Графики на функции и повърхнини

Графики на функции и повърхнини
Николай Икономов
23 март 2013 г.

Съдържание
1 Функции 3
1.1 Тригонометрични функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Обратни тригонометрични функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Хиперболични функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Обратни хиперболични функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Още графики на функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Производни на функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Анализиране на функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Криви линии от втора степен 14
2.1 Елипса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Хипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Повърхнини от втора степен 18
3.1 Елипсоидни повърхнини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Хиперболоидни повърхнини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Параболоидни повърхнини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Цилиндрични повърхнини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Равнини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Координатни системи 23
4.1 Полярни координати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Цилиндрични координати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Сферични координати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Вектори 25
5.1 Скаларно произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Векторно произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 Смесено произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Литература 26
За контакти: nike32@abv.bg, http://justmathbg.info/.

1 Функции
1.1 Тригонометрични функции
Тригонометрични функции (Trigonometric functions).
Синус (Sine)
sin(�), �∈(−∞,∞), �∈[−1,1]-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Косинус (Cosine)
cos(�), �∈(−∞,∞), �∈[−1,1]-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Тангенс (Tangent)tan(�) =
sin(�)
cos(�)
, �∈(−�/2, �/2), �∈(−∞,∞)
�∈(��/2,(�+ 2)�/2), �∈(−∞,∞), �=±1,±3,±5, . . .-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6

1 Функции 4
Котангенс (зелено: тангенс) (Cotangent)
cot(�) =
cos(�)
sin(�)
, �∈(0, �), �∈(−∞,∞)
�∈(��,(�+ 1)�), �∈(−∞,∞), �= 0,±1,±2,±3, . . .-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Секант (зелено: косинус) (Secant)
sec(�) =
1
cos(�)
, �∈(−�/2, �/2), �∈(−∞,−1]∪[1,∞)
�∈(��/2,(�+ 2)�/2), �∈(−∞,−1]∪[1,∞), �=±1,±3,±5, . . .-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Косекант (зелено: синус) (Cosecant)
csc(�) =
1
sin(�)
, �∈(0, �), �∈(−∞,−1]∪[1,∞)
�∈(��,(�+ 1)�), �∈(−∞,−1]∪[1,∞), �= 0,±1,±2,±3, . . .-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6

1 Функции 5
1.2 Обратни тригонометрични функции
Обратни тригонометрични функции (Inverse trigonometric functions). Arc е за дъга
(Arc stands for arcus).
Аркус синус (Inverse sine)
arcsin(�), �∈[−1,1], �∈[−�/2, �/2]
�∈[−1,1], �∈[��/2,(�+ 2)�/2], �=±1,±3,±5, . . .-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Аркус косинус (Inverse cosine)
arccos(�), �∈[−1,1], �∈[0, �]
�∈[−1,1], �∈[��,(�+ 1)�], �= 0,±1,±2,±3, . . .-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Аркус тангенс (Inverse tangent)
arctan(�), �∈(−∞,∞), �∈(−�/2, �/2)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6

1 Функции 6
Аркус котангенс (зелено: аркус тангенс) (Inverse cotangent)
arccot(�) =
�
2
−arctan(�), �∈(−∞,∞), �∈(0, �)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Аркус секант (зелено: аркус косинус) (Inverse secant)
arcsec(�) = arccos(�
−1
) = arccos(1/�)
�∈(−∞,−1], �∈(�/2, �]∪�∈[1,∞), �∈[0, �/2)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Аркус косекант (зелено: аркус синус) (Inverse cosecant)
arccsc(�) = arcsin(�
−1
) = arcsin(1/�)
�∈(−∞,−1], �∈[−�/2,0)∪�∈[1,∞), �∈(0, �/2]-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6

1 Функции 7
1.3 Хиперболични функции
Хиперболични функции (Hyperbolic functions).
Хиперболичен синус (Hyperbolic sine)
sinh(�) =
�
�
−�
−�
2
, �∈(−∞,∞), �∈(−∞,∞)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Хиперболичен косинус (Hyperbolic cosine)
cosh(�) =
�
�
+�
−�
2
, �∈(−∞,∞), �∈[1,∞)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Хиперболичен тангенс (Hyperbolic tangent)
tanh(�) =
sinh(�)
cosh(�)
=
�
�
−�
−�
�
�
+�
−�
=
�
2�
−1
�
2�
+ 1
, �∈(−∞,∞), �∈(−1,1)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6

1 Функции 8
Хиперболичен котангенс (зелено: tanh) (Hyperbolic cotangent)
coth(�) =
cosh(�)
sinh(�)
=
�
�
+�
−�
�
�
−�
−�
, �∈(−∞,0)∪(0,∞), �∈(−∞,−1)∪(1,∞)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Хиперболичен секант (зелено: cosh) (Hyperbolic secant)
sech(�) =
1
cosh(�)
=
2
�
�
+�
−�
, �∈(−∞,∞), �∈(0,1]-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Хиперболичен косекант (зелено: sinh) (Hyperbolic cosecant)
csch(�) =
1
sinh(�)
=
2
�
�
−�
−�
, �∈(−∞,0)∪(0,∞), �∈(−∞,0)∪(0,∞)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6

1 Функции 9
1.4 Обратни хиперболични функции
Обратни (областни) хиперболични функции (Inverse (area) hyperbolic functions).
Ar е за област (Ar stands for area).
Област хиперболичен синус (Inverse hyperbolic sine)
arsinh(�) = ln(�+
√
�
2
+ 1), �∈(−∞,∞), �∈(−∞,∞)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Област хиперболичен косинус (I квадрант: знак+, IV квадрант: знак−) (Inverse
hyperbolic cosine)
arcosh(�) = ln(�±
√
�
2
−1), �∈[1,∞), �∈(−∞,∞)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Област хиперболичен тангенс (Inverse hyperbolic tangent)
artanh(�) =
1
2
ln
1 +�
1−�
, �∈(−1,1), �∈(−∞,∞)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6

1 Функции 10
Област хиперболичен котангенс (зелено: artanh) (Inverse hyperbolic cotangent)
arcoth(�) = artanh
(︂
1
�
)︂
=
1
2
ln
�+ 1
�−1
, �∈(−∞,−1)∪(1,∞), �∈(−∞,0)∪(0,∞)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Област хиперболичен секант (I квадрант: знак+, IV квадрант: знак−) (зелено:
arcosh) (Inverse hyperbolic secant)
arsech(�) = arcosh
(︂
1
�
)︂
= ln
1±
√
1−�
2
�
, �∈(0,1], �∈(−∞,∞)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
Област хиперболичен косекант (I квадрант: знак+, III квадрант: знак−) (зелено:
arsinh) (Inverse hyperbolic cosecant)
arcsch(�) = arsinh
(︂
1
�
)︂
= ln
1±
√
1 +�
2
�
, �∈(−∞,0)∪(0,∞), �∈(−∞,0)∪(0,∞)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6

1 Функции 11
1.5 Още графики на функции
Синус и косинус-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
sin(x)
cos(x)
Хиперболичен синус и косинус-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
sinh(x)cosh(x)
e
-x
/2
-e
-x
/2
e
x
/2
-e
x
/2 Експоненциална функция (Exponential function)
�=�
�
, �∈(−∞,∞), �∈(0,∞)
Натурален логаритъм (Natural logarithm)
�= ln(�), �∈(0,∞), �∈(−∞,∞)-3
-2
-1
0
1
2
3
-6 -4 -2 0 2 4 6

1 Функции 12
1.6 Производни на функции
Формула за намиране на производни:
�
′
=
1
�
′
⇐⇒�
′
=
1
�
′
Логаритъм:
�= ln(�)⇐⇒�=�
�
(=�
−1
(�))
(�
�
)
′
=
1
(ln(�))
′
=
1
1/�
=�=�
�
Аркус тангенс:
�= arctan(�)⇐⇒�= tan(�)
(arctan(�))
′
=
1
(tan(�))
′
=
1
1/cos
2
(�)
= cos
2
(�) =
1
1 + tan
2
(�)
=
1
1 +�
2
Списък на производните:
∙(sin(�))
′
= cos(�),(cos(�))
′
=−sin(�),
∙(tan(�))
′
=
1
cos
2
(�)
,(cot(�))
′
=−
1
sin
2
(�)
,
∙(sec(�))
′
= sec(�) tan(�) =
sin(�)
cos
2
(�)
,(csc(�))
′
=−csc(�) cot(�) =−
cos(�)
sin
2
(�)
,
∙(arcsin(�))
′
=
1
√
1−�
2
,(arccos(�))
′
=−
1
√
1−�
2
,
∙(arctan(�))
′
=
1
1 +�
2
,(arccot(�))
′
=−
1
1 +�
2
,
∙(arcsec(�))
′
=
1
�
√
�
2
−1
,(arccsc(�))
′
=−
1
�
√
�
2
−1
,
∙(sinh(�))
′
= cosh(�),(cosh(�))
′
= sinh(�),
∙(tanh(�))
′
=
1
cosh
2
(�)
,(coth(�))
′
=−
1
sinh
2
(�)
,
∙(sech(�))
′
=−sech(�) tanh(�),(csch(�))
′
=−csch(�) coth(�),
∙(arsinh(�))
′
=
1
√
�
2
+ 1
,(arcosh(�))
′
=
1
√
�
2
−1
,
∙(artanh(�))
′
=
1
1−�
2
,(arcoth(�))
′
=
1
1−�
2
,
∙(arsech(�))
′
=−
1
�
√
1−�
2
,(arcsch(�))
′
=−
1
�
√
1 +�
2
,
∙(�
�
)
′
=�
�
ln(�),(�
�
)
′
=�
�
,
∙(log
�(�))
′
=
1
�ln(�)
,(ln(�))
′
=
1
�
,
∙(�
�
)
′
=��
�−1
,(��)
′
=�,�
′
= 0.

1 Функции 13
1.7 Анализиране на функции
Нека да имаме следната функция:
�=
�
3
3
−4�-10
-5
0
5
10
-10 -5 0 5 10
Първата производна е�
2
−4, корените са−2и2. Знакът около−2е