Алгебра на съжденията

§2. Алгебра на съжденията
1. Формулировка на теорията
Теорията, която ще изградим в този параграф, пон1. Формулировка на теор
ията
Теорият
а, която ще изградим в този параграф, понякога се нарича теория нула-единицТе
орията,
коя
то ще изградим в тоз
и параграф, понякога се нарича теория нула-единица. Това е една интуитивна математическа теория. Едно първично понятие в нея е просто
и
ли елементарно съждение. Съжденията ще означаваме с малките букви от л
а
тинската азбука и ще ги изразяваме чрез изречение. Например изречението "Триъгълни
к
ът
е равностранен" изразява съждение,
п
осочващо свойство на триъгълника
. Интуицията ни насочва, че е налице са
мо едн
а
от двете възможности: триъгъ
лникът
притежава това св
ойство и триъгълникът
не го притежава. Това ни подсказва да
приемем за първични о
щ
е понятията вярно и невярно е
лементарн
о съж
дение, както
и
твъ
рдението, ч
е
всяко елементарно съждение притеж
а
ва едно от тези две свойства.
А
EMBED Equation.3 
 EMBE
D Equation.3 
0000111011 EMBED Equation.3 
 EMBED
Equation.3

000011101101101010000 EMBED Equation.3 
0
11
101101101
0100001111011Табл. 1
Т
0000000010111
11110101
0111101010111
10101010
1010101000000
00001011
1111111101010
1111Т1Таб
Тази таблица мож
е да с
Тази таблица може да се из
ползва за дефиниране на горн
ите операции със съждения.
3. Съждителни изрази
Приехме да бележим съжд
енията с мал
ки букви от латинската азбука
. В съждителното смятане буквите, с които се
означав
ат с
ъжденията, се нарича
т съждителни променливи. В частност с
и
ще означаваме съждителните промен3. Съждителни изрази
Приехме да бележим съжденията с малк
и
букви от латинската азбПриехме да бележим съжденията с малки букви от

латинската азбука
. В съждителното смятане буквите, с които се означават съждени
я
та, се наричат съждителни променливи. В
ч
астност с
и
ще означаваме съждителните променливи, които имат верност
ни сто
й
ности съответно
и
и ще ги
наричаме съждителни конст
анти.
Под съждителен израз се разбира съвкупност от съждителн
и променливи, свързан
и
в определен ред с някои от з
наците
–
–,
.
В частност,
в
сяка
променлива

се нарича израз. По-нататък съждит
е
лните изрази ще означаваме с гл
а
4. Релации в множеството н
а съжденията
О.7. Две съжден
ия
и
се наричат еквивалентни, ако имат равни верностни стойности. О
значава се с

(чете се "p екО.7. Две съждения
и
се наричат еквивалентни, ако имат ра
вни вер
ност
ни стойности. Означа
ва се с
(чете се "p еквивалентно на q").
Еквивалентността притежава следните свойства:
1. Рефлексивност – всяко съждение е еквивале
н
тно на себе си, т.е.
за всяко съждение
.
2. Симетричност – ако имам
е

, то и
за всеки 1. Рефлексивност – всяко съждение е еквивалентно на себе си, т
.
е.
за всяко съждение
.
2. Симетричнос
т
– ако имаме
, то и
за всеки две съждения
и
.
3. Транзитивност – ак
о
и
, то
за всеки три съждения
Аналогично, два
съждителни израза
и
се наричат еквивалентни, ако изразът

е общовалиден. Означ
а
ва се
.
Някои основни еквив
ал2. Симе
тричн
ост – ако има
м
е
,
то и
за
в
секи две съждения
и
.
3. Транзи
т
ивност – ако
и
, то
за все
к
13.
– закон за контрапоз
ицията.
Доказателствата на т
ези закони се получават най-лесно чрез съответните им верностни таблици
.
О.8. СДок
азателствата на тези закони се получават най-лесно чрез съответните им вернос
тни таб
лици
.
О.8. Съждението

се нарича следствие на съждението
, ако винаги, когато е вярно
, е вярно и
. Означава се с
(чете се "от
следва q").
Според то
в
а определение, съждението
следва от съждението
, когато верността н
а

гарантира верността на
. Не е трудно да се забележи оО.8. Съждението
се нари
ч
а следствие на съждението
, ако винаги,

когато е вярно
, е вярно и
. Означава се с
(чете се "от
следва q")
.
Спор
е
д това определение, съждениет
о
следва от съждението

, когато верността на
гарантира верността на
. Не е трудно
да се забележи общото

между релацията следва и опер
ацията им
плика
ция, а именно
,

т
очно когато

Тази релация притежава следнит
е
свойства:
1. Рефлексивност –
з
Ако
, то
се нарича дост
атъчно условие за верността
на
, а
се нарича необходимо условие за верността на
. От
следва,
че всяко от
двете съждения е необходимо и достатъчно за верността на другото.
6. Правила
за изво
д

. Главното свойство
на правилата за извод е, че те запазват верността на формулите.
Умозаключението е такава форма на мисленето, при която от едно или няк
о
лко съждения, наречени предпоставки, се получава ново съждение – заклю
ч
ение. То може да бъде правилно или неправилно. Интерес представляват правилните ум
о
заключения.
В съждителното смятане е пр
и
ето умозаключенията да се записват схематично по следния начин:
1.
;
2.
;

3.
; 4.
.
Символи от гор
ния вид се наричат схеми н
а съждителното смятане. Предпоставките са над хоризонталната ч
ерта, отделени една о
т
друга със запет6. Правила за
извод

. Гла
вното свойств
о
на
правилата з
а
извод е, че те запазват
.. Главн
о
то свойство на правилата за изв
о
Доказва се, че тя е правил
о за извод и се нарича прави
ло за силогизма, а по-общата схема
6.

се нарича правило за хипотети
чния силогиз
ъм. На практика, при доказателствата на различни теореми и решаването на зада
чи, се
изпо
лзва най-често това
правило, а след това правилото за отделяне.

6.

се нарича правилсе нарича правило за хипотетичния силогизъм. На практ
и
ка, при доказателствата на различни теореми и решаването на задачи, се

използва най-често това правило, а след това правилото за отделяне.