Бройни системи

1. Видове бройни системи
Oпределение 1. Бройна система се нарича съвкупността от начините за именуOпределение 1. Бройна система се нарича съвкупността от начините за именуване и записване на числата.
Бройните системи се разделят основно на два вида: непозиц
и
онни и позиционни
. Непозиционна се нарича
такава бройна
с
истема, в коят
о всеки знак в записа на число
т
о има самостоятелно значение и не зависи от
позицията, която заема в този запис. Този вид бройни системи сега се използв
ат рядко. Пр
имер за такава Бройните системи се разделят основно на два вида: непозиционни и позиционни. Неп
о
зиционна се нарича такава бройна система, в която всеки знак в записа на числото има самостоятелно значение и не зависи от п
озицията
, която заема в този запис. Този вид бройни системи сега се използват рядко. П
р
им
е
р
з
а
т
ак
а
ва

е

р
и
мската бройна система. Накратко тя се описва по следния начин: използват се цифрите I, V, X, L, C, D и M съответно за

числата 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000. До всяка цифра може да се поставят отдясно най-много до три еднакви цифри, означаващи

по-малки числа,
к
оито да бъдат съ
б
2. Клас на хилядите:
2.1. хиляди – четвърти ред;
2.2. десетохиляди – пети ред;
2.32.1. хиляди – четвърти ред;
2.2. десетохиляди – пети ред;
2.3. стохиляди – шести ред.
3. Клас на милионите:
3.2.2. десетохиляди – пети ред;
2.3. стохиляди – шести ред.
3. Клас
н
а милионите:
3.1.
милиони – седми ред;
3.2
. десетом2.3.
с
тохиляди – шес
ти ред.
3. Клас на милионите:
3
.1. милиони – седми ред;
3.2. десетомилиони
– осми ред;
3.33. Клас на милионите:
3.1. милиони – седми ред;
3.2. десетоми
лиони – осми
ред;
3.3. ст3.1. милиони – седми ред;
3.2. десетомилиони – осми ред;
3.3. стомилиони – девети
р
ед.
Следващите клас3.2. десетомилиони – осми ред;
3.3. стомилиони – девети ред.
Следващите класове и числа носят имена, коит
о не се
употребяв3.3. стомилиони – девети ред.
Следващите класове и числа носят имена,

ко
и
то

не

се

уп
о
т
р
е
б
яват в еднакъв смисъл в разлиСледващите класове и числа носят имена, които не се употребяват в еднакъв смисъл в различ
н
ите страни, нещо повече, понякога те имат различни имена в една и съща страна през различни периоди от нейното историческото

развитие.
Във Фр
а
нция през различ
н
Ако EMBED Equation.3
, то EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
. Ако продължим този процес (който е краен, тъй като редицата от естествените числа EMBED Equation.3
 е намаляваща), то при някое EMBED Equation.3
, EMBED Equ
a
tion.3
 ще стан
е по-малко от десет и пол
агайки EMBED
E
quation.3
 щ
е получим окончателния запис н
а
числото  EMBED Equation.DSMT4 
 в десе
тична бройна система
Да отбележим, че еднозначното опре
деляне на чи
слата EMBED Equation.3
 (според теоремата за деление с остатък) ни гарантира единствеността
н
а това представяне. Числото EMBED Equation.3
 ще записваме посредством своите цифри по някой от следните начини: EMBED E
quation.
3
, EMBED Equation.3
 или само EMBED Equation.3
 , където EMBED Equat
i
on
.
3

е
ц
и
фр
а
т
а

н
а единиците, EMBED Equation.3
е цифрата на десетиците и т.н.
Сега да преминем към по-общата задача.
Нека EMBED Eq
u
ation.3
 е естествено число. Бройната система, която има за основа EMBED Equation.3
 се нарича p-ична бройна система, ч
и
ито цифри са EM
B
ED Equation.3

.
Следователно EMBED Equation.3
 е остатъкът от делението на EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
, а
е непълното им частно. Ако сега постъпим аналогично с последното равенство, то ще получим EMBED Equation.3
 като остатък от д
е
лението на EMBED
Equation.3
 и EMBED E
quation.3
.
П
родължавайки т
ози процес, ще намерим числата

ъде решена.
За удобство тези пEMBED Equation.3

е непълното им частно. Ако
сега постъп
им аналогично с последне непълното им частно. Ако сега постъпим аналогично с последното равенст
в
о, то ще получим EMBED Equation.3
 като остатък от делението на EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
. Продължавайк
и този п
роцес, ще намерим числата EMBED Equation.3
, с което задачата ще бъде решен
а
.
З
а
у
до
б
ст
в
о
т
е
з
и

последователни деления се записват едно под друго във вид на стълба.
II. Преминаване от p-ична в десетична бройна сист
е
ма.
Сега трябва да решим обратната задача. Нека EMBED Equation.3
.
Да се намери десетичният запис на числото EMBED Equ
a
tion.3
. За да

решим тази задач
а
12323434545656767д7дводдвоична000001010011100100000010100100101001110010011100100111001011110010111011101110111П110111Приме111Пример . ППример . Да запишем числото EMBED Equation.3
 в двоична бройна сист
е
ма. Имаме
Equation.3
.
Пример . Д
а се запишат ч
и
слата EMBED E
quation.3
 и EMBED Equation
.
3
 в осмична бройна система. Имаме
Equation.3
 и EMBED Equation.3
.
Следователно, преминаването от осмична
в двоична б
ройна система стаEMBED Equation.3
.
Пример . Да се запишат числата EMBED Equation.3
 и E
M
BED EquПример . Да се запишат числата EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
 в осмична бройна система. Имаме
ation.3
Следователно, преминаването от осмична в двоична бр
о
йн
а
с
и
ст
е
ма

ст
а
в
а

к
ато заменим значението на всяка цифра на числото с равното му тризначно двоично число. Обратно, за да преминем от дво
и
чна в осмична бройна система, разделяме числото отдясно наляво на тройки (при непълнEMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
Следователно
,
преминаването о
т
Следователно, преминаването от осмична в двоична бройна система става като заменим значението на всяка цифра на числото с равното му тризначно двоично число. Обратно, за да преминем от двоична в осмична бройна система, разделяме числото отдясно наляво на тр
о
йки (при непълна
тройка най-вляво допълвам
е с една или д
в
е нули), след
което заменяме всяка тройка съ
с
съответната –осмична цифра, според горната
таблица.
Тези разсъждения, направени за EMBED Equation.3
, могат да бъдат
обобщени за
произволно EMBED Equation.3
. За да запишем едно естествено число в двоична бройна система,

ако то е зададено в система с основа EMBED Equation.3
, трябва да заменим значенията на EMBED Equation.3
-ичните му ци
фри с те
хните записи като EMBED Equation.3
-цифрени двоични числа.
3. Операции с ч
и
сл
а
,
з
ап
и
са
н
и
в

p
-
и
чна бройна система
I. Събиране.
Нека EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
 са две естествени числа, представени в
ъ
в вида:
Без ограничение на общността можем да приемем, че EMBED Equation.3
.
А
ко EMBED Equati
o
n.3
, то число
т
От горните разсъждения се вижда, че събирането на естествени числа, записани в p-ична бройна система, се свежда до събиране на едноцифрени числа в p-ична бройна система. За тази цел трябва да знаем съответната таблица за събиране на едноцифрени числа.
II. И
з
важдане.
Необходи
мото и достатъчно условие
, според Теоре
м
а 8 от §8 за с
ъществуването на разликата EM
B
ED Equation.3
 е EMBED Equation.3
EMB
ED Equation.3
. Затова отначало ще разгледаме задачата за сравняване на две
естествени
числа, записани в p-ична бройна система.
Теорема 2. Нека числата EMBED Equation.3
 и EMBED

Equation.3
 имат еднакъв брой цифри в p-ична бройна система
Тогава:
1. Ако 
EMBED Eq
uation.3
, то EMBED Equation.3
;
2. Ако EMBED Equation.3
, но EMBED E
q
ua
t
io
n
.3
,
т
о

E
M
BED Equation.3
;
3. Ако EMBED Equation.3
, то EMBED Equation.3
.
Следствие. Ако естествените числа EMBED Equa
t
ion.3
 и EMBED Equation.3
 имат различен брой цифри в p-ична бройнаII. Изваждане.
Необходимото и достатъчно условие, сп
о
ред ТНеобходимот
о
и достатъчно ус
л
то умножението се извършва по следния начин
Коефициентът пред EMBED Equation.3
е EMBED Equation.3
 и ако всички коеф
и
циентEMBED Equat
ion.3
 EMBED Equati
on.3
.
Коефи
ц
иентът пред E
MBED Equation.3
е EMBED Equ
a
tion.3
 и ако всички коефициенти са числа
по- малки от EMBED Equation.3
, то полКоефициентът пред EMBED Equation.3
Equation.3
 и ако всички коефициенти са числа по- малки от EMBED Equation.3
, то полученат
а
сума ще бъде p-ичния запис на произведението EMBED Equation.3
. Ако за някое EMBED Equation.3
 е изпълнено
uation.3
то от теоремата за деление с остатък ще получим
Т
о
га
в
а
EM
B
ED

Eq
u
a
t
i
o
n.3
.
Тук ще имаме "EMBED Equation.3
 наум" (което съответства на "EMBED Equation.3
наум" при събирането).

С
ледователно умножаването на числа, записани в p-ична бройна система, се свежда до умножаването на едноцифрени числа в тази с
и
стема.
Последно
т
о действие в гор
н
Аналогично, както при умножението, може да се изкаже правило за деление на едно естествено число, записано в p-ична бройна система на EMBED Equation.3
. Може да се разгледа и деление с остатък.
4. Признаци за делимост на естествени числа, записани в десет
и
чна бройна систем
а
Признак за делимост на
n
.3
. Едно ес
тествено число, записано в дес
е
тична система, се дели на EMBED Equation.3
дели на EM
BED Equation.3
.
Действително, ако
EMBED Equation.3
,
то EMBED E
q
uation.3
. Тогава EMBED Equation.3
.
Признак за делимост на EMBED Equation.3
. Едно естествено число, записано в дес
етична с
истема, се дели на EMBED Equation.3
 тогава и само тогава, ког4. Признаци з
а
д
е
ли
м
ос
т
н
а
е
с
т
е
с
т
вени числа, записани в десетична бройна система
Признак за делимост на EMBED Equation.3
. Едно естествено число, за
п
исано в десетична система, се дели на EMBED Equation.3
 тогава и само тогава, когато последната му цифра означава число,
к
оето се дели на
EMBED Equation.3
Признак за делимост на EMBED Equation.3
. Едно естествено число,Признак за делимост на EMBED Equation.3
. Едно естествено число, записано в десетична система, се дели на 8 тогава и само тогава, когато последните му три цифри озна
ч
ават число, делящ
о се на 8.
Действително,
ако
u
ation.3
EMB
ED Equation.3
,
то EMBED Eq
u
ation.3
.
Признак за делимост на 3. Едно
естествено число, записано в десетична система, се дели на 3 тогава и само то
гава, когато
сумата от значенията на цифрите му е число, което се дели на 3.
Преди да докажем този признак
,
ще покажем, че остатъкът от делението на числата EMBED Equation.3
 на EMBED Equation.3
 е единица, т.е. EMBED Equati
on.3
,
EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
. Доказателството на това твърдение

ще

на
п
ра
в
им

по

и
н
д
у
кция. За  EMBED Equation.3 
 имаме EMBED Equation.3
. Действително, ако

,
то EMBED EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
,
то EMBED Equation.3
.
Признак за делимост на 3. Едно естествено чис
л
о, записано в де
с
етична система,
с
Признак за делимост на  EMBED Equation.3 
. Едно естествено число, записано в десетична система, се дели на EMBED Equation.3
 тогава и само тогава, когато сумата от значенията на цифрите му е число, което се дели на EMBED Equation.3
.
Тъй като EM
B
ED Equation.3

и  EMBED Equation.3 

; EMBED Equat
i
on.3
 и EMB
ED Equation.3
;  EMBED Equa
t
ion.3 
 и EMBED Equation.3
, то като
следствия бихме могли да получим признаци за делимост на 6, 12, 15 и др.
Дока
зателството
на последните два признака ни подсеща да формулираме един достатъчно общ признак, който е извес
т
ен в математическата литература като Теорема на Паскал, за делимост на числа, записани в десетична система.
Теорема 3. (Паск
ал) Оста
тъкът от делението на числото EMBED Equation.3
 на числото EMBED Equation.
3

е

ра
в
ен

на

о
с
т
а
тъка от делението на числото
на числото EMBED Equation.3
, където EMBED Equation.3
 са съот
в
етно остатъците от делението на числата EMBТъй като EMBED Equation.3
 и  EMBED Equation.3 
; EMBED Equation.3
 и
EMBED Equation.3
t
Следователно EMBED Equation.3
.
От тази теорема следва, например, че EMBED Equation.3
. Но признакът е необходимо и достатъчно условие.От тази теорема следва, например, че