Материали за подготовка за изпит

Решени изпитни теми по Висша Математика I
за Технически Университет — София
Николай Икономов
23 март 2013 г.

Съдържание
Указател 3
1 Първа тема 5
2 Втора тема 17
3 Трета тема 29
4 Четвърта тема 45
5 Пета тема 55
6 Шеста тема 64
7 Седма тема 70
8 Осма тема 78
9 Задачи по алгебра 87
10 Задачи по анализ 97
11 Задачи по геометрия 103
12 Още задачи 115
Литература 122
Темите са взети от форума на ТУ–София (линк, линк) и от студенти. За контакти:
nike32@abv.bg, http://justmathbg.info/.
∙Първа, втора тема (А. Георгиева, 2009, 2010)
∙Трета тема (Д. Симеонова, Септември 2009)
∙Четвърта тема (Л. Гърневска, 2008)
∙Пета до седма тема (Ю. Пешева, 2008)
∙Осма тема (Д. Симеонова, Септември 2010)
Означения: тангенсtan(�), котангенсcot(�), аркус тангенсarctan(�).

Указател
Задачите по категории.
Линейна алгебра
∙Полиноми
–каноничен вид чрез правило на Хорнер — 1-1б+теория, 2-1а, 9-6
–разлагане на полиноми — 2-5а, 2-5б+теория, 3-6а, 5-2а, 5-2в+теория, 6-3б,
8-3б, 10-6
–деление на полиноми — 9-5
∙Матрици
–ранг — 1-2а+теория, 2-1б, 6-4, 9-9
–матрични уравнения — 4-1б+теория, 5-5, 7-4, 8-4, 9-8
–матрични уравнения символно — 1-2б+теория, 2-2б
–метод на Гаус — 1-3а+теория, 2-2а, 3-1а, 8-5, 9-3
–метод на Крамер — 9-4+теория
–собствени стойности — 9-7+теория
∙Комплексни числа — 1-1а, 4-1а, 9-1, 9-2
Математически анализ
∙Граници — 6-1а+теория, 7-1а
–правило на Лопитал — 2-4а, 3-4а+теория, 5-1а, 6-1б, 7-1б, 8-1, 10-8, 12-1
∙Функции — 4-2+теория, 8-2+теория, 10-9, 12-2, 12-4
–екстремуми и инфлексни точки — 2-4б+теория, 3-5а, 5-3, 12-3, 12-5
–интервали на растене и намаляване — 6-2б, 7-2б
–диференциране — 3-4б+теория, 5-1б, 5-1в, 6-2а, 7-2а, 10-7
∙Интеграли
–неопределени — 3-6а, 5-2а, 10-1, 10-2, 10-3, 10-4, 12-6
–неопределени, със субституция — 2-5а+теория, 8-3б, 10-5, 10-6
–определени — 2-5б+теория, 4-3, 6-3а, 7-3а, 7-3б, 8-3а
–определени, със субституция — 3-6б, 5-2в, 6-3б
–специални — 5-2б, 6-3в, 7-3в, 7-6

Висша Математика I Съдържание 4
Аналитична геометрия
∙В равнината — 11-1
–триъгълници — 1-4б, 2-3а, 3-2, 7-5, 8-6а, 11-3, 11-4
–скаларно произведение — 3-1б, 3-3, 11-6
∙В пространството — 4-6а, 11-2
–построяване на равнина, перпендикулярна на права — 3-1б, 3-3+теория,
4-6б+теория
–намиране на симетрична точка — 1-5+теория, (8-6б), 11-8
–общо уравнение на равнина — 2-3б+теория, 5-6+теория, (6-5), 11-7
–векторно произведение — 11-5, 11-6
Задачите по теми. Задачите в скоби не са решени.
∙Първа тема — 1а, 1б, 2а, 2б, 3а, 3б, {4а}, 4б, 5, 6а, 6б
∙Втора тема — 1а, 1б, 2а, 2б, 3а, 3б, 4а, 4б, 5а, 5б, 6а, {6б}
∙Трета тема — 1а, 1б, 2, 3, 4а, 4б, 5а, {5б}, 6а, 6б
∙Четвърта тема — 1а, 1б, 2, 3, {4а}, {4б}, {5}, 6а, 6б
∙Пета тема — 1а, 1б, 1в, 2а, 2б, 2в, 3, {4}, 5, 6
∙Шеста тема — 1а, 1б, 2а, 2б, 3а, 3б, 3в, 4, 5, {6}
∙Седма тема — 1а, 1б, 2а, 2б, 3а, 3б, 3в, 4, 5, 6
∙Осма тема — 1, 2, 3а, 3б, 4, 5, 6а, 6б
∙Задачи по алгебра — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
∙Задачи по анализ — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
∙Задачи по геометрия — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
∙Още задачи — 1, 2, 3, 4, 5, 6

1 Първа тема
Задача 1а.Да се пресметне стойността на комплексното число�и|�|.
�=
(1 +�)(2�+ 3)
1−�
+�
6
+ (2−�)
3
Задача 1б.Като се използва правилото на Хорнер, да се намери каноничният вид
на полинома:�(�) =�
4
+ 4�
3
−2�
2
−12�+ 9.
Задача 2а.Да се изследва ранга на матрицата�в зависимост от стойността на
параметъра�.
�=
⎛
⎝
1 3 4
2 2 3
3 5�
⎞
⎠
Задача 2б.Да се определи кога матричното уравнение�.�.�=�има решение и да
се изрази решението, ако матриците�,�и�са дадени.
Задача 3а.Да се реши системата по метода на Гаус.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3�1−2�2+ 5�3+ 4�4= 2
6�1−3�2+ 4�3+ 3�4= 3
9�1−4�2+ 3�3+ 2�4= 4
Задача 3б.Да се определят ранговете на основната и разширената матрица от (3а).
Задача 4а.Да се изведе формулата за ъгъл между две прави в равнината:�1:�1�+
�1�+�1= 0и�2:�2�+�2�+�2= 0. Да се разгледат всички случаи на взаимно
положение на двете прави�1и�2.
Задача 4б.Точките�(1,2),�(−1,−1)и�(2,1)са върхове на триъгълник. Да се
намерят уравненията на трите страни на триъгълник���и на височината от върха
�към страната��.
Задача 5.В пространството са дадени точката�(4,3,10)и правите
�:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
�= 1 + 4�
�= 1 + 8�
�= 1 + 10�
, �:
�−1
2
=
�−2
4
=
�−3
5
(а) Да се определи взаимното положение на правите�и�и да се провери дали
те лежат в една равнина.
(б) Да се намерят координатите на симетричната точка�
′
на точката�спрямо
правата�.
Задача 6а.Каква повърхнина е представена с уравнението�
2
=−6�. Да се опи-
шат основните характеристики на съответната крива в равнината, която представя
същото уравнение.

Висша Математика I 1 Първа тема 6
Задача 6б.Да се намери областта на решенията на системата неравенства.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
3�1−�2≥0
�1−�2≤0
2�1+�2≤6
�1≤2
Да се определи какво множество представлява областта на решенията и коя е опор-
ната права.
Всяка подточка е по 5 точки, освен задача 3: 7+3т.
Задача 1а.Да се пресметне стойността на комплексното число�и|�|.
�=
(1 +�)(2�+ 3)
1−�
+�
6
+ (2−�)
3
Решение.Ако�=�+��, то|�|=
√
�
2
+�
2
.
�
2
=−1, �
3
=�
2
�=−�, �
4
=�
2
�
2
= 1, �
5
=�
4
�=−1
�
6
=−1, �
7
=−�, �
8
= 1, �
9
=−1, . . .
Трябва да отстраним комплексното число в знаменател, рационализираме (умно-
жаваме горе и долу с комплексно спрегнатото число).
�=
(1 +�)(2�+ 3)
1−�
+�
6
+ (2−�)
3
=
=
(2�+ 3 + 2�
2
+ 3�)
1−�
1 +�
1 +�
+ (−1) + (2−�)(2−�)
2
=
=
(1 + 5�)(1 +�)
1
2
−�
2
−1 + (2−�)(4−4�+�
2
) =
=
1 + 5�+�+ 5�
2
1 + 1
−1 + (2−�)(3−4�) =
=
1
2
(1 + 6�−5)−1 + 6−8�−3�+ 4�
2
=
=
1
2
(−4 + 6�) + 5−11�−4 =
=−2 + 3�+ 1−11�=
=−1−8�
|�|=
√︀
(−1)
2
+ (−8)
2
=
√
1 + 64 =
√
65
Отговор:�=−1−8�,|�|=
√
65.
Задача 1б.Като се използва правилото на Хорнер, да се намери каноничният вид
на полинома:�(�) =�
4
+ 4�
3
−2�
2
−12�+ 9.
Решение.Графиката на функцията.

Висша Математика I 1 Първа тема 7 0
5
10
15
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Каноничен вид.Нека:
��(�) =���
�
+��−1�
�−1
+. . .+�1�+�0
е полином от�-та степен. Числата�1, �2, . . . , ��са коефициентите пред неизвестни-
те. Нека�1, �2, . . . , ��са корените на��(�), тогава��(�−�1)(�−�2)· · ·(�−��)е
каноничният вид на полинома.
В задачата��= 1. Трябва да намерим корените, за да намерим каноничния вид.
Прилагаме правилото на Хорнер.
Правило на Хорнер.Взимаме само коефициентите. Всички степени трябва да при-
състват, ако някоя липсва, се записва нула (примерно�
2
+ 1→липсва първа степен
→1�
2
+ 0�+ 1). Корените са делителите на свободния член (някои от тях). Свобод-
ният член е�0= 9, неговите делители са1,−1,3,−3.
1 4−2−12 9
Да пробваме с3(на втория ред). Най високата степен се преписва, това е1(отдясно
на вертикалната черта). Тогава:3.1 + 4 = 7.
1 4−2−12 9
31 7
=⇒3.7 + (−2) = 19
1 4−2−12 9
31 7 19
=⇒3.19 + (−12) = 45
1 4−2−12 9
31 7 19 45
=⇒3.45 + 9 = 144
1 4−2−12 9
31 7 19 45 144
Тъй като144̸= 0, то3не е корен. Ако ще пробваме с друг корен, добре е да започнем
на чисто, за да не се объркаме.
Нека да пробваме с1. Щом намерим корен, следващите ще са делители на новият
свободен член.
1 4−2−12 9
11 5 3 −9 0

Висша Математика I 1 Първа тема 8
1.1 + 4 = 5,1.5−2 = 3,1.3−12 =−9,1.(−9) + 9 = 0
Следователно1е корен. Нека да проверим дали е двоен корен (правим същото нещо
като по-горе, но със втория ред).
1 4−2−12 9
11 5 3 −9 0
11 6 9 0
1.1 + 5 = 6,1.6 + 3 = 9,1.9−9 = 0
Вижда се, че1е двоен корен. Това което остава, може да се запише така:1�
2
+6�+9,
което е(�+ 3)
2
, значи и−3е двоен корен. Но нека проверим с Хорнер.
1 4−2−12 9
11 5 3 −9 0
11 6 9 0
−31 3 0
−3.1 + 6 = 3,−3.3 + 9 = 0
1 4−2−12 9
11 5 3 −9 0
11 6 9 0
−31 3 0
−31 0
−3.1 + 3 = 0
Което е еквивалентно на следното:
1�
4
+ 4�
3
−2�
2
−12�+ 9
(�−1)1�
3
+ 5�
2
+ 3�−9
(�−1)1�
2
+ 6�+ 9
(�−(−3))1�+ 3
(�−(−3))1
При прилагане на правилото на Хорнер намаляваме степента на полинома с единица,
докато стигнем до полином от нулева степен (последният ред).
Нашият полином се разлага на:1(�−1)(�−1)(�+ 3)(�+ 3). Записваме:
�(�) = (�−1)
2
(�+ 3)
2
Нека проверим.
�(�) = (�−1)
2
(�+ 3)
2
= (�
2
−2�+ 1)(�
2
+ 6�+ 9) =
=�
4
+ 6�
3
+ 9�
2
−2�
3
−12�
2
−18�+�
2
+ 6�+ 9 =
=�
4
+ 4�
3
−3�
2
−12�+ 9
Задача 2а.Да се изследва ранга на матрицата�в зависимост от стойността на
параметъра�.
�=
⎛
⎝
1 3 4
2 2 3
3 5�
⎞
⎠

Висша Математика I 1 Първа тема 9
Решение.Изчисляваме детерминанти от горния ляв ъгъл, като увеличаваме размера
(тези детерминанти се наричат минори).
´1= 1̸= 0
´2=
⃒
⃒
⃒
⃒
1 3
2 2
⃒
⃒
⃒
⃒
= 2−6 =−4̸= 0
´3=
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
1 3 4
2 2 3
3 5�
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= 2�+ 27 + 40−24−15−6�= 28−4�
�= 7 =⇒´3= 0 =⇒�(�) = 2
�̸= 7 =⇒´3̸= 0