Елементи от теорията на числата

Както е известно, изваждането и делението на естествени числа не винаги е възможно. Въпросът за съществуване на разликата се решава просто: достатъчно е да установим, че b < а. За делението такъв общ и прост признак няма. Затова в математическата наука отда
вн
а

са се опитвали да намерят правил
а, които позволяват по записа на числото а да разберат дали то се дели на числото b.
В началния курс делимостта не се изучава, но много факти от този раздел неявно се изп
о
л
з
в
ат.
Например пр
и
знаците за делимост на сума, разлика и произведение на число са тясно свързани с правилата на деление на сума, разлика и произведение на числа
,

изучавани в началните класове.
Изобщо з
н
ан
ията за делимостта на естествените числа разширяват представите за множеството на естествените числа и позволяват по-дълбоко усвояване на материала, свързан с делението на тези числа.
Релацията делимост в множеството на естествените числа
Определение 1. Казва се, че естественото чи
сло EMBED Equation.3
 дели естественото число EMBED Equation.3
, или още EMBED Equation.3
 се дели на EMBED Equation.3
, ако частното на EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
 съ
Теорема 1. За всеки две естествени числа EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
 съществуват, при това еднозначно определени, естествени числа EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
, наречени съответно непълно частно и остатък, такива че е изпълнен
о
р
а
венството EMBED Equation.3
,
където EMBED Equation.3
 удовлетворява неравенствата EMBED Equation.3
.
Определение 2. Операцията, при която по две дадени естествени числа EMBED Equation.3
 и 
E
M
B
E
D E
quation.3


се намират непълното частно EMBED Equation.3
 и остатъкът  EMBED Equation.3 
при делението на EMBED Equation.3
 на  EMBED Equation.3


Разбир
а
с
е, ако EMBED Equation.3
 се дели на  EMBED Equation.3 
 то остатъкът е равен на нула. Равенството от Теорема 1. може да бъде записано във вида EMBED Equation.3
, откъдето се вижда, че понятието непълно частно при операцията деление с остатък има смисъл на цяла част.
На
й-голям общ делител и най-малко общо кратно
1. Най-голям общ делител
Предварително ще направим уговорката, че до края на този параграф под естествено число ще разбираме различни от нула естестве
Теорема 2. Ако EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
, са естествени числа, то
2. Взаимно прости числа
Определение 3. Две или повече естествени числа се наричат взаимно прости, ако техният най-голям общ д
ел
и
т
ел е равен на единица.
Да разгле
даме някои свойства на взаимно простите числа.
Теорема 3. Ако EMBED Equation.3 
.
2. Взаимно прости числа
Определение 3. Две или повече естествени числа се2. Взаимно
п
р
о
с
ти
числа
Опреде
л
ение 3. Две или повече естествени числа се наричат взаимно просОпределение 3. Две или повече естествени числа се наричат взаимно прости, ако те
х
н
ият най-голям общ делител е равен на еди
н
иц
а.
Да разгледаме някои свойства на взаимно простите числа.
Теорема 3. Ако EMBED Equation.3
 и  EMBED Equation.3 
, то EMBED Equation.3
.
Теорема 4. Ако естествените числа EMBED Equation.3
, EMBED Equation.3
 и  EMBED Equation.3 
са такива, че  EMBED Equation.3

 и  EMBED Equation.3 
, то  EMBED Equation.3 

Теорема 5. Ако EMBED Equation.3
 и  EMBEДа разгледаме някои свойства на взаимно простите числа.
Теорема 3. Ако EMBED Equation.3

Теорема 8. За всеки две естествени числа EMBED Equation.3
 и Теорема 8. За всеки две естествени числа EMBED Equation.3
 и EMBED Equation.3
 е в сила равенството. EMBED Equation.3 

Теорема 8 освен че посочва начин за намир
ан
е

на най-малкото общо кратно на дв
е числа, тя е и теорема за съществуване.
Основна теорема на аритметиката
1. Прости и съставни числа
Определение 1. Всяко естествено число EMBED Equation.3
, се нарича

п
р
о
сто
, ако то се
д
ели само на себе си и на единица.
Определение 2. Всяко естествено число EMBED Equation.3
 се нарича съставно, ако освеТеорема 8 освен че пос
о
ч
ва начин за намиране на най-малкото общо

кр
атно на две числа, тя е и теорема за съществуване.
Основна теорема на аритметиката
1. Прости и съставни числа
Определение 1. Всяко естествено число EMBED Equation.3
, се нарича просто, ако то се дели само на себе си и на единица.
Определение 2. Всяко естествено число EMBED Equ
ation.3
 се нарича съставно, ако освен на себе си и на единицата се дели и на други числа.
От горните определения се вижда,Основна теорема на аритметиката
1. Прости и съставни числа
Определение
Теорема 3. (Основна теорема на аритметиката) Всяко естествено число  EMBED Equation.3 
 може да се представи еднозначно (с точност до реда на множителите), като произведение на краен брой прости числа.
Нека  EMBED Equation.3 
. Обединявайки равните
пр
о
с
ти множители, получаваме  EMBED
Equation.3 
, където  EMBED Equation.3 
 са различни прости числа, а  EMBED Equation.3 
,, са естествени числа. Последното представяне на  EMBED Equation.3


се
нарича канон
и
чно разлагане на това число на прости множители.
Сега ще разгледаме едно приложение на каноничното разлагане на естествените числа за намиране
н
а
най-голям общ делител и най-малко общо
к
ра
тно на няколко естествени числа. Например, ако  EMBED Equation.3 
 и  EMBED Equation.3 
 са две естествени числа и  EMBED Equation.3 
 са вНека  EMBED Equation.3 
. Обединявайки равните прости множители, получаваме  EMBED Equation.3 
, където  EMBED Equation.3

 са различни прости числа, а  EMBED Equation.3 
,, са естествени числа. Последното представяне на  EMBED Equation.3 
 се нарича канонично разлагане на това число на прости множители.