Графично представяне на експериментални данни

Слайд 1

Графично представяне на експериментални данни

Номинални данни
Рангови данни
Количествени данни
Гл. ас. д-р Златина Шаркова
2014 г.

Слайд 2

Честотни таблици
Пример: Броят на учениците от 4., 5. и 6 класове, класирали се за национален кръг на ОМ, съответно е: 30 ученици, 20 ученици, 20 ученици.
Задачи: 1. Какъв е обемът на извадката? п = 30 + 20 + 20 = 70.
2. Попълнете таблицата за абсолютните честоти.
Нов термин: Честотно разпределение = централна тенденция. Това е колоната с
/f/ от таблицата.

Слайд 3

Стълбова /лентова диаграма
За същите данни може да се изготви и стълбова диаграма, като основите на стълбовете за всеки клас са с еднаква дължина и разстоянието между тях е равно. Обикновено се използва различен мащаб за осите Х/абциса и У/ордината с оглед на прегледността на графиката.

Слайд 4

Таблица с относителни дялове / относителни честоти
За същите данни можем да използваме и таблица с отнисителн дялове/честоти. Припомняме, че p = f : n ; % = p . 100. Допуска се използване на закръгляне до стотни при изчисляване на p.

Слайд 5

Кръгова диаграма
За същите данни може да се изготви и кръгова диаграма. Има се предвид, че се работи в % и площта на кръга е 100% и съответно 360º. Големината на централния ъгъл за всяка категория /4., 5., 6. клас/ се изчислява така: (Число в % . 360) : 100. Тук също се допуска закръгляне, с оглед на това сборът от централните ъгли да е точно 360º.

Слайд 6

Рангови/ординални променливи
Нови термини:
Процентил : P = p~ . 100
Процентилна крива
Мода
Медиана
Нарстващ и намаляващ вариационен ред

Мода (Мо) – Най-често срещаната категория в една извадка.
Например: 2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5. Тук най-често срещаната категория е 4. Значи Мо = 4.
Пример: От изпитен вариант №1 за резултатите от теста за 4а клас :
а/ образувайте възходящ / от Слаб 2 до Отличен 6/ или низходщ вариационен ред /от Отличен 6 до Слаб 2 / според резултатите на учениците.
б/ Попълнете следната таблица, имайки предвд тези резултати за 4а клас.

Слайд 7

Задачи за самостоятелна работа
1. Разгледайте списъка с участниците на състезание „Европейско кенгуру“. Проследете участието на учениците от следните училища: ОМГ“Акад. Кирил Попов“, СОУ“Св. Патриарх Евтимий“ и СОУ“Св. Софроний Врачански“. Представете данните в:

- Честотна таблица;
- Стълбова/лентова диаграма;
- Таблица с относителни дялове/честоти;
- Кръгова диаграма.

2. Изгответе заданието ръчно с помощта на чертожни инструменти и чрез EXEL.

Слайд 8

Таблица с данни за 4а клас – ординални данни.

Слайд 9

Процентилна крива на разпределението на резултатите на 4а клас

Слайд 10

Коментар на процентилната крива. Задача за самостоятелна работа.
Процентилната крива на разпределението на резултатите на учениците от 4а клас ни служи, за да се направят някои изводи. Само от рисунъка на кривата може да се заключи, че:
Разпределението на оценките се долближава до нормалното разпределение на данните – по-малко оценки в двете крайни категории и повече оценки в междинните категории;
Мо = 4, т.е. 52% от учениците имат резултати Добър /4/ и по-малък от този резултат;
Съответно 48% от учениците са оценени с Мн.д. /5/ и Отл. /6/.
Задача за самостоятелна работа:

От изпитен вариант №1 обработете резултатите за 4б клас, използвайки същите действия. Помогнете си с аналогична таблица.
Крайната цел е да се начертае процентилна крива на разпределението на оценките за учениците от 4б клас и да се извърши коментар на постиженията на учениците.
Опитайте се да сравните процентилните криви на разпределение на резултатите за 4а и 4б класове. Ако е възможно ги обединете в един чертеж/ една координатна система. Направете необходимите изводи.

Слайд 11

Медиана при статистическите вариационни редове
При рангови/ординални и количествени данни освен модата /Мо/ съществува още един основен измерител – медиана /Ме/. Най-общо медианата е точка, разполовявяща вариационния ред.
Съществуват вариационни редове от данни /нарастващи или намаляващи /, които съдържат нечетен брой категории или четен брой категории.
- За нечетен брой категории:

Например разполагаме със следните данни, подредени във възходящ вариационен ред:

1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4. Вижда се, че имаме 15 на брой категории, разпределени в 4 групи /1, 2, 3, 4/. За да изчислим Ме трябва да намерим средата на този вариационен ред. 15 : 2 = 7,5, но 14 : 2 = 7, затова отброяваме по 7 оценки отпред- назад и отзад-напред. 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4.
└ 7 оценки 7 оценки ┘
В средета на вариационния ред остава 3. Следователно Ме = 3.

Слайд 12

Медиана при статистическите вариационни редове
Ако данните са четен брой:
Например:
6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9. Вижда се, че категориите са 14 на брой, разпределени в 4 групи /6, 7, 8 и 9/. Тогава 14 : 2 = 7,отброявам по 7 категории отпред-назад и отзад –напред 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9.
└7 категории 7 категории┘
Получават се 8,8. Ме изчисляваме така: (8 + 8) : 2 = 8. Значи Ме = 8.
Други начини за изчисляване на Ме:
2 Начин: Ако е начертана процентилната крива на разпределение, Ме пада върху 50 процентил.
Задача: Вижте процентилните криви на разпределение на оценките за 4а и 4б класове. Определете Ме за 4а и 4б клас.
3 Начин: Чрез т.н. МЕДИАНЕН КРИТЕРИЙ. При него се сравняват две извадки, според централните им тенденции, т.е. честотните разпрезделения.
Задача: Помогнете си със следната таблица и определете обща Ме за 4а и 4б класове.

Слайд 13

Медиана при статистически вариационни редове. Медианен критерий.
Коментар:
1. И двете извадки/класа имат един и същ обем. N = 27;

2. Разглеждаме таблицата и търсим реда с най-големи числа във втора, трета и най-големи сборове в четвърта колона;

3. Търсеният ред е за категорията Добър /4/: 9, 7, и 16;

4. Числото 16 е най-големия сбор в четвърта колона /f¹ + f²/.

5. Следователно общата Ме за 4а и 4б клас според постиженията е 4. Ме = 4.

6. Най-общо казано, можем да заключим, че резултатите за 4а и 4б клас , според медианния критерий са еднакви.

Таблица за постижения за 4а и 4б класове

Слайд 14

Количествени данни /променливи/
Количествените данни са най-висшия тип статистически данни. При тях се осъществяват броене, сравняване и измерване.
Нови термини:
- средно аритметично;
- полигон;
- хистограма
Средно аритметично се изчислява по формули за групирани и негрупирани данни само за този вид данни.
Хистограма е стълбова диаграмата за отбелязване на количествени данни. За разлика от стълбовата диаграма при номиналните данни, стълбовете на диаграмата/хистограмата при количествените данни са долепени.
Полигон е кривата на разпределението на количествените данни.

Слайд 15

Пример за количествени данни
Нека са дадени следните данни от проверка на тест по математика с еднаква трудност на тестовите задачи, записани по реда на оценяването им от учителя. Числата показват брой вярно решени тестови задачи:
1, 2, 3, 3, 4
2, 1, 3, 4, 5
3, 0, 5, 4, 4
0, 3, 2, 2, 5
Въпроси към студентите:
В1: Какъв е броят на изследваните лица?
В2: Колко са категориите?
Задача към студентите
Попълнете данните в начертаната таблица за конкретния пример.
Означения: x– категория от 0 вярно решени тстови задачи до 5 вярно решени тестови задачи.
f – абсолютна честота
р – относителна честота

Слайд 16

Таблица с данни за количествени данни

Слайд 17

При изчисляване на средно аритметично е препоръчително данните да са групирани!
Средно аритметично при негрупирани данни
Средно аритметично при групирани данни
—
Х = ∑ х : n,
Където х са категориите, а n е обемът на извадката.
Изчисление за конкретния пример:
—
Х=(0+0+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5) : 20 = 2,8
—
Х = 2,8
—
Х = ∑ ( f . х ) : n,
Където х са категориите, а n е обемът на извадката.
f – абсолютна честота
Изчисление за конкретния пример:
—
Х = ( 2.0+2.1+4.2+5.3+4.4+3.5) : 20 = 2,8

Слайд 18

Хистограма

Слайд 19

Полигон – крива на честотното разпределение при количествени данни

Слайд 20

Връзка между мода, медиана и средноаритметична величина.
Връзка между мода, медиана и средноаритметично:
─
Мо = 3 . Ме – 2 . х
─
Ме = ( Мо + 2 . х ) : 3
─
х = ( 3 . Ме - Мо) : 2

Понякога се налага да се изполват връзките между тези характеристики за нуждите на статистическите изследвания.
Задача: Намерете Ме, ако Мо = 5, а средноаритметичното е 4,2.

Задача за самостоятелна работа
При диктовка ученици са допуснали различен брой правописни грешки. Учителят ги е записал по реда на проверка на диктовките:
2,1,3,4,4,5
3,1,2,2,5,4
2,2,2,3,4,4,
5,2,3,5,5,5.
Въпроси:
В1: Колко ученици са правили диктовка?
В2: Колко са категориите /правописните грешки/?
Въведете данните в подходяща таблица, начертайте хистограма и полигон.

Слайд 21

Решение на задачата за количествени данни. Хистограма.

Слайд 22

Решение на задачата за количествени данни. Полигон.

Регистрирайте се за пълен достъп