Решени изпитни теми по Комплексен Анализ

Решени изпитни теми по Комплексен Анализ
за Технически Университет — София
Николай Икономов
23 март 2013 г.

Съдържание
Указател 3
Въведение 4
Дефиниции 5
1 Първа тема 8
2 Втора тема 18
3 Трета тема 19
4 Четвърта тема 27
5 Пета тема 29
6 Шеста тема 39
7 Седма тема 46
Литература 50
Темите и основните решения на задачите са на проф. дмн Ралица Ковачева и са
взети от нейната уебстраница (линк).
Допълнителни решения и обяснения към задачите, графики, дефиниции и основ-
но оформление са от мен. За контакти: nike32@abv.bg, http://justmathbg.info/.
∙Първа тема (Април 2007)
∙Втора тема (Май 2007)
∙Трета, четвърта тема (Юни 2007)
∙Пета тема (Март 2008)
∙Шеста тема (ФПМИ, Юни 2006)
∙Седма тема (ФПМИ, Юни 2009)

Указател
Задачите по категории. Задачите са решени в реда в който са категориите.
∙Конформни изображения (добре е да се четат в този ред)
–степенна, логаритмична — 1-1
–радикал — 1-2
–дробно-линейна чрез инверсни точки — 1-3
–Жуковски, дробно-линейна, ротация — 1-4
–Жуковски, дробно-линейна, радикал — 3-1
–дробно-линейна — 5-1
–показателна, дробно-линейна — 5-2, 5-3
–дробно-линейна чрез инверсни точки — 5-6
–ротация, Жуковски, линейна, Жуковски наобратно — 6-2
–степенна, транслация, Жуковски наобратно — 7-1
∙Още задачи
–хармонично спрегнати функции — 1-7, 6-1
–резидууми — 3-3, 4-6
–разни — 3-5, 4-1
Задачите по теми.
∙Първа тема — 1, 2, 3, 4, 7
∙Втора тема
∙Трета тема — 1, 3, 5
∙Четвърта тема — 1, 6
∙Пета тема — 1, 2, 3, 6
∙Шеста тема — 1, 2
∙Седма тема — 1

Въведение
Основни понятия в комплексния анализ:
http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_analysis
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere
http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection
Имагинерна единица:
�=
√
−1,
като�
�
има само четири различни стойности
�
2
=−1, �
3
=−�, �
4
= 1, �
5
=−1.
Комплексно число�(може да означава и област�):
�=�+��,
като реалната (real) и имагинерната (imaginary) част са:
ℜ�=�,ℑ�=�.
Комплексна равнинаC, съставена само от комплексни числа; разширена комп-
лексна равнинаC=C∪ {∞}(комплексна равнина с безкрайна точка); риманова
сфера�(стереографска проекция на разширената комплексна равнина върху еди-
нична централна сфера).
По-нататък винаги се има предвид разширената комплексна равнина, но за по-
кратко е написано самокомплексна равнина.

Дефиниции
Дефиниция 1.Степенна функция[1, стр. 60].
Степенната функция�=�
�
трансформира ъгъл�с големина0≤�≤2�/�в
ъгъл с големина��и връх в началото на координатната система.
Функцията съставено от реално число на степен�и сключва ъгъл��=�arg(�)
с положителната част на реалната права:
�
�
=|�|
�
(cos(�arg(�)) +�sin(�arg(�))).
Ако върхът на ъгъла е в точка�:�= (�−�)
�
, тогава се прави транслация с
вектор�, за да се премести върхът в началото на координатната система.
Функцията има за граница лъч, излизащ от началото на координатната система
и сключващ ъгъл??????0с положителната част на реалната права.
Резултатът от трансформацията е ъгъл??????с големина??????0≤??????≤??????0+��, това са
лъчите ограничаващи ъгъла.
Ако�= 1,2, . . . , �−1, тогава ъгълът??????е с големина??????0+2��≤??????≤??????0+��+2��.
Дефиниция 2.Показателна функция[1, стр. 91].
Показателната функция�=�
�
трансформира ивица с широчина�≤2�, успо-
редна на реалната права, в ъгъл с разтвор�и връх в началото на координатната
система.
Функцията е съставена от експонента и формулата на Ойлер:
�
�
=�
�+��
=�
�
(cos(�) +�sin(�)).
Функцията трансформира прави, успоредни на имагинерната права, в окръжнос-
ти с център в началото на координатната система, и трансформира прави, успоредни
на реалната права, в лъчи, излизащи от началото на координатната система.
Функцията има за граница правите�=??????0и�=??????0+�.
Резултатът от трансформацията е ъгъл??????с големина??????0≤??????≤??????0+�, това са
лъчите ограничаващи ъгъла.
Ако�= 1,2,3, . . ., тогава ъгълът??????е с големина??????0+ 2��≤??????≤??????0+�+ 2��.
Дефиниция 3.Радикал[1, стр. 105].
Радикалът�=
�
√
�=�
1/�
трансформира цялата комплексна равнина в ъгъл с
големина2�/�и връх в началото на координатната система.
Функцията е съставена от реално число на степен и формулата на Ойлер, като
функцията сключва ъгъл�= arg(�)с положителната част на реалната права:
�
1/�
=|�|
1/�
(︂
cos
arg(�) + 2��
�
+�sin
arg(�) + 2��
�
)︂
.
Функцията има за граница лъч, излизащ от началото на координатната система
и сключващ ъгъл�=�??????0с положителната част на реалната права.
Резултатът от трансформацията е ъгъл??????с големина??????0≤??????≤??????0+
2�
�
, това са
лъчите ограничаващи ъгъла.
Ако�= 1,2, . . . , �−1, тогава ъгълът??????е с големина??????0+
2��
�
≤??????≤??????0+
2(�+ 1)�
�
.

Комплексен Анализ Съдържание 6
Дефиниция 4.Логаритмична функция[1, стр. 117].
Логаритмичната функция�= log(�)трансформира цялата комплексна равнина
в ивица, успоредна на реалната права, с широчина големината на ъгъла.
Функцията е съставена от натурален логаритъмln|�|, ъгъл спрямо положител-
ната част на реалната права�= arg(�)и клон2���:
log(�) = ln|�|+�arg(�) + 2���.
Функцията има за граница лъч, излизащ от началото на координатната система
и сключващ ъгъл??????0=�0с положителната част на реалната права.
Резултатът от трансформацията е ивица, успоредна на реалната права, ивицата
е със широчина�:�0≤�≤�0+ 2�.
Ако�= 1,2,3, . . ., тогава широчината е:�0+ 2��≤�≤�0+ 2(�+ 1)�.
Дефиниция 5.Линейна функция[1, стр. 43], [2, стр. 48].
Линейната функция
�=��+�=|�|�
�arg(�)
�+�
е композиция от следните функции: хомотетия с коефициент|�|, ротация на ъгъл
�= arg(�)чрез�
�arg(�)
, транслация на цялата комплексна равнина по посока на
вектора�. (Нека да отбележим, че функцията�
��
=�
�arg(�)
не зависи от�).
Комплексните числа могат да се представят така:
�=|�|�
�arg(�)
,
като|�|определя разстоянието на числото от началото на координатната система, а
�
�arg(�)
определя ъгълът�= arg(�), който векторът през|�|сключва с положител-
ната част на реалната права.
Пълното представяне е:
�=�
log(�)
=�
ln|�|+�arg(�)+2���
=|�|�
�arg(�)
�
2���
,
където клонът на логаритъма се определя от�
2���
, но той често е главният клон
�= 0при което�
2���
= 1.
Функцията е частен случай на дробно-линейната функция при�= 0:
�=
��+�
�
=
�
�
�+
�
�
=��+�, �=
�
�
, �=
�
�
.
Линейната функция още се нарича цяла линейна функция.
Дефиниция 6.Дробно-линейна функция[1, стр. 42, 62, 71].
Дробно-линейната функция�=
��+�
��+�
трансформира цялата комплексна равни-
на отново в цялата комплексна равнина.
Нека точките(�, �1, �2, �3)се трансформират в(�, �1, �2, �3). Тогавадвойно отно-
шение на точкисе нарича релацията:
�−�1
�−�2
:
�3−�1
�3−�2
=
�−�1
�−�2
:
�3−�1
�3−�2
.
Това дава дробно-линейната функция в неявен вид.
Дробно-линейната функция още се нарича трансформация на Мьобиус (M¨obius).

Комплексен Анализ Съдържание 7
Дефиниция 7.Инверсни точки[1, стр. 77].
Формула за намиране на инверсна точка�
*
на точка�спрямо централна окръж-
ност с радиус�:
�
*
=
�
2
�
⇐⇒�
*
�=�
2
.
Формула за намиране на инверсна точка�
*
на точка�спрямо окръжност с център
�и радиус�:
�
*
−�=
�
2
�−�
⇐⇒(�
*
−�)(�−�) =�
2
.
Формула за намиране на инверсна точка�
*
на точка�спрямо права�, като
правата�е под наклон�с положителната част на реалната права, и сключва прав
ъгъл в точка�с друга права�0, като правата�0свързва�и�
*
(�⊥�0):
�
*
−�=�
��
(�−�).
Инверсните точки още се наричат симетрични точки.
Дефиниция 8.Функция на Жуковски[1, стр. 84].
Функцията на Жуковски�=
1
2
(︂
�+
1
�
)︂
трансформира вътрешността и вън-
шността на единичния кръг в цялата комплексна равнина без отсечката[−1,1], а
единичната окръжност се трансформира на отсечката[−1,1].
Единичната окръжност се трансформира на отсечката[−1,1], като я пробягва
два пъти: горната полуокръжност отива в долния бряг на отсечката, а долната по-
луокръжност отива в горния бряг.
Дефиниция 9.Обратна функция на Жуковски[2, стр. 57].
Обратната функция на Жуковски�=�+
√
�
2
−1трансформира цялата комплек-
сна равнина без отсечката[−1,1]във вътрешността или външността на единичния
кръг, а отсечката[−1,1]се трансформира в единичната окръжност.
Функцията е:
�=�+
√
�
2
−1 =�+|�
2
−1|
1/2
�
�arg(�−1)
2�
�arg(�+1)
2�
���
.
Чрез�
&#36