Задачи от случайни величини

§18. Задачи от случайни величини

Съдържание
1. Основни дискретни разпределения
2. Някои непрекъснати разпределения

ТЕОРИЯ
Числова величина, която в резултат от даден експеримент може да прима различни
стойности с известно разпределение на вероятностите се нарича случайна величина.
Случайната величина X се определя върху множеството Ω от елементарните изходи
на даден експеримент.Ако имаме дискретно вероятностно пространство с множество
на елементарни изходи {} K,,
21
ωω=Ω (крайно или безкрайно), можем да определим
една случайна величина X, задавайки нейните стойности
kx за всеки елементарен из-
ход
k
ω, K,2,1=k. В този случай говорим за дискретна случайна величина (с изва-
дъчно пространство Ω). Дискретните случайни величини напълно се описват от таб-
лицата на разпределение
X
1
x
2
x
L
P
1
p
2
p
L

Една случайна величина X се нарича абсолютно непрекъсната, когато нейните стойности
запълват един или няколко интервала, при което можем да намираме вероятността
() bXaP <<, стойността на разглежданата величина да се помества в интервала
()ba, по
следната формула

()() ∫
=<<
b
a
dxxfbXaP.
Тук
()xf е някаква неотрицателна функция, определена за всяко R
∈x и интегруема над
всеки числов интервал. Функцията ()xf се нарича плътност на разпределение на абсо-
лютно непрекъснатата случайна величина X. Понеже събитието { }∞<<∞− X е достоверно,
то

() 1=∫
∞
∞−
dxxf (условие за нормировка).
Всяка неотрицателна функция
()xf, за която е изпълнено условието за нормировка, поражда
някаква непрекъсната случайна величина
X.
Нека X е случайна величина (дискретна или непрекъсната). Тогава функцията
() ( ) xXPxF <= се нарича функция на разпределение на X. Ако X е дискретна, то ()xF
има вида

()∑
<
=
xx
k
k
pxF
Ако
X е непрекъсната, то ()xF има вида

() ()∫
∞−
=
x
dttfxF ,
където
()tf е плътността на
X.
Непосредствено от определението се получават следните основни свойства на функци-
ята на разпределение.
1) ()xF е монотонно растяща.

2
2) () ( ) 0lim =∞−=
−∞→
FxF
x
и ()()1lim =∞=
∞→
FxF
x
.
3) ()xF е непрекъсната отляво, ()()0−=xFxF.
Всяка функция ()xF, която притежава изредените по-горе три свойства може да се раз-
глежда в общия случай като функция на разпределение на някаква случайна величина. Ако
X е непрекъсната случайна величина с функция на разпределение ()xF, то
()()() aFbFbXaP −=<< - вероятност случайната величина да приеме стойности от интер-
вала
()ba,.
Числови характеристики на случайни величини. Математическо очакване (сред-
но)
на дискретната случайна величина
X, ( )
kkpxXP == , K,2,1=k , се нарича числото (ко-
гато съществува)

[]∑=
k
kk
pxXE
Ако
X е непрекъсната с плътност ()xf, то нейното математическо очакване се определя от
интеграла (когато съществува)

[] ()∫
∞
∞−
= dxxxfXE .
Дисперсия []XD на дискретната случайна величина
X се нарича числото (когато съществу-
ва)

[] ()
[ ]()∑ μ−=μ−=
k
kXkX
pxXX
22
ED .
Ако
X е непрекъсната с плътност ()xf, то нейната дисперсия се определя от интеграла (ко-
гато съществува)

[] ()[] ()()∫
∞
∞−
μ−=μ−= dxxfxXX
XX
22
ED .
Числото
[] []
XX
X
D=σ=σ се нарича стандартно отклонение на X. Очевидно
[]
2
XXσ=D , което задава
2
Xσ като друго означение за дисперсия.


ЗАДАЧИ
Задача 1. Три монети се хвърлят едновременно един път. Да се псстрои закона на резпреде-
ление на случайнта величина X- задаваща броя на появилите се гербове при това хвърляне и
да се пресметнат M[X]; D[x] и P(X<2).
Решение. Провеждането на опита “хвърляне на три монети едновременно” има същия резул-
тат както ако една монета се хвърля три пъти последователно. При това герб може да се пад-
не 0, 1, 2, 3 пъти, т.е, случайнта величина X - задаваща броя на появилите се гербове има би-
номно разпределение с вероятност при един опит
2
1
=p. Следователно
8
1
2
1
)0(
3
300
3
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=== qpXPC
8
3
2
1
.3)1(
3
211
3
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=== qpXPC

8
3
2
1
.3)2(
3
122
3
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=== qpXPC
8
1
2
1
)3(
3
033
3
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=== qpXPC

X 0 1 2 3
P
8
1

8
3

8
3

8
1

3
Тъй като разпределението е биномно, то []
2
3
2
1
.3. ===pnXM ;
[]
4
3
2
1
.
2
1
.3.. ===qpnXD ;
2
1
)1()0()2( ==+==< XPXPXP .
Задача 2. Магазин получава ежедневно 1000 бутилки минерална вода. Вероятността за това,
че при транспортирането дадена бутилка ще се счупи е 0,003. Намерете вероятността счупе-
ните бутилки да са:
2.1. точно 3.
2.2. по-малко от две
Решение. Случайната величина X, задаваща броя на счупените бутилки има биномно разпре-
деление при n=1000 и p=0,003. Тъй като n.p=3 е от порядък на единици, можем да считаме,
че X има Поасоново разпределение с параметър a=n.p=3 и закон за разпределение
X 0 1 2 3 ....... ......
P
3
0
.
!0
3
−
l
3
1
.
!1
3
−
l
3
2
.
!2
3
−
l
3
3
.
!3
3
−
l
....... ......
2.1. () 224,00498,0.
2
9
.
!3
3
3
3
3
====
−
lXP ;
2.2. ()()() 199,00498,0.43102
33
==+==+==<
−−
llXPXPXP .
Задача 3. Ловец, който има само 4 патрона, стреля по цел до първо попадение или да израз-
ходване на патроните, Да се състави закона на разпределение на случайната величина X, за-
даваща броя на изразходваните патрони, ако вероятността за попадение при всеки изстрел е
една и съща и равна на 0,25. Да се пресметнат M[X]; D[x] и P(X>3).
Решение. Нека A е събитието “целта е улучена”. Тогава P(A)=
4
1
; ()
4
1
1−=AP
()()
4
1
1 === APXP ;
() ()
4
1
.
4
3
.2 === AAPXP ;
() ()
64
9
4
1
.
4
3
.
4
3
..3 ==== AAAPXP ;
() ()
64
27
4
3
.
4
3
.
4
3
...4 ==== AAAPXP .
Следователно законът за разпределение на случайната величина е
X 1 2 3 4
P
4
1

16
3

64
9

64
27

[]
64
175
64
27
.4
64
9
.3
16
3
.2
4
1
.1 =+++=XM
[] [] [] 54,1
64
175
64
27
.4
64
9
.3
16
3
.2
4
1
.1
2
222222
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+++=−= XMXMXD
Задача 4. По маршрут на автомобил има 5 светофара всеки, от които с вероятност 0,5 раз-
решава преминаването. Съставете закона за разпределение на случайната величина X, зада-
ваща броя на светофарите, задминати от автомобила до първото му спиране. Преметнете
M[X]; D[X] и P(X>4).

4
Решение. Нека A е събитието “преминаването е тазрешено”. Тогава
() qpAP ===
2
1
;
2
1
)0( === qXP ;
4
1
)1( === pqXP ;
8
1
)2(
2
=== qpXP ;

16
1
)3(
3
=== qpXP ;
32
1
)4(
4
=== qpXP ;
32
1
)5(
5
=== pXP .
X 0 1 2 3 4 5
P
2
1

4
1

8
1

16
1

32
1

32
1

[]
16
15
32
1
.5...
4
1
.1
2
1
.0.
6
1
=+++==∑ kkxpXM ;
[] [] [] []
1024
1695
16
15
32
1
.5...
4
1
.1
2
1
.0.
2
2222
6
1
222
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+++=−=−=∑ XMxpXMXMXD
kk
Задача 5. Правят се последователни изпитания относно сигурността на 5 апарата. Всеки
следващ апарат се изпробва смо в случай, че предишният се е оказал негоден. Вероятността
определен апарат да е надежден е 0,6. Определете закона на разпределение на случайната ве-
личина X, задаваща броя на надеждните апарати. Преметнете M[X]; D[X] и P(X<2).
Решение. Нека A е събитието “даден апарат е надежден”. Тогава
() 6,0=AP; ()4,0)0( === APXP ; () 24,04,0.6,0.)1( ==== AAPXP ;
( ) 144,04,0.6,0..)2(
2
==== AAAPXP ; ( ) 0864,04,0.6,0...)3(
3
==== AAAAPXP ;
( ) 05184,04,0.6,0....)4(
4
==== AAAAAPXP ; ( ) 07776,06,0....)5(
5
==== AAAAAPXP .
X 0 1 2 3 4 5
P 4,0 24,0 144,0 0864,0 05184,0 07776,0
[]62336,1=XM ; []60704,4=XD .
Задача 6. Дадена е случайната величина X с диференциалната си функция на разпределение
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤−
−<
=
2
> x,0

22
,cos
2
,0
π
ππ
π
xxA
x
xf
Да се намери
6.1. константата А;
6.2. интегралната функция на разпределение F(x);
6.3. вероятността за попадение на X в интервала
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
4
;0
π
. Преметнете M[X]; D[X].
Решение.
6.1. Използваме, че () 1fxdx
+∞
−∞
=∫
. Тогава
()
2
2
0
2
1
1.cos2.sin2
2
f x dx A xdx A x I A A
π
π
π
+∞
−∞
−
== ==⇒=∫∫

6.2.

5
() ()
0,
2
1
1sin ,
222
1, x>
2
x
Fx x x
π ππ
π
⎧
<−
⎪
⎪
⎪
=+ −≤≤⎨
⎪
⎪
⎪
⎩

6.3.
() ()
11 2
0 0 1 sin 1 sin 0 0,3536
44 2 42 4
PX F Fππ π⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
≤≤ = − = + − + = ≈
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠

[] ()
2
2
1
.cos 0
2
MX xfxdx x xdx
π
π
+∞
−∞
−
== =∫∫

защото подинтегралната функция е четна, а границите на интеграла са симетрични относно
началото на абсцисната ос.
[] []() ()
22
2
2
2
1
.cos 2
24
DX x Mx f xdx x xdx
π
π
π
+∞
−∞
−
=− = =−∫∫

Задача 7. Дадена е случайната величина X с диференциалната си функция на разпределение
() ()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤−
<
=
2> x,0
20 ,4
0 ,0
3
xxxA
x
xf
Да се намери
7.1. константата А;
7.2. интегралната функция на разпределение F(x);
7.3. вероятността за попадение на X в интервала
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
3
;1. Преметнете M[X]; D[X].
Отговор
1
4
A=; []
16
15
Mx=; []
44
225
DX= ;
395
1
2 256
PX
⎛⎞
≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠
.
Задача 8. Дадена е случайната величина X с диференциалната си функция на разпределение
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
<
=
2> x,0
20 ,
2
0 ,0
2
x
x
xA
x
xf
Да се намери:
8.1. константата А
8.2. интегралната функция на разпределение F(x);
8.3. вероятността за попадение на X в интервала
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
3
;1. Преметнете M[X]; D[X].
Отговор

3
5
A=

6
() ()
32
0, 0
1
4 3 , 0 2
20
1, x>2
x
Fx x x x
<⎧
⎪
⎪
=−≤≤⎨
⎪
⎪
⎩

[]
8
5
MX=
[]
2
25
DX=

323
1
280
PX
⎛⎞
≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠

Задача 9. Дадена е случайната величина X с интегралната си функция на разпределение
() ()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤−
<
=
3> x,1
30 ,
0 ,0
4
xxxA
x
xF
Да се намери
9.1. константата А;
9.2. диференциалната функция на разпределение f(x);
9.3. вероятността за попадение на X в интервала []2;1. Преметнете M[X]; D[X].
Задача 10. Дадена е случайната величина X с интегралната си функция на разпределение
()
()
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≥−
><
=
ax
x
a
aax
xF
;1
0;,0
3
3

Да се намери
10.1. диференциалната функция на разпределение f(x);
10.2. M[X];
10.3. D[X].