Аксиоматична теория на естествените числа

§
9
. Аксиоматична теория на естествените числа
Математическите понятия като правило изминават дълъг път на развитие. Първоначално те възникват в процеса на решаване на едни или други праМатематическите понятия като правило изминават дълъг път на развитие. Първоначално те възникват в процеса на решаване на едни или други практически задачи и носят отпечатъка на
с
воя произход. На този етап те обикновено нямат строги определения; вместо това се дават разляти, приблизителни пояснения, посочват се наглeдните представи, отражение и идеализация на които са дадените понятия. В разсъжденията се прави позоваване на нагледността, а понякога и това не се прави, понеже свойствата на математическото понятие неявно се отъждествяват със съответните образи от реалния свят.
Обаче с развитие на теорията такъв подход престава да задоволява, понеже получените резултати стават все по-сложни и далечни от изходните представи и все по-трудно се поддават на опитна проверка. Възниква необходимост от уточняване на понятието, установя
ване на логи
ческата му връзка с другите понятия, изясняване
н
а взаимните отношения на различните му страни. В хода на този процес, наречен изясняване на даденото понятие, някои свойства се приемат за основ
ни, а други,
колкото и да са очевидни, се доказват въз основа на приетите положения. Такова построение на математическата теория се нарича аксиоматично.
За да се избегне каквото и да е влияние на нагледните представи, при аксиоматичното построение на теорията се постъпва по следния начин. Избират се някои неопределими понятия и не говорейки нищо за това, какво те представляват в
същност,
се посочват някои, също неопределими съответствия и отношения между тези понятия. После се формулират няколко твърдения, наречени аксиоми на дадената теория, които описват свойствата на въведените термини, съответствията и отношенията между тях. А след това всички нови понятия трябва да се определят на базата на изходните понятия, съответствия, отношения и всички твърдения трябва да се изведат от аксиомите по пътя на логически разсъждения, които не се опират на нагледността.
Разбира се, при аксиоматичн
о
то построение на теорията изборът на основните понятия, съответствия и аксиоми не е произволен. Понеже математиката създава апарати за опознаване на реалната действителност, те трябва да отразяват обектите на тази действителност, съответствията между тях и свойс
т
вата на тези съответствия. По такъв начин аксиоматичната теория дава математически модел на действителността. При тОбаче с развитие на теорията такъв подход престава да задоволява, понеже получените резултати стават все по-сложни и далечни от изходните представи и все по-трудно се поддават на опитна проверка. Възниква необходимост от уточняване на понятието, установяване на логическата му връзка с другите понятия, изясняване на взаимните отношения н
а
различните му страни. В хода на този процес, наречен изясняване на даденото понятие, някои свойства се приемат за основни, а други, колкото и да са очевидни, се доказват въз основа на приетите положения. Такова построение на математическата теория се нарича аксиоматично.
За да се избегне каквото и да е влияние на нагледните представи, при аксиоматичното построение на теорията се постъпва по следния начин. Избират се някои неопределими понятия и не говорейки нищо за това, какво те представляват в същност, се посочват някои, също неопределими съответствия и отнош
ения
между тези понятия. После се форму
л
ират няколко твърдения, наречени

аксиоми на дадената теория, които описват свойствата на
въведенит
е термини, съответствията и отношенията между тях. А след това всички нови понятия трябва да се определят на базата на изходните понятия, съответствия, отношения и всичк
и
тв
ъ
рдения трябва да се изведат от аксиомите по пътя на логически ра
зсъждения, коит
о не се опират на нагледността.
Разбира се, при аксиоматичното построение на теорията изборът на основните понятия, съответствия и аксиоми не е произволен. Понеже математиката създава апарати за опознаване на реалната действителност, те трябва да отразяват обектите на тази действителност, съответствията между тях и свойствата на тези съответствия. По такъв начин аксиоматичната теория дава математически модел на действителността. При това не се получава непосредствено отразяване на реалния свят, а абстрактно, идеализирано отражение. Изводите, които се получават в такава теория, само приблизително отразяват свойствата на реалния свят, при което това съответствие е толкова по-точно, колкото е по-добра системата аксиоми. Това определя и ролята на практиката като критерий за аксиоматичната теория.
Обстоятелството, че в аксиоматичната теория не се уточнява „истинската природа” на изучаваните обекти и понятия, а се дават само техни свойства, изразени в аксиомите, прави тези теории на пръв поглед твърде абстрактни и формални. Може да се случи, че едни и същи аксиоми да се отнасят за различни множества от обекти. Обаче в тази привидна абстрактносЗа да се избегне каквото и да е влияние на нагледните представи, при аксиоматичното построение на теорията се постъпва по следния начин. Избират се някои неопределими понятия и не говорейки нищо за това, какво те представляват в същност, се посочват някои, също неопределими съответствия и отношения между тези понятия. После се формулират няколко твърдения, наречени аксиоми на дадената теория, които описват свойствата на въведените термини, съответствията и отношенията между тях. А след това всички нови понятия трябва да се определят на базата на изходните понятия, съответствия, отношения и всички твърдения трябва да се изведат от аксиомите по пътя на логичес
ки разсъждения, които не
с
е опират на нагледността.
Разбира се, при аксиоматичното построение на теорията изборът на основните понятия, съответствия и аксиоми не е произволен. Понеже математиката създава апарати за опознаване на реалната действителност, те трябва да отразяват обектите на тази действителност, съответствията между тях и свойствата на тези съответствия. По такъв начин аксиоматичната теория дава математически модел на действителността. При това не се получава непосредствено отразяване на реалния свя
т
, а абстрактно, идеализирано отражение. Изводите, които се получават
С
л
едват аксиомите на Пеано.
Аксиома 1. Единица
т
а е естествено число, т.е.  EMBED Equation.DSMT4 
.
АксиомаАксиома 1. Единицата е естествено число, т.е.  EMBED Equation.DSMT4 
.
Аксиома 2. Единицата не е наследник на никое естествено число.
Аксиома 3. Всяко естествено число има единствен наследник.
Аксиома 4. Всяко естествено число е наследник на не по
в
ече от едно естествено число.
Аксиома 5. (акАксиома 2. Единицата не е наследник на никое естествено число.
Аксиома 3. Всяко естествено число има единствен наследник.
Аксиома 4. Всяко естествено число е наследник на не повече от едно естествено число.
Аксиома 5. (аксиома за пълната индукция) Ако EMBАксиома 3. Всяко естествено число има единствен наследник.
Аксиома 4. Всяко естествено число е наследник на не повече от едно естествено число.
Аксиома 5. (аксиома за пълната индукция) Ако EMBED Equation.3
, такова, че:
1.  EMBEDАксиома 4. Всяко естествено число е наследник на не повече от едно естествено число.
Аксиома 5. (аксиома за пълната индук
ция) Ако EM
BED Equation.3
, такова, че:
1.  EMBED Equat
i
on.DSMT4 
;
2. За всяко EMBED Equation.3
, от EMBED Equation.3
 следва EMBED Equation.3
.
Тогава множеството EMBED Equation.3
 съдъ
ржа всичкиАк
сиома 5. (аксиома за пълната индукция) Ако EMBED Equation.3
, такова, че:
1.  EMBED Equation.DSMT4 
;
2. За всяко EMBED Equation.3
, от EMBED Equation.3
 следва EMBED Equation.3
.
Тогава множеството EMBED Equation.3
 съдържа всички естествени числа, т.е. EMBED Equation.3
.
Аксиомата за пълнат1.  EMBED Equation.DSMT4 
;
2. За всяко EMBED Equat
ion.3

, от EMBED Equation.3
 следва EMBED Equation.3
.
Тогава 2. За всяко EMBED Equation.3
, от EMBED Equation.3
 следва EMBED Equation.3
.
Тогава множеството EMBED Equation.3
 съдържа всички естествени числа, т.е. EMBED Equation.3
.
Аксиомата за пълната индукция се нарича още принцип на пълната математическа индукция. Тя е математичен израз на следното интуитивно положение: щом  EMBED EquТогава множеството EMBED Equation.3
 съдържа всички естествени числа, т.е. EMBED Equation.3
.
А
к
сиомата за пълната индукция се нарича още принцип на пълната математическа индукция. Тя е математичен израз на следното интуитивно положение: щом  EMBED Equation.DSMT4 
, то по силата на условие 2. и наследникът на числото нула ще принадлежи на EMBED Equati
o
n.3
 т.е.  EMBED Equation.DSMTАксиомата за пълната индукция се нарича още принцип на пълната математическа индукция. Тя е математичен израз на следното интуитивно положение: щом  EMBED Equation.DSMT4 
, то по силата на условие 2. и наследникът на числото нула ще принадлежи на EMBED Equation.3
 т.е.  EMBED Equation.DSMT4 
, но пак според 2. и EMBED Equation.DSMT4 
 и т.н.
Определение 2. Математическата теория, която се основава на
п
ървичните понятия  EMBED Equation.DSMT4 
 и аксиомите А1-А5, се нарича аксиоматична теория на естествените числа или аритметика на естествените числа.
Аксиома 0. Аксиоматичната теория  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.3 
е непротиворечива.
Последната аксиома е важна и затова, защото ние ще изградим множеството на целите числа на базата на тази теория, множеството на рационалните числа ще изградим на базата на целите числа, а множеството на реалните числа ще изградим на основата на рационалните числа.
Като непосредствено приложение на аксиомите,
да ра
згледаме някои твърдения.
Теорема
1
. В сила са следните релации:
1.

2. EMBED Equation.3
;
3. EMBED
Equation.
3
;
4. EMBED Equation.3
.
Теорема 2. Всяко естествено число, различно от единица, е наследник само на едно естествено число.
Теорема 3. Всяко естествено число е раз
л
ичн
о
от своя наследник.
Наследникът на EMBED Equation.3
 се нарич
а две и се озна
чава с EMBED Equation.3
, т.е. EMBED Equation.3
, иОпределение 2. Математическата теория, която се основава на първичните понятия  EMBED Equation.DSMT4 
 и аксиомите А1-А5, се нарича аксиоматична теория на естествените числа или аритметика на естествените числа.
Аксиома 0. Аксиоматичната теория  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.3 
е непротиворечива.
Последната аксиома е важна и затова, защото ние ще изградим множеството на целите числа на базата на тази теория, множеството на рационалните числа ще изградим на базата на целите числа, а множеството на реалните числа ще изградим на основата на рационалните числа.
Като непосредствено приложение на аксиомите, да разгледаме някои твърдения.
Теорема 1. В сила са следните релации:
1. EMBED Equation.3
;
2. EMBED Equation.3
;
3. EMBED Equation.3
;
4. EMBED Equation.3
.
Теорема 2. Всяко естествено число, различно от единица, е наследАксиома 0. Аксиоматичната теория  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.3 
е непротиворечива.
Последната аксиома е важна и затова, защото ние ще изградим множеството на це