Задачи от системи линейни уравнения

§4. Задачи от системи линейни уравнения

Съдържание
1. Метод на Крамер за решаване на системи линейни уравнения
2. Метод на Гаус за решаване на системи линейни уравнения
3. Метод на Гаус-Жордан за решаване на системи линейни уравнения.

ТЕОРИЯ
Когато броят на уравненията и неизвестните е равен и ако детерминанта на основната

матрица

nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
K
MOMM
K
K
21
22221
11211
=Δ
на системата

nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
...
..................................
...
...
2211
22222121
11212111

е различна от нула, то системата има единствено решение, което се получава по фор-
мулите на Крамер

Δ
Δ
=
i
i
x , ni,..,2,1= ,
където детерминантите
i
Δ, ni,...,2,1= , се образуват от основната като i-тия стълб се
замени със стълба от свободните коефициенти.
В общия случай на линейна система с
m уравнения и n неизвестни, системата се
решава посредством елементарни преобразования върху разширената матрица по мето-
да на Гаус или по метода на Гаус-Жордан.


ЗАДАЧИ
Задача 1
. Да се решат следните системи линейни уравнения.

1.1.
42
23
32
−=++
=−+
=+−
zyx
zyx
zyx

1.2.
4234
32
32
=+−
−=−+
=+−
zyx
zyx
zyx

Решение на 1.1.
1)
По метода на Крамер
Основната детерминанта на системата е

15
121
113
112
=−
−
=Δ.
Пресмятаме поотделно всяка от помощните детерминанти

2
15
124
112
113
1 =
−
−
−
=Δ

30
141
123
132
2
−=
−
−=Δ

15
421
213
312
3 −=
−
−
=Δ
Тогава от формулите на Крамер получаваме

1
15
15
1
==
Δ
Δ
=x,
2
15
30
2
−=
−
=
Δ
Δ
=y и
1
15
15
3
−=−
=
Δ
Δ
=z
2)
По метода на Гаус . Съставяме разширената матрица на системата като предварител-
но разменяме местата на първо и трето уравнение, за да си осигурим удобен работен
елемент за преобразуване на матрицата в трапецовидна.

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
1100
14450
4121
~
3300
14450
4121
~
11150
14450
4121
~
3112
21
13
4121
Съставяме система с коефициенти от последната матрица и я решаваме като от третото
уравнение определяме единственото неизвестно
z, след което го заместваме във второ-
то уравнение и намираме
y. Така намерените неизвестни заместваме в първото урав-
нение и намираме неизвестното
x. Това последователно е направено така
() ⇒
−=
−=
−=++
⇒
−=
=−
−=++
⇒
−=
=−−−
−=++
⇒
−=
=−−
−=++
1
2
42
1
105
42
1
141.45
42
1
1445
42
z
y
zyx
z
y
zyx
z
y
zyx
z
zy
zyx


()()
1
2
1
1
2
4122
−=
−=
=
⇒
−=
−=
−=−+−+
z
y
x
z
y
x

3)
По метода на Гаус-Жордан. Съставяме разширената матрица и извършваме после-
дователно елементарни преобразования

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
−
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
−
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
−
−
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
−
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞−
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞−
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
1
2
1
100
010
001
~
1
5
14
5
8
100
5
4
10
5
3
01
~
1
5
14
4
100
5
4
10
121
~
~
3
14
4
300
450
121
~
11
14
4
150
450
121
~
3
2
4
112
113
121

В този случай единственото решение на системата се получава на мястото на стълба на
свободните коефициенти, т.е.

3

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1
2
1
z
y
x
.
4)
Като матрично уравнение. Образуваме основната матрица

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
121
113
112
A
от коефициентите на системата и матрицата

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
4
2
3
B
от свободни коефициенти и матрицата

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
z
y
x
X

от неизвестните. В такъв случай трябва да решим матричното уравнение

BAX=
Определяме първо обратната матрица

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
555
514
033
15
1
det
1
332313
322212
312111
1
AAA
AAA
AAA
A
A
,
а след това извършваме умножението
BAX
1−
= .


Забележка: Формулите на Крамер могат да се използват само ако основната детерми-
нанта на системата е различна от нула.

Решение на 1.2. Аналогично по някой от посочените по-горе методи, за системата
1.2 получаваме единственото решение

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
3
2
1
z
y
x
.
Задача 2. Да се докаже, че следната система е несъвместима

4

3332
225
623
=−−
=−−
=++zyx
zyx
zyx

Решение. Решаваме системата по метода на Гаус. Разширената матрица на системата е

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
3332
2215
6123
.
Умножаваме последния ред с -1 и прибавяме към съответните елементи на първи ред, а
след това умножаваме елементите на трети ред с -2 и ги прибавяме към съответните
елементи на трети ред. Получаваме

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
3332
3451
3451
.
Разменяме втори и трети ред

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
3451
3332
3451
,
умножаваме първи ред с -2, а след това с -1 и прибавяме съответно към втори и трети
ред. Получаваме

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−−
6000
311130
3451
.
Последното уравнение на преобразуваната разширена матрица
6.0.0.0
−=++ zyx
е противоречиво и очевидно няма решение, което означава, че и системата няма реше-
ние.
Задача 3 . Да се намерят всички решения на системата

4234
7443
32
=+−
=+−
−=−+zyx
zyx
zyx

Решение. Решаваме системата по метода на Гаус. Разширената матрица на системата е

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
0000
161070
3211
~
161070
161070
3211
~
4234
7443
3211
.
Последният ред на матрицата се състои само от нули (следствено уравнение) и при въз-
становяване на системата не го вземаме пред вид. Възстановената система е

16107
32=+−
−=−+
zy
zyx
.
В нея последното уравнение съдържа две неизвестни
y и z. Полагаме
λ=z и опреде-
ляме
y. Така намерените y и
z заместваме в първото уравнение и намираме x. Полу-
чаваме
λ
7
4
7
5
+−=x,
λ
7
10
7
16
+−=y и
λ=z.
Следователно общото решение на системата във векторно матричен вид се записва като

5

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1
7
10
7
4
0
7
16
7
5
λ
z
y
x
,
където
λ е параметър. В този случай системата е съвместима и неопределена – реше-
нието не е единствено.
Задача 4 . Да се реши системата

025,05
0565,1
0242
4321
4321
4321
=+++
=+−−
=−++xxxx
xxxx
xxxx

Решение. Разменяме местата на първо и второ уравнение и образуваме разширената
матрица на системата

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
0
0
0
125,05
2412
565,11

и посредством познатите елементарни преобразования достигаме до трапецовидна мат-
рица

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
0
0
0
0000
3410
565,11
~
0
0
0
243280
121640
565,11

Възстановената система има вида

034
0565,1
432
4321
=−+
=+−−
xxx
xxxx

В последното уравнение има три неизвестни. Полагаме

13
λ=x ,
24
λ=x.
Тогава
122
46
λλ−=x. След заместване в първото уравнение намираме
()
22112211211066925646
2
3 λλλλλλλλλ−=−+−=−+−=.x ,
Следователно общото решение на системата във векторно матричен вид се записва като

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1
0
6
1
0
1
4
0
21
4
3
2
1
λλ
x
x
x
x
,
където
1
λ и
2
λ са параметри.
Задача 5 . Да се реши системата

92 2
16 433
42
2322
4321
4321
421
4321
=−++
=++−
−=++−
=+−+
xxxx
xxxx
xxx
xxxx

Решение. Съставяме разширената матрица на системата

6

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
9
16
4
2
2112
1433
2011
3221

и я преобразуваме последователно в трапецовидна
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−
−
−
0
1
2
2
3000
1100
5230
3221
~
4
1
2
2
7400
1100
5230
3
221
~
3
4
2
2
3300
7400
5230
3221
~
5
10
2
2
8530
81090
5230
3221

Възстановената система има вида

03
1
2523
2322
4
43
432
4321
=
=+
−=+−
=+−+
x
xx
xxx
xxxx

От последното уравнение намираме
0
4
=x . Заместваме последователно във третото,
второто и първото уравнение и намираме единственото решение

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜