Интегриране по части и чрез субституции

§6. Интегриране по части и чрез субституции

Съдържание
1. Пресмятане на неопределен интеграл чрез интегриране по части
2. Пресмятане на неопределен интеграл по части и чрез субституция

ТЕОРИЯ
Ако

() () CxFdxxf +=∫

и
()tgx= е произволна диференцируема функция то

()( ) () () () CtgFdttgtgf +=′∫

Ако
()xu и ()xv са две диференцируеми функции то в сила е формулата

∫
∫
−= vduuvudv
ЗАДАЧИ
Да се пресметнат неопределените интеграли.
Задача 1.
∫
dxxarctg
Решение. Прилагаме формулата за интегриране по части като използваме arctgxu
= и
xv=. Получаваме

()
∫∫∫∫
=
+
+
−=
+
−=−=
2
2
2
1
1
2
1
arctg
1
arctgarctgarctgarctgx
xd
xx
x
xdx
xxxxdxxxdx


() Cxxx ++−=
2
1ln
2
1
arctg
Тук сме използвали, че

2
1
arctg
x
dx
xd
+
=
и че

()
2
2
2
2
2
1
1
2
1
12
1
1 x
xd
x
x
d
x
xdx
+
+
=
+
=
+
).
Задача 2 ∫
dxxx5cos
Решение. Подготвяме интеграла за прилагане на формулата за интегриране по части като
внасяме под знака на диференциала функцията
x5cos. Тогава

( ) Cxx
x
xdxxxxxdxdxx++=−==∫∫∫
5cos
25
1
5sin
5
5sin5sin
5
1
5sin
5
1
5cos
Задача 3. ∫
d xx
x52
l
Решение. Внасяме
x5
l под знака на диференциала и прилагаме формулата за интегриране по
части

∫∫
−= vduvuudv.
Получаваме

( ) ∫∫∫∫
=−=−==
x
x
xxxx
xd
x
dxxxdxdxx
5
52
5525252
25
2
5
2
5
1
5
1
l
l
llll


() Cx
x
dxx
x
xx
x
xx
x
++−=−−=∫
55
52
55
52
125
2
25
2
525
2
5
ll
l
ll
l

Задача 4. dx
x
xx∫
+
2
2
1
arctg

Решение.

∫∫∫∫
=−=
+
−+
=
+
xxddxxdx
x
xx
dx
x
xx
arctgarctgarctg
1
arctg)11(
1
arctg
2
2
2
2


=+−
+
−=−−=∫∫
C
x
dx
x
x
xx
x
xxdxx
2
arctg
1
arctg
2
arctg
arctgarctg
2
2
2

() C
x
xxx +−+−=
2
arctg
1ln
2
1
arctg
2
2


Задача 5.
dxxx∫
2
tg
Решение.

∫∫∫∫∫
=−=
−
== xdxdx
x
x
dx
x
x
xdx
x
x
xdxxx
22
2
2
2
2
coscos
cos1
cos
sin
tg


∫∫
=−−=−=
2
tgtg
2
tg
22
x
dxxxx
x
xxd


C
x
xxx
x
dx
x
x
xx +−+=−−=∫
2
coslntg
2cos
sin
tg
22

Задача 6 . dxxx∫
ln
9

Решение.

( )=−==∫∫∫
xdxxxxdxdxxx lnln
10
1
ln
10
1
ln
1010109

=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=∫
x
dx
xxx
1010
ln
10
1


() () Cx
x
C
x
xxdxxxx +−=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−=∫
1ln10
10010
ln
10
1
ln
10
1
1010
10910

Задача 7. ∫
= dxxI
x
4cos
5
l
Решение.


( )=−===∫∫∫
xdxxdxdxI
xxxx
4cos4cos
5
1
4cos
5
1
4cos
5555
llll
() =+=∫
xdxx
xx
4sin44cos
5
1
55
ll

( )=−+=+=∫∫
xdx
x
xd
x
xx
x
x
x
4sin4sin
25
4
5
4cos
4sin
25
4
5
4cos
55
5
5
5
ll
l
l
l


() () =−+=−+=∫
Ix
x
xdxx
x
x
x
xx
x
44sin
25
4
5
4cos
4cos44sin
25
4
5
4cos
5
5
55
5
l
l
ll
l


I
xx
xx
25
16
25
4sin4
5
4cos
55
−+=
ll

От уравнението

I
xx
I
xx
25
16
25
4sin4
5
4cos
55
−+=
ll

с неизвестно
I се получава
() CxxI
xx
II
xxx
++=⇒+=+ 4sin44cos5
4125
4sin4
5
4cos
25
16
555
lll

Забележка.
В една и съща задача правилото за интегриране по части може да се приложи
няколко пъти и да се стигне до таблични интеграли. След двукратно прилагане на правилото
за интегриране по части се стига до изходния интеграл. Тогава на този интеграл се гледа като
на неизвестно и полученото уравнение се решава
спрямо него. Така се получава стойността
на дадения интеграл.

Задача 8.
dx
xx
x
∫
++
+
102
3
2

Решение.
Ако подинтегралната функция съдържа квадратен тричлен cbxax ++
2
се
препоръчва да се направи смяна на интеграционната променлива чрез равенството


a
b
tx2
−= .
Следвайки препоръката полагаме

9102212102 ,23131
1.2
2
222
+=+−++−=+++=+−=+⇒−=−= ttttxxttxttx
Тогава

=
++
+∫
dx
xx
x
102
3
2



( ) =+++=
+
+
+
=
+
+
=∫∫∫
C
t
arctgtdt
t
dt
t
t
dt
t
t
33
2
9ln
2
1
9
1
2
99
2
2
222

(
връщаме старата променлива)

() C
x
xx +
+
+++=
3
1
arctg
3
2
102ln
2
1
2

Задача 9.
∫
+− 127
22
xx
dx
(Задача 6 от предното упражнение)
Решение.


=
+−∫
127
22
xx
dx

(
полагаме
4
1
12
2
49
7
4
49
7127 ,
2
7
222
−=+−−++=+−=⇒+= ttttxxdtdxtx)

C
x
x
C
x
x
C
t
t
t
dt
+
−
−
=+
−−
−−
=+
+
−
=
−
=∫
3
4
ln
2
1
2
7
2
1
2
7
ln
2
1
2
1
ln
2
1
.2
1
4
12

Задача 10.
∫
−+
dx
xx
x
52
24

Решение.


∫∫
=
−+
=
−+ 522
1
52
24
2
24
xx
dx
dx
xx
x

(
полагаме 6521
2242
−=−+⇒−= txxtx)

C
x
x
C
t
t
t
dt
+
++
−+
=+
+
−
=
−
=∫
61
61
ln
64
1
6
6
ln
62.2
1
62
1
2
2
2

Задача 11.
()
∫
−
dx
x
x
3
2
1
arcsin

Решение. Ако подинтегралната функция съдържа израза
22
xa− се препоръчва да се
направи смяна на интеграционната променлива чрез равенството
taxsin.=.

()
=
−∫
dx
x
x
3
2
1
arcsin

(
полагаме
( ) txtxdttdxtx
3
3
2
cos1 ,arcsin ,cos,sin =−=== )
=++=−===∫∫∫
Cttttdttttdt
t
dttt
coslntgtgtgtg
cos
cos
3

(връщаме старата променлива чрез равенствата
2
2
1
tg ,1cos ,arcsin
x
x
txxxt
−
=−== )

Cx
xx
x
+−+
−
=
2
2
1ln
arcsin.1
Задача 12.
∫
−
dx
x
x
2
2
1

Решение.


=
−∫
dx
x
x
2
2
1

(
полагаме
txdttdxtx cos1 ,cossin
2
=−=⇒= )
=+−−=−=
−
===∫∫∫ ∫∫
Cttdtdt
t
dt
t
t
dt
t
t
tdt
t
t
ctg
sin
1
sin
sin1
sin
cos
cos
sin
cos
22
2
2
2
2

(връщаме старата променлива чрез равенствата
2
1cos
sin
cotg ,arcsin
x
x
t
t
txt
−
=== )=

2
1
arcsin
x
x
xC
−
−−=

Задача 13.
dx
x
x∫
−
2
5
1

Решение.

=
−∫
dx
x
x
2
5
1

(
полагаме
txtdtdxtx cos1 ,cossin
2
=−=⇒= )
====∫∫∫
dtttdtttdt
t
t
sin.sinsincos.
cos
sin
45
5

()
( ) =+−−=−−= ∫∫
tdtttdt coscoscos21coscos1
42
2
2

=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−=+−+−=
5
cos
3
cos2
1.cos
5
cos
cos
3
2
cos
425
3
tt
tCC
t
tt

(връщаме старата променлива чрез равенствата
2
1cos ,arcsin xtxt −== )

() ( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−−−=
5
1
3
12
11
2
22
2
xx
xC
Задача 14.
dx
x
xx∫
+
2
2
1
arctg

Решение. Ако подинтегралната функция съдържа израза
22
xa+ се препоръчва да се направи
смяна на интеграционната променлива чрез равенството ta
xtg=

=
+∫
dx
x
xx
2
2
1
arctg

(
полагаме

t
txtx
t
dt
dxtx
2
22
2
cos
1
tg11 ,arctg ,
cos
,tg =+=+=== )=

===∫∫
dttt
t
dt
t
tt
.tg
cos
.
cos
1
tg
2
2
2
2

(
виж задача 5, в нея вместо t стои
x)
=+−+= C
t
ttt
2
coslntg
2

(връщаме старата променлива чрез равенствата
xt
x
txt =
+
== tg ,
1
1
cos ,arctg
2
)
()
( )
C
x
xxx +−+−=
2
arctg
1ln
2
1
arctg
2
2