿ çà ïîëó÷àâàíå íà çàâåðêà â êðàÿ íà ñåìåñòúðà:
ïðèñúñòâèÿ â ÷àñîâåòå è äà ñà ïðåäàäåíè âñè÷êèäîìàøíèïðåç ñåìåñòúðà (ñúäúðæà-
ùè ïîíå çàäúëæèòåëíèòå âúïðîñè/çàäà÷è), ñ èçêëþ÷åíèå íàé-ìíîãî íà 4 íåïðåäàäåíè.
Íÿêîè îçíà÷åíèÿ, èçïîëçâàíè â òåêñòà: ÄÓ - äîñòàòú÷íî óñëîâèå, ÍÓ - íåîáõîäèìî
óñëîâèå.
1 ×èñëîâè ðåäîâå - äåôèíèöèÿ çà ñõîäÿù/ðàçõîäÿù
ðåä, íåîáõîäèìî óñëîâèå çà ñõîäÿù ðåä. Îáù êðèòå-
ðèé íà Êîøè çà ñõîäèìîñò. Ãåîìåòðè÷åí ðåä. Îñíîâíè
ñâîéñòâà íà ñõîäÿùèòå ðåäîâå.
Ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñèÿa1; a2=a1q; a3=a1q
2
; a4=a1q
3
; : : :.
Sn- ñóìàòà íà ïúðâèòånåëåìåíòà íà ãåîìåòðè÷íàòà ïðîãðåñèÿ, ò.å.
Sn=a1+a2+a3+: : :+an.
Ôîðìóëà çàSnçà ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñèÿ ñq6= 1:Sn=a1
1�q
n
1�q
.
Ôîðìóëà çà ñóìàòà íà áåçêðàéíà ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñèÿ ñq2(�1;1):S=
a1
1�q
.
×èñëîâ ðåä- áåçêðàéíà ñóìà:
a1+a2+a3+a4+: : :+an+: : : (1)
Çàïèñâà ñå
P
1
n=1
an.
Çà âñÿêîn2Nîçíà÷àâàìåSn=a1+a2+a3+: : :+an-n-òà ÷àñòè÷íà ñóìà íà ðåäà.
S1=a1; S2=a1+a2; S3=a1+a2+a3; : : :
Äåôèíèöèÿ 1.1. 1

Ðåäúò (1) ñå íàðè÷àñõîäÿù, àêî ðåäèöàòàS1; S2; S3: : :(ò.å. ðåäèöàòàa1; a1+a2; a1+
a2+a3; : : :) êëîíè êúì ÷èñëî, ò.å., àêîlimn!1Sn=÷èñëî.  òîçè ñëó÷àé ÷èñëîòîlimn!1Sn
ñå íàðè÷àñóìàíà ðåäà.
Ðåäúò (1) ñå íàðè÷àðàçõîäÿù, àêî ðåäèöàòàS1; S2; S3; : : :êëîíè êúì+1, êëîíè êúì
�1èëè íÿìà ãðàíèöà.
Ïðèìåðè 1.2.Ðåäúò1 +
1
2
+
1
2
2+
1
2
3+: : :å ñõîäÿù ñúñ ñóìàS=
1
1�
12
= 2.
Ðåäúò1 + 1 + 1 + 1 +: : :å ðàçõîäÿù.Ðåäúò1 + (�1) + 1 + (�1) + 1 + (�1) +: : :å ðàçõîäÿù.
Ãåîìåòðè÷åí ðåä
a1+a1q+a1q
2
+a1q
3
+: : :
Àêîa1= 0, ãåîìåòðè÷íèÿò ðåä å ñõîäÿù çà âñÿêîqè èìà ñóìà0.
Àêîa16= 0, ãåîìåòðè÷íèÿò ðåä å ñõîäÿù,q2(�1;1); â ñëó÷àÿ íà ñõîäèìîñò ñóìàòà ìó
åS=
a1
1�q
.
Êðèòåðèé íà Êîøè çà ñõîäèìîñò íà ÷èñëîâ ðåä (íåîáõîäèìî è äîñòàòú÷íî
óñëîâèå):×èñëîâèÿò ðåä
P
1
n=1
anå ñõîäÿù òîãàâà è ñàìî òîãàâà, êîãàòî çà âñÿêî" >0
ñúùåñòâóâàN", òàêà ÷å
jSp�Snj< ";8n > N";8p > N":
Íåîáõîäèìî óñëîâèå çà ñõîäèìîñò íà ÷èñëîâ ðåä: Àêî ðåäúò (1) å ñõîäÿù, òî
ðåäèöàòàa1; a2; a3; : : :êëîíè êúì0, ò.å.,limn!1an= 0.
Çàáåëåæêà:òîâà ÍÅ å äîñòàòú÷íî óñëîâèå çà ñõîäèìîñò, ò.å., àêîlimn!1an= 0, òî â
îáùèÿ ñëó÷àé íå ñëåäâà ñõîäèìîñò íà ÷èñëîâèÿ ðåä (1). Íàïðèìåð, çà ðåäà
1
X
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+: : :
(èçâåñòåí ñ èìåòîõàðìîíè÷åí ðåä) å èçïúëíåíî, ÷å ðåäèöàòà îò åëåìåíòèòå ìó
1;
1
2
;
1
3
;
1
4
; : : :êëîíè êúì0, íî ðåäúò å ðàçõîäÿù.
Îñíîâíè ñâîéñòâà íà ðåäîâåòå:
1.Àêî ðåäúò
P
1
n=1
anå ñõîäÿù ñúñ ñóìàSèå ÷èñëî, òî ðåäúò
P
1
n=1
anå ñõîäÿù è
èìà ñóìàS.
2.Àêî ðåäîâåòå
P
1
n=1
anè
P
1
n=1
bnñà ñõîäÿùè è èìàò ñóìèSaèSb, ñúîòâåòíî, òî
ðåäúò
P
1
n=1
(an+bn)å ñõîäÿù è èìà ñóìàSa+Sb.
2

3.Àêî ðåäîâåòå
P
1
n=1
anè
P
1
n=1
bnñà ðàçõîäÿùè, òî ÍÅ ñëåäâà ðàçõîäèìîñò íà ðåäà
P
1
n=1
(an+bn)(ðåäúò
P
1
n=1
(an+bn)ìîæå äà å ñõîäÿù, ìîæå äà å ðàçõîäÿù).
Ïðèìåðè: Ðåäîâåòå
P
1
n=1
an=
P
1
n=1
1è
P
1
n=1
bn=
P
1
n=1
(�1)ñà ðàçõîäÿùè, à ðåäúò
P
1
n=1
(an+bn) =
P
1
n=1
0å ñõîäÿù.
Ðåäîâåòå
P
1
n=1
an=
P
1
n=1
1è
P
1
n=1
bn=
P
1
n=1
1ñà ðàçõîäÿùè, è ðåäúò
P
1
n=1
(an+bn) =
P
1
n=1
2å ðàçõîäÿù.
4.Àêî ðåäúò
P
1
n=1
anå ñõîäÿù è ðåäúò
P
1
n=1
bnå ðàçõîäÿù, òî ðåäúò
P
1
n=1
(an+bn)
å ðàçõîäÿù.
5.Àêî íà åäèí ñõîäÿù ÷èñëîâ ðåä äîáàâèì, ïðåìàõíåì èëè ïðîìåíèì êðàåí áðîé åëå-
ìåíòè, òî ïîëó÷åíèÿò ðåä å ñúùî ñõîäÿù.
6.Àêî íà åäèí ðàçõîäÿù ÷èñëîâ ðåä äîáàâèì, ïðåìàõíåì èëè ïðîìåíèì êðàåí áðîé
åëåìåíòè, òî ïîëó÷åíèÿò ðåä å ñúùî ðàçõîäÿù.
2 Êðèòåðèè çà ðåäîâå ñ ïîëîæèòåëíè åëåìåíòè -
èíòåãðàëåí êðèòåðèé íà Êîøè, êðèòåðèé çà ñðàâíå-
íèå, ãðàíè÷åí êðèòåðèé çà ñðàâíåíèå, êðèòåðèé íà
Äàëàìáåð, êðèòåðèé íà Ðààáå-Äþàìåë, êðèòåðèé íà
Êîøè. Õàðìîíè÷åí ðåä è îáîáùåí õàðìîíè÷åí ðåä.
Äåôèíèöèÿ 2.1.×èñëîâ ðåä ùå íàðè÷àìåïîëîæèòåëåí, àêî âñè÷êèòå ìó åëåìåíòè ñà
ïîëîæèòåëíè.
Èíòåãðàëåí êðèòåðèé íà Êîøè:
Íåêà å äàäåí ïîëîæèòåëíèÿò ðåä
P
1
n=k
anè íåêà ôóíêöèÿòàf(x),x2[k;+1), èìà
ñëåäíèòå ñâîéñòâà:
1.f(n) =an,8n2N; nk;
2.f(x)å íåïðåêúñíàòà, ïîëîæèòåëíà è íàìàëÿâàùà â èíòåðâàëàx2[k;+1).
Ïðè ãîðíèòå óñëîâèÿ, ðåäúò
P
1
n=k
anå ñõîäÿù òîãàâà è ñàìî òîãàâà êîãàòî íåñîáñòâå-
íèÿò èíòåãðàë
R
+1
k
f(x)dxå ñõîäÿù.
Çàäà÷à 2.2.Äîêàæåòå, ÷å îáîáùåíèÿò õàðìîíè÷åí ðåä
P
1
n=1
1
n
på ñõîäÿù òîãàâà è ñàìî
òîãàâà, êîãàòîp2(1;+1).
Êðèòåðèé çà ñðàâíåíèå:
Íåêà çà ðåäîâåòå
P
1
n=1
an,
P
1
n=1
bnñ ïîëîæèòåëíè åëåìåíòèan>0; bn>0;å èçïúëíåíî
anbnçà âñÿêîn:
3

Òîãàâà
8
<
:
àêî ðåäúò
P
1
n=1
bnå
ñõîäÿù, òî ðåäúò
P
1
n=1
anåñõîäÿù;
(!!! àêî
P
1
n=1
anå
ñõîäÿù, òî ÍÅ ãàðàíòèðà, ÷å
P
1
n=1
bnåñõîäÿù);
àêî ðåäúò
P
1
n=1
anå
ðàçõîäÿù, òî ðåäúò
P
1
n=1
bnåðàçõîäÿù:
Ãðàíè÷åí êðèòåðèé çà ñðàâíåíèå:
Íåêà çà ðåäîâåòå
P
1
n=1
an,
P
1
n=1
bnñ ïîëîæèòåëíè åëåìåíòèan>0; bn>0;å èçïúëíåíî
lim
n!1
an
bn
=l:
Òîãàâà ïðè
8
<
:
l2(0;1))èëè è äâàòà ðåäà ñà
ñõîäÿùè, èëè è äâàòà ðåäà ñàðàçõîäÿùè;
l= 0 )àêî
P
1
n=1
bnå
ñõîäÿù, òî
P
1
n=1
anåñõîäÿù;
l=1 � àêî
P
1
n=1
bnå
ðàçõîäÿù, òî
P
1
n=1
anåðàçõîäÿù:Ïðèìåð 2.3.Ùå èçñëåäâàìå çà ñõîäèìîñò/ðàçõîäèìîñò ÷èñëîâèÿ ðåä
1
X
n=1
5n
4
+ 1
6n
5
+ 7n+ 3
:
Ðåäúò å ïîëîæèòåëåí. Îïðåäåëÿìåan=
5n
4
+1
6n
5
+7n+3
=
n
4
(5+
1
n
4
)
n
5
(6+
7
n
4
+
3
n
5
)
=
1
n


5+
1
n
4
6+
7
n
4
+
3
n
5
.
Èçáèðàìå ïîëîæèòåëíèbnòàêà, ÷å ÷àñòíîòî
an
bn
äà èìà ãðàíèöà2(0;1)- èçáèðàìåbn=
1
n
.
Òîãàâà
lim
n!1
an
bn
= lim
n!1
1
n


5+
1
n
4
6+
7
n
4
+
3
n
5
1n
=
5 +
1
n
4
6 +
7n
4+
3
n
5
1
n
=
5
6
2(0;1):
Ðåäúò
P
1
n=1
bn=
P
1
n=1
1
n
å ðàçõîäÿù (õàðìîíè÷íèÿò ðåä).
Òîãàâà ãðàíè÷íèÿò êðèòåðèé çà ñðàâíåíèå ãàðàíòèðà, ÷å è ðåäúò
P
1
n=1
anå ñúùî ðàçõîäÿù.
Ïðèìåð 2.4.Ùå èçñëåäâàìå çà ñõîäèìîñò/ðàçõîäèìîñò ÷èñëîâèÿ ðåä
1
X
n=1
1
p
6n
3
+ 5n+ 1
:
Îïðåäåëÿìåan=
1
p
6n
3
+5n+1
=
1
q
n
3
(6+
5n
2
+
1
n
3
)
=
1
n
3=2

1
q
6+
5n
2
+
1
n
3
.
Èçáèðàìå ïîëîæèòåëíèbnòàêà, ÷å ÷àñòíîòî
an
bn
äà èìà ãðàíèöà2(0;1)- èçáèðàìåbn=
1
n
3=2. Òîãàâà
lim
n!1
an
bn
= lim
n!1
1
n
3=2

1
q
6+
5n
2
+
1
n
3
1n
3=2
= lim
n!1
1
q
6 +
5
n
2+
1
n
3
=
1
p
6
2(0;1):
Ðåäúò
P
1
n=1
bn=
P
1
n=1
1
n
3=2å îáîáùåíèÿò õàðìîíè÷åí ðåä ñp= 3=2>1è ñëåäîâàòåëíî å
ñõîäÿù.
Òîãàâà ãðàíè÷íèÿò êðèòåðèé çà ñðàâíåíèå ãàðàíòèðà, ÷å è ðåäúò
P
1
n=1
anå ñúùî ñõîäÿù.
4

Êðèòåðèé íà Äàëàìáåð (d'Alembert):
Íåêà çà ðåäà
P
1
n=1
anñ ïîëîæèòåëíè åëåìåíòèan>0ñúùåñòâóâà ãðàíèöàòà
lim
n!1
an+1
an
=l:
Òîãàâà ïðè
8
<
:
l<1)ðåäúò
P
1
n=1
anåñõîäÿù;l>1)ðåäúò
P
1
n=1
anåðàçõîäÿù;
l=1)ðåäúò
P
1
n=1
anìîæå äà å ñõîäÿù, ìîæå äà å ðàçõîäÿù:
Ïðèìåð 2.5.Ùå èçñëåäâàìå çà ñõîäèìîñò/ðàçõîäèìîñò ÷èñëîâèÿ ðåä
1
X
n=1
4
2n+1
n+ 5
:
Ðåäúò å ïîëîæèòåëåí. Îïðåäåëÿìå:an=
4
2n+1
n+5
,an+1=
4
2(n+1)+1
(n+1)+5
=
4
2n+3
n+6
,
an+1
an
=
4
2n+3
n+ 6


n+ 5
4
2n+1
=
4
2n+1
:4
2
n+ 6


n+ 5
4
2n+1
=
16(n+ 6)
n+ 5
;
lim
n!1
an+1
an
= lim
n!1
16(n+ 6)
n+ 5
= lim
n!1
16n(1 +
6
n
)
n(1 +
5n
= 16>1
è ñëåäîâàòåëíî, ïî êðèòåðèÿ íà Äàëàìáåð, ðåäúò
P
1
n=1
4
2n+1
n+5
å ðàçõîäÿù.
Êðèòåðèé íà Êîøè (Cauchy):
Íåêà çà ðåäà
P
1
n=1
anñ ïîëîæèòåëíè åëåìåíòèan>0ñúùåñòâóâà ãðàíèöàòà
lim
n!1
n
p
an=l:
Òîãàâà ïðè
8
<
:
l<1)ðåäúò
P
1
n=1
anåñõîäÿù;l>1)ðåäúò
P
1
n=1
anåðàçõîäÿù;
l=1�ðåäúò
P
1
n=1
anìîæå äà å ñõîäÿù, ìîæå äà å ðàçõîäÿù:
Êðèòåðèé íà Ðààáå-Äþàìåë:
Íåêà çà ðåäà
P
1
n=1
anñ ïîëîæèòåëíè åëåìåíòèan>0ñúùåñòâóâà ãðàíèöàòà
lim
n!1
n


an
an+1
�1

=l:
Òîãàâà ïðè
8
<
:
l<1)ðåäúò
P
1
n=1
anåðàçõîäÿù;l>1)ðåäúò
P
1
n=1
anåñõîäÿù;
l=1�ðåäúò
P
1
n=1
anìîæå äà å ñõîäÿù, ìîæå äà å ðàçõîäÿù:
5

3 Àëòåðíàòèâíè ðåäîâå. Êðèòåðèé íà Ëàéáíèö çà àë-
òåðíàòèâíè ðåäîâå.
Àëòåðíàòèâíè ðåäîâå
Äåôèíèöèÿ 3.1.Àëòåðíàòèâåí ðåäå ðåä, ÷èèòî åëåìåíòè ìåíÿò çíàêà ñè àëòåðíàòèâ-
íî, ò.å. ðåä îò âèäà
a1�a2+a3�a4+: : :+ (�1)
n+1
an+: : : ;êúäåòîan>0çà âñÿêîn;
(çàïèñàí íàêðàòêî
P
1
n=1
(�1)
n+1
an; an>0çà âñÿêîn)
èëè
�a1+a2�a3+a4�: : :+ (�1)
n
an+: : : ;êúäåòîan>0çà âñÿêîn:
(çàïèñàí íàêðàòêî
P
1
n=1
(�1)
n
an; an>0çà âñÿêîn).
Ïðèìåð 3.2.1�
1
2
+
1
3
�
1
4
+: : :(�1)
n+11
n
+: : :.
Êðèòåðèé íà Ëàéáíèö çà àëòåðíàòèâíè ðåäîâå:
Íåêà çà àëòåðíàòèâíèÿ ðåä
P
1
n=1
unå èçïúëíåíî, ÷å ðåäèöàòà îò ìîäóëèòå íà åëåìåí-
òèòå ìó, ò.å. ðåäèöàòà
ju1j;ju2j;ju3j; : : : ;junj; : : : ;
å íàìàëÿâàùà è êëîíÿùà êúì íóëà. Òîãàâà àëòåðíàòèâíèÿò ðåä
P
1
n=1
unå ñõîäÿù.
4 Àáñîëþòíî ñõîäÿùè ðåäîâå, óñëîâíî ñõîäÿùè ðåäîâå.
Ðàçìåñòèòåëíî ñâîéñòâî íà àáñîëþòíî ñõîäÿùèòå ðå-
äîâå, óìíîæàâàíå íà àáñîëþòíî ñõîäÿùè ðåäîâå.
Àáñîëþòíî ñõîäÿùè è óñëîâíî ñõîäÿùè ðåäîâå
Òóê ùå ðàçãëåäàìå ðåäîâå
P
1
n=1
un=u1+u2+u3+: : :+un+: : :ñ ïðîèçâîëíè çíàöè íà
åëåìåíòèòå ìó.
P
1
n=1
junjùå îçíà÷àâà ðåäà îò àáñîëþòíèòå ñòîéíîñòèju1j+ju2j+ju3j+: : :+junj+: : :.
Òåîðåìà 4.1.Àêî
P
1
n=1
junjå ñõîäÿù, òî ðåäúò
P
1
n=1
unå ñúùî ñõîäÿù.Äåôèíèöèÿ 4.2.
(a) Ðåäúò
u1+u2+u3+: : :+un+: : :
ñå íàðè÷ààáñîëþòíî ñõîäÿù, àêî òîé å ñõîäÿù è ðåäúò îò àáñîëþòíèòå ñòîéíîñòè
6

ju1j+ju2j+ju3j+: : :+junj+: : :
å ñúùî ñõîäÿù.
(b) Ðåäúò
u1+u2+u3+: : :+un+: : :
ñå íàðè÷àóñëîâíî ñõîäÿù, àêî òîé å ñõîäÿù, íî ðåäúò îò àáñîëþòíèòå ñòîéíîñòè
ju1j+ju2j+ju3j+: : :+junj+: : :
å ðàçõîäÿù.
Ïðèìåðè 4.3.(à) Ðåäúò1�
1
2
+
1
2
2�
1
2
3+: : :å àáñîëþòíî ñõîäÿù. Îáÿñíåòå çàùî!
(á) Ðåäúò1�
1
2
+
1
3
�
1
4
+: : :å óñëîâíî ñõîäÿù. Îáÿñíåòå çàùî!
(â) Ðåäúò1 +
1
p
2
+
1
p
3
+
1
p
4
+: : :å ðàçõîäÿù. Îáÿñíåòå çàùî!Êîíòðîëåí âúïðîñ4.4.Àêî
P
1
n=1
unå ðàçõîäÿù, êàêâè ñà âúçìîæíîñòèòå çà ðåäà
P
1
n=1
junj?
Êîíòðîëåí âúïðîñ4.5.Âúçìîæíî ëè å ðåä ñ ïîëîæèòåëíè åëåìåíòè äà å óñëîâíî ñõî-
äÿù? Êàêúâ å ðåäúò
P
1
n=1
1
n
5- àáñîëþòíî ñõîäÿù, óñëîâíî ñõîäÿù èëè ðàçõîäÿù? Êàêúâ
å ðåäúò
P
1
n=1
1
3
p
n
5
- àáñîëþòíî ñõîäÿù, óñëîâíî ñõîäÿù èëè ðàçõîäÿù?Çàáåëåæêà 4.6.Àêî ðåäúò
P
1
n=1
junjå ðàçõîäÿù, òî ðåäúò
P
1
n=1
unìîæå äà å ñõî-
äÿù (óñëîâíî ñõîäÿù), ìîæå äà å ðàçõîäÿù. Àêî îáà÷å ðåäúò
P
1
n=1
junjå ðàçõîäÿù ñïî-
ðåä êðèòåðèÿ íà Äàëàìáåð (ò.å.,limn!1
jun+1j
junj
>1) èëè ñïîðåä êðèòåðèÿ íà Ê