Таблици за интегриране и диференциране

Неопределени интеграли. Доц. д-р Елена Върбанова.
Интеграл Метод
1.От някои класове ирационални функции
1а.
∫︁
�
(︀
�
�1/�1
, �
�2/�2
, . . . , �
��/��
)︀
���=�
1/�
,�=�
�
,�=НОК(�1, �2, . . . , ��)
1б.
∫︁
�
(︁
�,
(︀
��+�
��+�
)︀
�1/�1
, . . . ,
(︀
��+�
��+�
)︀
��/��
)︁
���=
(︂
��+�
��+�
)︂
1/�
,�=
�
�
�−�
�−��
�
2.От диференциален бином
∫︁
�
�
(�+��
�
)
�
��
2а.�— цяло число, т.е.�∈Z представлява интеграл от вида 1а
2б.�=
�
�
;�, �∈Z;
�+ 1
�
∈Z �+��
�
=�
�
,�=
(︂
�
�
−�
�
)︂
1/�
2в.�=
�
�
;�, �∈Z;
(︂
�+ 1
�
+�
)︂
∈Z ��
−�
+�=�
�
,�=
(︂
�
�
�
−�
)︂
1/�
3.Абелеви интеграли
∫︁
�(�,
√
��
2
+��+�)��
3а.� >0
√
��
2
+��+�=±�
√
�±�
3б.� >0
√
��
2
+��+�=±
√
�±��
3в.�
2
−4�� >0;�, �— реалните корени на
√
��
2
+��+�=
√︀
�(�−�)(�−�)=
квадратното уравнение��
2
+��+�= 0 �(�−�)или�(�−�)
4.
∫︁
�(�,
√
�
2
−�
2
)���=�sin(�),��=�cos(�)��,
√
�
2
−�
2
=�cos(�)
или
�=�cos(�),��=−�sin(�)��,
√
�
2
−�
2
=�sin(�)
5.
∫︁
�(�,
√
�
2
+�
2
)���=�tan(�),��=
���
cos
2
(�)
,
√
�
2
+�
2
=
�
cos(�)
или
�=�sinh(�),��=�cosh(�)��,
√
�
2
+�
2
=�cosh(�)
6.
∫︁
�(�,
√
�
2
−�
2
)���=�cosh(�),��=�sinh(�)��,
√
�
2
−�
2
=�sinh(�)
7.От рационални функции наsin(�)иcos(�)Универсална субституция
∫︁
�(sin(�),cos(�))��tan
(︁
�
2
)︁
=�,�= 2 arctan(�),��=
2��
1 +�
2
,
sin(�) =
2�
1 +�
2
,cos(�) =
1−�
2
1 +�
2
Частни случаи
7а.�(−sin�,cos�) =−�(sin�,cos�) cos(�) =�,�= arccos(�),sin(�) =
√
1−�
2
7б.�(sin�,−cos�) =−�(sin�,cos�) sin(�) =�,�= arcsin(�),cos(�) =
√
1−�
2
7в.�(−sin�,−cos�) =�(sin�,cos�) tan(�) =�,�= arctan(�),
sin(�) =
�
√
1 +�
2
,cos(�) =
1
√
1 +�
2
1

Производни и интеграли. Доц. д-р Елена Върбанова.
Таблица на производните на елемен-Таблица на неопределените интеграли
тарните функции при аргумент�(�) при аргумент�(�)
{�[�(�)]}
′
=�
′
[�(�)]�
′
(�) =�[�(�)]�
′
(�)
∫︁
�[�(�)]�
′
(�) =
∫︁
�[�(�)]��(�) =�[�(�)] +�
{[�(�)]
�
}
′
=�[�(�)]
�−1
�
′
(�)
∫︁
[�(�)]
�
�
′
(�)��=
∫︁
[�(�)]
�
��(�) =
[�(�)]
�+1
�+ 1
+�
[�
�(�)
]
′
=�
�(�)
�
′
(�)
∫︁
�
�(�)
�
′
(�)��=
∫︁
�
�(�)
��(�) =�
�(�)
+�
[�
�(�)
]
′
=�
�(�)
�
′
(�) ln�
∫︁
�
�(�)
�
′
(�)��=
∫︁
�
�(�)
��(�) =
�
�(�)
ln(�)
+�
[ln�(�)]
′
=
�
′
(�)
�(�)
∫︁
�
′
(�)
�(�)
��=
∫︁
��(�)
�(�)
= ln|�(�)|+�
[log
��(�)]
′
=
�
′
(�)
�(�) ln�
∫︁
�
′
(�)
�(�)
��=
∫︁
��(�)
�(�)
= ln�log
�|�(�)|+�
{sin[�(�)]}
′
= cos[�(�)]�
′
(�)
∫︁
cos[�(�)]�
′
(�)��=
∫︁
cos[�(�)]��(�) = sin[�(�)] +�
{cos[�(�)]}
′
=−sin[�(�)]�
′
(�)
∫︁
sin[�(�)]�
′
(�)��=
∫︁
sin[�(�)]��(�) =−cos[�(�)] +�
{tan[�(�)]}
′
=
�
′
(�)
cos
2
[�(�)]
∫︁
�
′
(�)
cos
2
[�(�)]
��=
∫︁
��(�)
cos
2
[�(�)]
= tan[�(�)] +�
{cot[�(�)]}
′
=−
�
′
(�)
sin
2
[�(�)]
∫︁
�
′
(�)
sin
2
[�(�)]
��=
∫︁
��(�)
sin
2
[�(�)]
=−cot[�(�)] +�
{arcsin[�(�)]}
′
=
�
′
(�)
√︀
1−�
2
(�)
∫︁
�
′
(�)
√︀
1−�
2
(�)
��=
∫︁
��(�)
√︀
1−�
2
(�)
= arcsin[�(�)] +�
{arccos[�(�)]}
′
=−
�
′
(�)
√︀
1−�
2
(�)
∫︁
�
′
(�)
√︀
1−�
2
(�)
��=
∫︁
��(�)
√︀
1−�
2
(�)
=−arccos[�(�)] +�
{arctan[�(�)]}
′
=
�
′
(�)
1 +�
2
(�)
∫︁
�
′
(�)
1 +�
2
(�)
��=
∫︁
��(�)
1 +�
2
(�)
= arctan[�(�)] +�
{arccot[�(�)]}
′
=−
�
′
(�)
1 +�
2
(�)
∫︁
�
′
(�)
1 +�
2
(�)
��=
∫︁
��(�)
1 +�
2
(�)
=−arccot[�(�)] +�
{sinh[�(�)]}
′
= cosh[�(�)]�
′
(�)
∫︁
cosh[�(�)]�
′
(�)��=
∫︁
cosh[�(�)]��(�) = sinh[�(�)] +�
{cosh[�(�)]}
′
= sinh[�(�)]�
′
(�)
∫︁
sinh[�(�)]�
′
(�)��=
∫︁
sinh[�(�)]��(�) = cosh[�(�)] +�
{tanh[�(�)]}
′
=
�
′
(�)
cosh
2
[�(�)]
∫︁
�
′
(�)
cosh
2
[�(�)]
��=
∫︁
��(�)
cosh
2
[�(�)]
= tanh[�(�)] +�
{coth[�(�)]}
′
=−
�
′
(�)
sinh
2
[�(�)]
∫︁
�
′
(�)
sinh
2
[�(�)]
��=
∫︁
��(�)
sinh
2
[�(�)]
=−coth[�(�)] +�
2

Числови и степенни редове. Доц. д-р Елена Върбанова.
Критерий Предположения Твърдения
(нека; ако